不可逆三熱源制冷機(jī)的有限時(shí)間熱力學(xué)分析

韓威 ，張廣軍 ，馬迎秋 ，李忠建 ，陳建萍 ，葉倩

（1天華建筑設(shè)計(jì)有限公司；2中國(guó)天辰工程有限公司；3上海燃?xì)夤こ淘O(shè)計(jì)研究有限公司；4聯(lián)合技術(shù)研究中心（中國(guó)）有限公司；5上海市建筑科學(xué)研究院）

0 引言

最大制冷率及相應(yīng)的性能系數(shù)是三熱源制冷機(jī)（如吸收式制冷機(jī)、太陽(yáng)能制冷機(jī)）的兩個(gè)重要性能參數(shù)。前者決定了該制冷機(jī)的制冷率上界，而后者決定了它所允許的最佳性能系數(shù)的下界。在經(jīng)典熱力學(xué)理論中，可逆三熱源制冷機(jī)可視為一個(gè)由可逆卡諾熱機(jī)驅(qū)動(dòng)的可逆卡諾制冷機(jī)的組合循環(huán)，其過(guò)程是在無(wú)限時(shí)間、無(wú)阻力、無(wú)溫差的條件下進(jìn)行的，這意味著該制冷機(jī)的制冷率為0。因此，經(jīng)典熱力學(xué)雖有重要理論意義，但卻無(wú)法研究三熱源制冷機(jī)中與制冷率有關(guān)的問(wèn)題。另外，實(shí)際過(guò)程總是不可逆的，是在有限時(shí)間、有阻力、有溫差的條件下進(jìn)行的。

有限時(shí)間熱力學(xué)理論能處理顯含時(shí)間和與速率有關(guān)的變量的過(guò)程[1]，考慮了熱力循環(huán)過(guò)程中不可逆因素（包括熱阻、工質(zhì)內(nèi)部耗散等）的影響，其結(jié)果更具有實(shí)際的指導(dǎo)意義。近年來(lái)，不少學(xué)者應(yīng)用有限時(shí)間熱力學(xué)理論對(duì)不可逆三熱源制冷機(jī)的最大制冷率及其相應(yīng)的性能系數(shù)進(jìn)行了研究[2-6]，但或者沒(méi)有充分考慮其內(nèi)不可逆性的影響，或者沒(méi)有對(duì)熱導(dǎo)率（或換熱面積）進(jìn)行更為一般的優(yōu)化，因此所建立的表達(dá)式缺乏一般性。

本文利用有限時(shí)間熱力學(xué)理論，通過(guò)對(duì)熱導(dǎo)率的優(yōu)化，導(dǎo)出了不可逆三熱源制冷機(jī)制冷率上界及相應(yīng)性能系數(shù)的一般表達(dá)式，并探討了內(nèi)不可逆性對(duì)這兩個(gè)性能參數(shù)的影響，為實(shí)際三熱源制冷機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了新的理論依據(jù)。

1 循環(huán)模型

不可逆三熱源制冷機(jī)可視為一個(gè)由不可逆卡諾熱機(jī)驅(qū)動(dòng)的不可逆卡諾制冷機(jī)的組合循環(huán)，如圖1所示。不可逆卡諾熱機(jī)工作于高溫?zé)嵩碩H和環(huán)境溫度TO之間，其工質(zhì)在兩個(gè)等溫過(guò)程的工作溫度分別為Th和To；不可逆卡諾制冷機(jī)工作于環(huán)境溫度TO和低溫?zé)嵩碩L之間，其工質(zhì)在兩個(gè)等溫過(guò)程的工作溫度分別為To和Tl。由于工質(zhì)和熱源之間存在熱阻，且循環(huán)在有限時(shí)間內(nèi)進(jìn)行，于是有Th＜TH、To＞TO、Tl＜TL。KH、KOH、KOL、KL為工質(zhì)與相應(yīng)的熱源或環(huán)境之間的熱導(dǎo)率。QH、QOH、QOL、QL為工質(zhì)和相應(yīng)的熱源或環(huán)境之間的換熱率。W既是熱機(jī)的輸出功率，也是制冷機(jī)的輸入功率。

由圖1，不可逆三熱源制冷機(jī)的性能系數(shù)可定義為

式中η為不可逆卡諾熱機(jī)的熱效率；

ε為不可逆卡諾制冷機(jī)的性能系數(shù)。

根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有

設(shè)傳熱遵循牛頓定律，則有

除了外不可逆性（熱阻）外，由工質(zhì)內(nèi)部耗散引起的內(nèi)不可逆性也是熱機(jī)或制冷機(jī)不可逆損失的重要來(lái)源。由熱力學(xué)第二定律，并分別引入表示熱機(jī)、制冷機(jī)內(nèi)不可逆程度的參數(shù)Ihe、Ir，有下列關(guān)系

式中△Sh、△S1分別為等溫過(guò)程Th、Tl中流入工質(zhì)的熵流率；△Soh、△So1分別為熱機(jī)和制冷機(jī)在等溫過(guò)程To中流出工質(zhì)的熵流率。Ihe=1、Ir=1分別表示熱機(jī)、制冷機(jī)是內(nèi)可逆的，即該三熱源制冷機(jī)是內(nèi)可逆的；0＜Ihe＜1、0＜Ir＜1分別表示熱機(jī)、制冷機(jī)是內(nèi)不可逆的，即該三熱源制冷機(jī)是內(nèi)不可逆的，且有Ihe、Ir越小，其內(nèi)不可逆程度越大。

