一種基于Eno-Haar模型新的圖像修復算法

趙晨萍,王應軍,李登峰

摘 要:為消除圖像消噪中出現的Gibbs現象,基于Eno-Haar模型,提出一種新的圖像修復算法。利用小波分解的遺傳特征,將間斷信息遺傳到各分解層中;對帶有間斷信息的小波系數,設計多層多方向插值算法進行插值,即在各個分解層上分別插值,并考慮多個方向進行加權平均,得到最優的小波系數,重構得到最優的修復圖像。最后對算法進行仿真實驗,實驗表明此算法具有很高的可行性和應用推廣價值。

關鍵詞:Eno-Haar模型;Gibbs現象;Kirsch算子;多層多方向插值

中圖分類號:TP271文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2009)20-045-03

New Image Recovery Algorithm Based on Eno-Haar Wavelet Model

ZHAO Chenping1,WANG Yingjun1,LI Dengfeng2,3

(1.Henan Institute of Science and Technology,Xinxiang,453003,China;

2.Institute of Applied Mathematics,Henan University,Kaifeng,475001,China;

3.College of Mathematics and Information Science,Henan University,Kaifeng,475001,China)

Abstract:A new image recovery algorithm based the Eno-Haar model is devised in order to eliminate the Gibbs phenomena generated in image denoising.Transfering the discontinuous information to the wavelet coefficients by making use of the genetic between the wavelet coefficients.Afterward,modifying the coefficients by multi-level and multi-orientation interpolation algorithm,and optimizing the interpolation results by weighted average method to obtain the optimum coefficients,the recovery images are acquired through the wavelet reconstruction.Finally,the algorithm is verified to be feasible and efficient by simulation experiments.

Keywords:Eno-Haar model;Gibbs phenomena;Kirsch operators;multi-level and multi-orientation interpolation algorithm

0 引 言

圖像消噪是圖像預處理的主要任務之一,它的目的是提高消噪后圖像的質量,突出圖像特征。近年來,小波分析技術得到了快速發展,并廣泛應用于信號處理、圖像處理、量子場論、不論是小波變換本身,還是與其他算法結合,其在圖像消噪處理中都取得了很好的效果。但是各種消噪方法在處理中都會丟失圖像的細節及邊緣信息,出現常見的Gibbs現象,即奇異點附近會出現振蕩現象。

在文獻[1-3]的工作基礎上,提出一種新的二維Eno-Haar小波變換,在插值延拓過程中進行多層多方向多項式插值,其特點主要體現在保留了原一維Eno的算法思想,而在檢測間斷點時,對其間斷方向精確定位;并且在插值之后通過加權平均的方法得到最優的修正值;最后結合仿真實驗說明了該算法的有效性和可行性。

1 Gibbs現象

由于在各種消噪方法中會丟失圖像的細節及邊緣再現常見的Gibbs現象,即奇異點的附近會出現振蕩。如公式(1)所示的一維信號f(x),其圖示及小波線性逼近如圖1所示。從圖1上可清晰看出,原函數經小波線性逼近后在間斷點處出現了明顯的振蕩。

f(x)=0,0≤x<0.2-50x-5,0.2≤x<0.4

10sin(4πx+0.8π)-1,0.4≤x<1.1

5e2x-100,1.1≤x<1.6

0,1.6≤x<2(1)

針對上述問題,文獻[1]中提出的Eno小波變換方法對消除Gibbs現象具有很好的效果。

圖1 分段函數及其小波線性逼近圖像

2 二維小波變換

對圖像進行二維Haar小波變換[4]可解釋為:利用局部平滑濾波器hLL=121111,水平邊界探測器gLH=11-1-1,垂直邊界探測器gHL=121-11-1和對角邊界探測器gHH=121-1-11進行濾波。為計算一個2J×2J像素的圖像X的小波變換,首先令平滑圖像為uJ(k,l):=X(k,l),0≤k,l≤2J-1,使uJ(k,l)分別與hLL,gLH,gHL,gHH做卷積, 得到大小為2J-1×2J-1的四個子帶圖像uJ-1,然后對平滑圖像uJ-1重復以上過程J-1次,最終得到u0,wLH0,wHL0,wHH0,其中的尺度系數矩陣uj是由原始圖像逐步平滑得到的。小波系數矩陣wLHj,wHLj,wHHj分別對應圖像在水平、垂直、對角三個方向的小波系數。

3 Eno-Haar模型

Eno算法是通過修改跳躍處經小波變換后產生的小波系數來達到的,所以可以把信號在跳躍處截為兩段,分別利用這兩段信息各自從間斷處向外進行插值延拓。 這樣,在間斷處就有兩組相對比較平穩的信號,使濾波器系數在處理這兩組信號時相當于處理平穩信號,即避免跨過跳躍點,同時記錄必要的定位信息。這樣,可以不用修改小波變換和濾波器系數,僅用粗尺度空間的小波系數進行重構。事實上,利用Eno思想,直接從跳躍處的兩邊各自向外插值延拓,則這些延拓后的值通過小波變換將不會在高頻空間產生較大的小波系數,同時又較好地保留了原圖像地邊緣信息。因此,Gibbs現象能從本質上被消除。 具體講,經典的Eno小波插值算法可以概括為三個步驟:

