分層總和法計算地基沉降淺析

王 勇

1 概述

近年來，國內不少學者提出按國家規范GB 50007-2002建筑地基基礎設計規范(以下簡稱國家規范)計算深基礎沉降時，常出現計算值比實測值高出很多的情況，因此有許多學者提出按基于Mindlin解的積分解求解比基于Boussinesq解的國家規范法要符合實際得多。但是不管是基于Mindlin解還是基于Boussinesq解的解答，都需要求出地基附加應力，然后按分層總和法計算地基的變形，然而關于按Mindlin解求解后，再按分層總和法計算沉降時所需確定的地基變形計算深度及土層分層厚度等這些更為實際的問題，卻少有學者對此做出探討，所見文獻都是繼續按照國家規范的方法確定地基計算深度，也沒有對土層進行合理分層，如文獻[1][2]等。筆者通過電算與彈性理論解分析比較后發現，這樣計算將會與彈性理論解產生較大偏差，甚至會產生危險。因而本文旨在此問題上做比較深入的探討，以期給工程人員設計計算時提供一些參考，下面先就分層總和法進行論述。

2 分層總和法的缺陷

現行國家規范計算地基沉降的方法基礎都是分層總和法，本法計算的物理概念清楚，計算方法也很容易，易于在工程單位推廣應用。但該方法本身一些假定與工程實際不符，同時也與經典彈性解答的假定不一致。關鍵體現在假定土的變形條件為側限條件，即在建筑物荷載作用下，地基土層只產生豎向壓縮變形，側向不能膨脹變形，與經典彈性理論的假定不一致，也與實際土有一定的差距。從本文下文可看出，當地基土的泊松比為0.4時，分層總和法計算沉降的結果比以Boussinesq為基礎的彈性理論解小18.5%左右，也就是說，完全忽略側向變形分層總和法將產生18.5%左右的誤差。因此在運用分層總和法計算地基沉降時，需要減小地基計算深度，當然也不是越小越好，它存在一個臨界值，這個臨界計算深度將直接決定本方法的計算精度。由此國家地基規范給出了兩個計算地基變形深度的經驗公式，應該說，這兩個公式基本上能滿足工程要求，但是，從國家規范文獻[3]197頁給出的圖表可看出，計算的結果仍然具有較大的離散性，本文在下述中將對此做出分析，并為Mindlin積分解確定地基變形深度奠定基礎。

另外，文獻[4]提出分層總和法還存在假定基礎為完全柔性基礎的缺陷，此問題Schleicher(1926年)曾做過分析，并指出剛性基礎的沉降比柔性基礎的沉降平均小7%左右，且列出了不同基礎形狀的具體差異，可參考文獻[5]，由于這個缺陷彈性理論同樣存在，本文不做更多探討。

為了能更清楚地說明分層總和法與彈性理論解的差異，本文給出Harr彈性理論解析解答，從而與分層總和法進行比較分析。

3 Harr彈性位移解

1966年，Harr給出均質半無限空間彈性體矩形面積表面上，受豎向均布荷載作用下，深度為z處的矩形角點下豎向位移解答(見圖1)，基于此解答國內極少見到，本文在此給出具體解析表達式(原文可參考文獻[5]):

其中，L為基礎長度;b為基礎寬度;E為彈性模量;z為計算點深度。

4 分層總和法與彈性位移解的比較

為了能更清晰說明問題，特舉實例如下:設一矩形基礎，基礎埋深為0，承受P=100 MPa豎向均布壓力，基礎長和寬相等，L=b，并從1 m變化到20 m，基礎下為均質土，土的彈性模量 E=7 MPa，為了與分層總和法的假定一致，令土的泊松比 μ=0，使用分層總和法計算時，令地基深度分別取到基底以下10 m，100 m，1 000 m深處，計算基礎中心點的豎向位移，兩種方法計算結果見表1。

表1 分層總和法與Harr彈性位移解的比較 mm

從解答結果很明顯可以證明兩種解答在理論上的一致性，即當土的計算深度趨近于無窮大時，分層總和法計算結果與彈性位移解答一致。另外一點，比較基礎寬度為20 m時，取不同計算深度的計算結果，也說明了基礎寬度的大小對計算深度的取值有很大影響。繼上述例子，再比較泊松比μ取不同值的情況，令μ分別為0，0.2，0.4，運用Harr彈性位移解計算結果見表2。

