一共有多少種走法

尚代清

[題目]如圖1，按1，2，3，…，9的順序從“1”走到“9”，一共有多少種走法?

[分析與解]觀察圖1發(fā)現(xiàn)：

1從“1”出發(fā)走到“2”，不論是走到第二行的第一個(gè)“2”，還是第二個(gè)“2”，都各只有1種走法，就是1～2(第二行的第一個(gè)“2”)、1～2(第二行的第二個(gè)“2”)，于是給這兩個(gè)“2”都標(biāo)記下標(biāo)“1”(見圖2，下同)。

2從“1”出發(fā)走到“3”，如果要走到第三行的第一個(gè)或第三個(gè)“3”，也都各只有一種走法，分別是1～2(第二行的第一個(gè)“2”)～3(第三行的第一個(gè)“3”)、1～2(第二行的第二個(gè)“2”)～3(第三行的第三個(gè)“3”)，于是給這兩個(gè)“3”都標(biāo)記下標(biāo)“1”；如果要走到第三行的第二個(gè)“3”，就先要經(jīng)過上一行的第一個(gè)或第二個(gè)“2”，已經(jīng)知道，先走到上一行的第一個(gè)“2”有1種走法，先走到上一行的第二個(gè)“2”也只有1種走法，所以走到第三行的第二個(gè)“3”一共有1+1=2(種)走法，就是1～2(第二行的第一個(gè)“2”)～3(第三行的第二個(gè)“3”)、1～2(第二行的第二個(gè)“2”)～3(第三行的第二個(gè)“3”)，于是給這個(gè)“3”標(biāo)記下標(biāo)“2”。

3從“1”出發(fā)走到“4”，如果要走到第四行的第一個(gè)“4”，只有1種走法，就給這個(gè)“4”標(biāo)記下標(biāo)“1”；如果要走到第四行的第二個(gè)“4”，只有先經(jīng)過上一行的第一個(gè)或第二“3”，而先走到上一行的第一個(gè)“3”有1種走法，先走到上一行的第二個(gè)“3”有2種走法，所以走到第四行的第二個(gè)“4”，共有1+2=3(種)走法，就是1～2(第二行的第一個(gè)“2”)～3(第三行的第一個(gè)“3”)～4(第四行的第二個(gè)“4”)、1～2(第二行的第一個(gè)“2”)～3(第三行的第二個(gè)“3”)～4(第四行的第二個(gè)“4”)、1～2(第二行的第二個(gè)“2”)～3(第三行的第二個(gè)“3”)～4(第四行的第二個(gè)“4”)，于是給這個(gè)“4”標(biāo)記下標(biāo)“3”：同理，給第四行的第三個(gè)“4”標(biāo)記下標(biāo)“3”，給第四個(gè)“4”標(biāo)記下標(biāo)“1”。

依次類推，容易發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律：后來(lái)標(biāo)記的數(shù)，等于它的“肩”上(在上一行)兩個(gè)標(biāo)數(shù)的和(當(dāng)然，有的缺左“肩”，有的缺右“肩”)。按照這個(gè)規(guī)律，從左到右、自上而下標(biāo)數(shù)，最終標(biāo)到“9”，就會(huì)標(biāo)出”70”來(lái)。所以，按1，2，3，…，9的順序從“1”走到“9”，共有70種走法。