2 不可逆卡諾熱機(jī)輸出功率上界及相應(yīng)的性能系數(shù)

在給定的熱機(jī)總熱導(dǎo)率下，其最大輸出功率可通過(guò)拉格朗日乘數(shù)法求得。不可逆卡諾熱機(jī)的最大輸出功率為：

相應(yīng)的熱效率為

當(dāng)Ihe=1時(shí)，該熱效率等于CA效率[7]。

3 給定輸入功率下不可逆卡諾制冷機(jī)制冷率上界及相應(yīng)的性能系數(shù)

在給定制冷機(jī)的輸入功率W和制冷機(jī)總熱導(dǎo)率下，其最大制冷率可通過(guò)拉格朗日乘數(shù)法求得。不可逆卡諾制冷機(jī)的最大制冷率為

相應(yīng)的性能系數(shù)為

4 不可逆三熱源制冷機(jī)制冷率上界及相應(yīng)的性能系數(shù)

當(dāng)熱機(jī)在最大輸出功率的條件下驅(qū)動(dòng)制冷機(jī)時(shí)，不可逆三熱源制冷機(jī)可獲得其最大制冷率。在給定的不可逆三熱源制冷機(jī)總熱導(dǎo)率下，其最大制冷率可通過(guò)拉格朗日乘數(shù)法求得。不可逆三熱源制冷機(jī)的最大制冷率為

相應(yīng)的性能系數(shù)為

當(dāng)Ihe=Ir=1時(shí)，該三熱源制冷機(jī)是內(nèi)可逆的，于是，方程(14)和(15)可寫(xiě)為

式中Q＊L.max為內(nèi)可逆三熱源制冷機(jī)的最大制冷率；

COP＊為內(nèi)可逆三熱源制冷機(jī)取得最大制冷率時(shí)相應(yīng)的性能系數(shù)。

方程（14）和（15）是在綜合考慮了不可逆因子Ihe和Ir的基礎(chǔ)上，通過(guò)優(yōu)化熱導(dǎo)率KH、KOH、KOL、KL后導(dǎo)出的，因此其形式是更為一般的。

5 結(jié)果與討論

對(duì)于一個(gè)典型的不可逆三熱源吸收式制冷機(jī)，TH=393K、TO=313K、TL=288K，Ihe=Ir=0.95，K=4kW/K，由方程和可得，它的最大制冷率QL.max=7.48kW，相應(yīng)的COP=0.34。若有Ihe=Ir=1，即該吸收式制冷機(jī)是內(nèi)可逆的，由方程和可得，它的最大制冷率QL.max=12.47kW，相應(yīng)的COP=0.49。可見(jiàn)，循環(huán)的內(nèi)不可逆性對(duì)該系統(tǒng)的最大制冷率及相應(yīng)COP的影響很大。由方程（14）和（15）還可以看出，QL.max與K呈線性關(guān)系，而相應(yīng)的COP與K值無(wú)關(guān)。

圖2～5給出的是QL.max及相應(yīng)的COP隨Ihe或Ir的變化情況。可以看出，QL.max均隨Ihe或Ir的增加而增大。其中，QL.max與Ihe近似呈線性關(guān)系，而隨Ir增加而增大的速率先慢而后快。COP均隨Ihe或Ir的增加而提高。其中，COP隨Ihe增加而提高的速率先快而后慢，隨Ir增加而提高的速率先慢而后快。

6 結(jié)論

利用有限時(shí)間熱力學(xué)理論，建立了不可逆三熱源制冷機(jī)模型。該模型考慮了有限速率傳熱（熱阻）和工質(zhì)內(nèi)部耗散對(duì)系統(tǒng)性能的影響。通過(guò)對(duì)熱導(dǎo)率的優(yōu)化，導(dǎo)出了不可逆三熱源制冷機(jī)制冷率上界及相應(yīng)性能系數(shù)的一般表達(dá)式。由方程和可以看出，不可逆三熱源制冷機(jī)的制冷率上界與總熱導(dǎo)率呈線性關(guān)系，而其相應(yīng)的性能系數(shù)與熱導(dǎo)率無(wú)關(guān)。在對(duì)不可逆因子Ihe和Ir的研究中發(fā)現(xiàn)：盡管制冷率上界及相應(yīng)的性能系數(shù)均隨Ihe或Ir的增加而提高，但其變化的趨勢(shì)卻有一定的差別。

[1]陳金燦，嚴(yán)子浚.有限時(shí)間熱力學(xué)理論的特征及發(fā)展中幾個(gè)重要標(biāo)志.廈門大學(xué)學(xué)報(bào).2001,40(2):232-241.

[2]S.G ktun.Optimal performance of an irreversible refrigeratorwith three heatsources.Energy.1997,22(1):27-31.

[3]G.X.Lin and Z.J.The optimal performance of an irreversible absorption refrigerator.J.Phys.D:Appl.Phys.1997,30:2006-2011.

[4] J. C. Chen and J. A. Schouten.Optimum performance characteristics of an irreversible absorption refrigeration system.1998,39(10):999-1007.

[5]G.X.Lin and Z.J.Yan.The optimal operating temperature ofthe collector of an irreversible solar-driven refrigerator.J.Phys.D:Appl.Phys.1999,32:94-98.

[6]P.K.Bhardwaj,S.C.Kaushik and S.Jain. General performances of an irreversible vapour absorption refrigeration system using finite time thermodynamic approach. International Journal of Thermal Sciences,2005,44:189-196.

[7]F.L.Curzon and B.Ahlborn.Efficiency of a Canot engine at maximum power output.Amer.J.Phys.1975,43(1):22-24.