表2 不同 μ值時Harr位移解的比較 mm

比較表2中計算結果，μ=0時的計算結果比 μ=0.4的計算結果高出18.5%，即不考慮側向變形的分層總和法(μ=0)比彈性理論解(一般工程上計算常取土的μ=0.4左右)高出18.5%左右。因此，在運用分層總和法時，不能將計算深度取到無限大，而是要取到一個合理深度，才能與彈性理論和工程實際一致。計算結果也能證明文獻[6]中的說法是不恰當的，文獻[6]提到，“沉降計算的深度，理論上應計算至無限大，工程上……在受壓層(計算深度處)以下的土層附加應力很小，所產生的沉降量可忽略不計”。顯然這種說法不恰當，分層總和法計算至某一深度的根本原因是分層總和法本身不能考慮側向變形引起的。

另外，表1中計算結果，當計算深度取至無限大時，運用分層總和法應力解求出的沉降與直接位移解求出的沉降相等，也證實了Harr解是均質地基的正確解答。既然Harr解是均質地基的正確解答，對于均質地基來說，Harr解也就可以檢驗國家規范所給出的計算方法的正確性。

5 國家規范法與Harr解的比較

問題描述同上，因一般工程計算中，常取泊松比μ=0.4左右，這里也取μ=0.4。設按國家規范5.3.6條確定的計算深度的方法稱為方法1，按國家地基規范5.3.7條確定的計算深度的方法稱為方法2，計算結果見表3。

表3 國家規范法與Harr彈性位移解的比較 mm

比較表3中數據可看出，當基礎寬度較小(b≤4 m)時，三種方法計算結果相差較小，當基礎寬度超過4 m時，國家規范計算的結果比Harr位移解要小;當基礎較寬超過8 m時，三種方法差異較大，就是國家規范規定的兩種方法之間都有不小的差距;在基礎寬度為20 m時，相差達11.9%，國家規范方法1比Harr解小34.9%，而且這種差距隨著基礎寬度增大呈上升趨勢，即基礎寬度越大，差距越大。

不過由此而判斷國家規范給出的計算深度的方法比實際工程計算的結果偏小也是比較武斷的，因為實際工程的基礎都有一定的埋深，即使是淺基礎也不例外。根據Mindlin解可以知道，基礎埋深可使地基豎向應力顯著減小。由于國家規范方法是以Boussinesq積分解來計算地基豎向附加應力的，即它不考慮基礎埋深對豎向附加應力顯著減小的效應，從而使得國家規范計算的結果要比Mindlin解計算的結果偏大。

綜上分析可知，相對彈性理論而言，國家規范方法計算深度取得較小，使得計算結果偏小;實際基礎的埋深，又使得計算結果偏大，兩者綜合起來就使得規范比較符合實際，但同時也使得計算結果離散性較大，即有時會偏大，有時偏小，基礎寬度較小、地基埋深較淺時會偏大，反之則會偏小。

至此，可以很清晰地理解分層總和法與地基計算深度之間的關系，從而為Mindlin積分解確定地基深度提供了理論依據。

6 基于Mindlin積分解的應力解和位移解及兩種解答之間的比較

1957年徐志英首次提出了Mindlin豎向應力解對矩形面積荷載積分的解答，1995年，袁聚云等又提出了其他應力方向的積分解答，具體解析表達式可參考文獻[1]或文獻[2]，本文引用文獻[1]中解答。基于Mindlin積分解的矩形面積位移解由張子明于1986年提出，并運用影響函數法推導出了圓形、環形等面積上作用豎向均布荷載時地基位移的一般計算式，具體計算式可參見文獻[8]，而后陳于1996年提出了非均布荷載(三角形面積)的位移解答，可參考文獻[9]，本文引用該文獻中均布荷載的解答。為方便敘述，本文將徐志英提出的基于Mindlin積分解的豎向應力解簡稱為XZY應力解，張子明提出的基于Mindlin積分解的豎向位移解稱為ZZM位移解。為確定XZY應力解運用分層總和法計算豎向位移時所需確定的地基計算深度，同上文，本文給出具體計算實例進行分析說明，先比較兩種方法。

問題描述同上，增加基礎埋深，設基礎埋深為3 m，同上述比較方法，在XZY應力解基礎上用分層總和法計算基礎沉降時分別取基礎變形計算深度為10 m，100 m，1 000 m，另外為了計算比較精確，本文取分層厚度為0.25 m，兩種方法計算時，泊松比都取為0，計算結果見表4。