(1) 進行間斷點的判斷;

(2) 對間斷點的對應分解系數進行插值延拓,得到新的小波系數與尺度系數;

(3) 利用得到的新小波系數與尺度系數重構。

4 本文算法

4.1 間斷點判斷

圖像的灰度邊緣是灰度值不連續(或突變、奇異)的結果,這種不連續常可利用求導方便地檢測到,而微分算子具有邊緣檢測的功能,這里采用微分算子中的Kirsch方向算子判斷奇異點的位置。Kirsch方向算子[5]是利用一組模板分別計算在不同方向上的差分值,取其中的最大值作為邊緣強度,而將與之對應的方向作為邊緣方向。常用的八方向Kirsch(3×3)模板如圖2所示,各方向的夾角為45°。

圖2 Kirsch算子模板

記模板為Wk(k=1,2,…,8),則(x,y)處的邊緣強度為:

E(x,y)=maxk{Wk?X}(2)

式中:?表示點乘運算,計算方法為:首先讓模板在圖像中移動,將模板中心與圖中某個象素位置重合,模板上系數與模板下對應像素相乘,然后將所有乘積相加,記錄這些邊緣強度,并把每點的最大強度用E={E(x,y)|E(x,y)=maxk{Wk?X}}來表示,這里稱E為原始圖像的邊緣強度圖像,對邊緣強度圖像E,利用迭代得到的閾值T,可以確定圖像中間斷點的位置。

4.2 間斷點遺傳

定義1 對圖像及其分解層上的系數位置A,A1,A2等,定義如下幾個函數:

discon(A)=1,A點帶有間斷信息

0,A點不帶間斷信息

G(A1,A2)=1,A1,A2點有間斷

0,A1,A2點無間斷

inter(A)=1,A點位置的系數需要插值

0,A點位置的系數不需插值

定義2 對分解層上系數帶有的間斷方向信息,定義如下兩個向量:

direct1(A)={A點帶有的間斷方向}

direct2(A)={A點需要插值的方向}

假設對圖像進行n+1層小波分解,在判斷出原始圖像上的間斷點后,對每一個間斷點,保留所有大于已知閾值的邊緣強度和間斷方向。將這些間斷信息在分解層上進行傳遞,如圖3所示為二維Haar小波一個子帶的四叉樹結構[4]。每分解一層,下一層系數的間斷由與它相關的上一層系數來決定,即若上一層的四個系數中有一個是間斷的,則下一層的相應位置的系數一定是間斷的,并且記錄上一層四個系數中所有的間斷強度及間斷方向。具體流程圖如圖4所示。

圖3 二維Haar小波變換一個子帶的四叉樹結構

圖4 遺傳算法流程圖

4.3 多層多方向插值延拓

對圖像進行n+1層小波分解,在判斷出原始圖像上的間斷點后,對每一個間斷點,保留所有大于已知閾值的邊緣強度和間斷方向。將這些間斷信息在分解層上進行傳遞,插值過程如下。

(1) 從第1層到第n層,對待插值系數及插值方向進行搜索。 若第n層系數需要插值,則置inter[Vn+1(i,j)]=1,并由direct2[Vn+1(i,j)]的值來判斷需要插值的方向。

(2) 對inter[Vn+1(i,j)]=1的那些Vn+1(i,j),假設待插值的兩個點為Vn(2i+k1,2i+l1)和Vn(2i+k2,2i+l2),其中的k1,k2∈{-1,0};l1,l2∈{-1,0},其不同取值代表不同方向。

(3) 對每一個Vn+1(i,j),如果inter(Vn+1(i,j))=1,設direct2(Vn+1(i,j))中有m個方向需要插值,則第(4)步中對Vn+1(i,j)會判斷出m個方向插值,也就是說對(i,j)位置會有m組新系數,現在要做的是對m組新系數進行加權平均,其思想源于對m個方向能量的平均,其中的權數由原始圖像中此位置的各個方向的邊緣強度的比值來決定。不妨記原始圖像中對應Vn+1(i,j)的位置是(x,y),則上面m個方向中第j個方向的權重系數可由式(3)計算:

λj=Ekj/∑mi=1Eki(3)

(4) 用步驟(3)中加權平均得到的系數重構,分別用來替換間斷左側和右側的系數,重構得到修復圖像。

5 仿真實驗及分析

用上面的算法,分別對二值圖像和灰度圖像僅最大邊緣強度和次最大邊緣強度進行處理,實驗結果如圖5所示。

圖5 仿真實驗圖例

仿真實驗中用兩個方向的插值,讓間斷點的最大邊緣強度和次最大邊緣強度分別與閾值T進行比較;對大于T的方向才進行插值,否則不進行插值。由仿真實驗實例可以看到,兩個方向的插值在高分解層時也能很好的消除振蕩現象,很好的改善重構圖像的質量。 可以應用此算法對八個方向進行判斷插值,然后進行加權平均。

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