框架式高層房屋建筑模態分析

黃勤 陳笛

1 模態分析理論

1.1 模態分析簡介

所謂的模態分析就是確定結構系統的振動特性，得到結構的固有頻率和各階振型，它們是結構承受動力荷載設計中的重要參數。它的主要優勢在于計算一組正交向量之后，可以將大型整體平衡方程組縮減為數量相對較少的解耦的二階微分方程，這樣能有效的節省時間。而且計算結果能幫助我們對結構響應進行定性的判斷，并提供相關結構概念設計需求。對于結構體系而言，共振會造成結構系統破壞。因此為了防止共振現象的發生，就要了解系統的固有振動頻率及各階振型，進而避免外力頻率和結構系統的固有頻率相同或接近。

1.2 模態分析基本原理[1，2]

在結構動力分析中，結構動力響應的求解是基于結構中質量系統的動力平衡方程來完成的，基于經典的物理定律，式(1)給出了一個N自由度線形系統的動力平衡方程，它是一個關于時間的函數:

其中，[M]，[C]，[K]分別為系統的質量、阻尼、剛度矩陣;[x]，[F]分別為系統各點的位移響應向量和激勵力向量。式(1)是一組耦合方程，當系統自由度很大時，求解十分困難。將耦合方程變化為非耦合的獨立方程組，這就是模態分析必須解決的問題。模態分析方法就是以無阻尼的各階主振型所對應的模態坐標來代替物理坐標，使微分方程解耦，變成各個獨立的微分方程。對式(1)兩邊進行拉式變換，得:

令 s=jω，則式(2)變為:

引入模態坐標，令{x}=[φ]{q}，其中，[φ]為振型矩陣;[q]為模態坐標，代入式(3)有:

根據振型矩陣對于質量、剛度矩陣的正交性關系，有:

若阻尼矩陣也近似被對角化，即有:

對式(1)乘[φ]T得:

這樣相互耦合的N自由度系統的方程組經正交變換，成為在模態坐標下相互獨立的N自由度系統的方程組，解耦后的第 i個方程為:

其中，Ki，Mi，Ci分別為模態剛度、模態質量、模態阻尼;φij為模態振型。

從式(8)中可知，采用模態坐標后，N自由度系統的響應相當于在N個模態坐標下單自由度系統的響應之和。采用歸一化方法，使模態質量歸一，記模態質量歸一化振型為 Φ，即:

可知，Ki為模態固有頻率;N自由度系統有N個固有頻率。

2 計算模型的建立

2.1 工程背景

某一框架式結構建筑，總高 45 m，14層，底層高 6 m，其余層高3 m。結構平面圖如圖1所示。

其主要承重構件的截面尺寸及材料屬性如表1所示。為了計算方便鋼筋混凝土的密度統一為2 500 kg/m3。

表1 構件參數

2.2 有限元模型

建模過程中，本文采用了兩種單元類型:Beam4和Shell63。Beam4是一種可用于承受拉、壓、彎、扭的三維彈性梁單元。這種單元在每個節點上有6個自由度:x，y，z三個方向的線位移和繞x，y，z三個軸的角位移。Shell63單元可以同時承受殼面內、外的荷載，具有殼單元算法和膜單元算法，而且還考慮了應力剛化效應以及大變形效應。用其模擬本結構中的樓層板。劃分后的模型共有47 330個節點、52 952個單元。模型及劃分單元見圖2。

3 邊界條件及荷載

3.1 邊界條件

對與地面接觸的框架柱施加 x，y，z方向的零位移約束，如圖3所示。本例采用 Block Lanzcos模態法提取前 6階模態，模態分析采用擴展模態法。

3.2 計算荷載

模態分析考慮整體結構的固有頻率，頻率大小的變化直接反映結構剛度的變化。模態分析計算時只需考慮結構自重下的荷載工況，各構件自重均在有限元軟件中設置參數自動施加，結構密度2 500 kg/m3，重力加速度取9.8 m/s2。

4 計算結果

采用有限元軟件對結構的空間剛架模型進行模態分析計算，得到結構前8階模態分析的固有頻率及振型貢獻率(見表2)。由計算結果可以看出結構在x，y，z方向的振型貢獻率均已超過了90%，所以采用前面8階振型的模態分析已滿足分析的要求。各階模態振型見圖4～圖 11。

由表 2分析可以看出 Ux，Uy，Uz前8階振型總貢獻率都大于90%，說明截取前8階振型已經滿足分析要求了。第1階振型貢獻率 Ux=0.865 9，說明第1階振型屬于 x方向的平動，且為該碼頭 x方向的主要振型;第2階振型屬于y方向的平動，為該房屋的y方向的主要振型;第3階振型為 xy平面的轉動;從第6階振型開始豎向的振動加強，且產生平扭耦合效應。計算得出的前3階振型的固有頻率比較相近，在實際使用過程中最容易引起結構的共振。在使用過程中，無論是結構縱向還是橫向都應避免使用與前3階振型固有頻率相近的頻率。

表2 結構自振頻率及振型貢獻率

5 結語

由以上分析可以得到以下結論:

1)第1階～第3階頻率從0.376 6 Hz～0.457 7 Hz，振型為平面內的水平運動，沒有垂直方向的運動，樓板四周邊緣對位移沒有明顯的約束，位移最大，第1階～第3階振型不同，但接近的頻率和振型表示它們有類似的成因，可認為是同一族模態。第1階、第2階的振型貢獻率較大將近達到90%，較容易被激發，如果有荷載的水平激勵時，第1階、第2階在振動響應中占有主導性作用。

2)第4階～第8階頻率從1.195 9 Hz～2.292 7 Hz，振型主要為以底層梁柱嵌固點為對稱點的反對稱彎曲模態，在對稱點的兩側形成以嵌固點為結點的波浪形狀，同時在水平方向也有小幅運動。以嵌固點為對稱點的反對稱的水平運動模態，在對稱點的兩側形成以嵌固點為結點的波浪形狀和垂直方向的彎曲一起構成了一個空間運動模態。該階模態如果有荷載的垂直激勵時，在振動響應中占有主導性作用。

3)由于框架結構復雜，不能采用一般的傳統計算方法進行模態分析，而應采用結構專業軟件進行分析。本文分析結果表明，有限元法是一種比較合適的分析方法。

4)ANSYS是成熟的工程分析軟件，具有豐富的單元庫和完善的計算工具。在進行高層建筑模態分析時，只要建模正確，單元及模態分析法選擇適當，所得到的計算結果準確性就很高。通過ANSYS模態分析獲得了本高層結構的自主振動周期，從而避免了由于場地主振動周期相同或相近造成的共振問題。

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