表4 XZY應力解與ZZM位移解的比較 mm

從表4中計算結果可發現兩種解答在理論上的一致:只要計算深度無窮增大，基于XZY應力解的分層總和法將和ZZM彈性位移解完全相等，計算的結果同分層總和法與Harr位移解的比較(見第4節描述)結果完全一樣，從而在理論上也證明了兩種解答的正確性。因而，ZZM解也就可以檢驗按分層總和法計算地基沉降的XZY應力解的正確性，從而可確定地基的計算深度。下面給出不同計算深度時按分層總和法計算工程實際地基沉降(μ=0.4)的XZY應力解和ZZM彈性位移解的比較，從而為確定地基計算深度有一個比較清晰的認識。

問題描述同上，基礎埋深為3 m，泊松比取0.4，分層厚度仍然取0.25 m，基礎計算深度分別取10 m，100 m，1 000 m，運用基于XZY應力解的分層總和法計算基礎中心點沉降，ZZM位移解作為檢驗方法，計算結果見表5。

表5 μ=0.4時不同計算深度XZY應力解的比較 mm

比較表4與表5可發現泊松比對深基礎沉降的影響并不大，泊松比取0.4時僅比泊松比取0時小7%左右，不及表面荷載作用差距大，因影響較小，在此不再詳細敘述泊松比的影響。

從表5計算結果中可看出，基礎計算深度的大小對計算結果影響很大。當計算深度為10 m時，基于XZY應力解的分層總和法計算結果要比彈性位移解小，當計算深度為100 m時，又比彈性位移解要大。因此同半無限體表面問題一樣，要使兩者解答一致，同樣存在一個臨界計算深度問題。為同國家規范方法相比較，下面給出按規范方法確定計算深度的計算結果。

7 國家規范法與ZZM解的比較

問題描述同上，基礎埋深仍為3 m，泊松比取0.4，分層深度仍取每層0.25 m，按國家規范5.3.6條確定的計算深度的方法稱為方法1，按國家規范5.3.7條確定的計算深度的方法稱為方法2，直接按地基規范法(不考慮基礎埋深，也不考慮土的泊松比)的計算結果稱為方法3，計算結果見表6。

表6 國家規范法與ZZM彈性位移解的比較 mm

比較方法1，方法2與ZZM彈性解可看出按規范方法確定地基計算深度的計算結果比ZZM彈性位移解要小，尤其是基礎寬度較大時，最大差距達到28.9%，如果按此進行設計，很有可能會發生危險，因此，這一點足以引起工程設計人員的廣泛重視與注意。

比較方法3與ZZM彈性位移解，可明顯看出，當基礎寬度不大時，直接按國家規范法計算，將使結果偏大2倍左右，但當基礎寬度在8 m左右時，計算結果反而比較接近彈性位移解，當大于8 m時，又會使計算結果偏小，當然，這僅是針對基礎埋深為3 m的情況，如果基礎埋深更大，這種差距也會繼續增大。

綜上分析可知，運用在XZY應力解基礎上用分層總和法計算基礎沉降時，地基計算深度受到多方面的影響，包括基礎寬度、基礎埋深、土的泊松比以及其他一些本文未涉及的因素:如土的物理性質等諸多因素，要想得出一個合理的沉降計算深度公式非常不易。根據本文敘述的邏輯方式，只能通過程序實現，即先在均質地基的情況下，使基于XZY應力解的分層總和法與ZZM位移解相等，由此確定地基的計算深度，再根據確定的計算深度，在XZY應力解基礎上用分層總和法計算基礎沉降。程序的編制并不難，在電算較為普及的今天用這種方法計算應該不成問題。另外，從表6也可看出，如按規范法確定地基深度并給出一定的修正系數也應該能夠滿足工程要求。

8 規范方法確定地基計算深度的修正

筆者通過多次試算，認為按規范法確定地基計算深度可以借鑒，但需進行一些修正。試算結果認為，地基深度宜符合下式要求:

其中，ΔS′n為在計算深度范圍內第i層土的計算變形值;ΔS′i為在由計算深度向上取厚度為Δz的土層計算變形值，Δz的涵義可參考文獻[1]，依此計算式與ZZM彈性位移解的比較見表7。

表7 本文推薦方法與ZZM彈性位移解的比較 mm

比較表7中數據可看出，當基礎寬小于4 m時，本文推薦方法比彈性解要大，差異最大不超出6%，當基礎寬度大于4 m時，本文方法比彈性解要小，在基礎寬度20 m范圍內，差異最大不超過7%。按照此式可根據基礎寬度的不同給出修正系數，如寬度為1 m時，修正系數為0.95，寬度為20 m時，修正系數為1.05等，如能結合具體工程實例進行統計分析，將能給出更為恰當的修正系數，在此不再多議。

9 基礎埋深對地基沉降的影響

本文運用彈性位移解，分析使規范計算偏大的因素——基礎埋深對沉降計算的影響。問題描述同上，土的泊松比取0.4，基礎埋深分別取0 m，3 m，6 m，10 m時，彈性位移解的計算結果見表8。

表8 基礎埋深對地基沉降的影響 mm

從表8中數據可看出，地基沉降隨基礎的埋深顯著減小，從基礎埋深為0 m到基礎埋深為3 m時，基礎埋深對地基沉降的減小作用非常明顯，3 m～6 m時，埋深對地基沉降影響不如在0 m～3 m范圍內大，但仍有較大的影響，而6 m～10 m時，埋深對地基沉降的影響已較弱，僅在基礎寬度較大時，才有較大的影響。另外，從與國家規范方法計算結果比較也可看出，國家規范方法由于不能考慮基礎埋深、土的泊松比而與彈性解有很大的出入。

10 結語

1)本文從分層總和法本身存在的缺陷出發，分析了現行國家規范法計算地基沉降與彈性理論解在理論上的差異以及與工程實測沉降產生偏差的根本原因，闡明了基礎寬度、基礎埋深、土的泊松比等因素對地基沉降的影響，并證實了基于Mindlin積分解的徐志英解比基于Boussinesq解的積分解合理得多，因后者沒有考慮基礎的埋深、土的泊松比對分層總和法的影響。在運用徐志英解求出各分層的豎向附加應力之后，本文提出繼續按國家規范所給出的地基變形深度計算公式將不再適合徐志英解，應該按本文所介紹的方法編制程序確定地基計算深度，同時也推薦了修正的計算公式。

2)從本文給出的算例可清楚看出，基于Mindlin解的徐志英解比基于Boussinesq解的積分解合理得多，但仍然存在地基變形深度確定的問題，本文雖然給出了推薦計算公式，但并不十分合理，這需要結合理論計算結果和工程實測結果進行統計分析，對理論計算結果進行修正，才能更加適合工程要求，當然如果能按本文介紹方法進行編程計算，結果應該會相當合理。

3)本文給出的所有例子都是在均質地基上計算的，但針對的問題都是非均質地基，因為這是分層總和法較彈性位移解優越的根本所在。如果是均質地基，直接應用ZZM位移解將非常方便，ZZM位移解也可以對分層總和法計算結果進行驗證。

4)在應用基于Mindlin解的積分解時，本文在引言中曾提到了分層問題，但在文中并未加以討論，給出的計算結果都是在取分層厚度為0.25 m的基礎上計算而來，實際計算時，分層厚度的取值對結果會有一定的影響，尤其當分層厚度超過1 m時會有較大偏差，究其原因在于，當用角點法計算豎向附加應力時，不同于規范給出的“平均附加應力系數”方法，理解了規范給出的兩種附加應力系數之間的差異，就不難理解分層厚度的影響，建議按文獻[1]29頁表5.3.6選取。另外，本文僅討論了矩形面積的積分解，其他形狀的積分解可參考文獻[6]。

[1] 袁聚云，趙錫宏.豎向均布荷載作用在地基內部時的土中應力公式[J].上海力學，1995，16(3):213-222.

[2] 王士杰，張 梅，周瑞林.工程荷載明氏應力實用理論解(I)[J].四川建筑科學研究，2001，27(2):36-37.

[3] 王鐵行，趙樹德.計算地基沉降分層總和法的缺陷的分析與改進[J].西安建筑科技大學學報，1996，28(2):179-182.

[4] GB 50007-2002，建筑地基基礎設計規范[S].

[5] Harry G.Poulos，Edward H.Davis.Elastic solutions for soil and rock mechanics[M].New York:John Wiley&Sons，Inc，1974.

[6] Joseph E.Bowles.Foundations analysis and design(the third edition)[M].New York:McGraw-Hill Book Company，1982.

[7] 陳希哲.土力學地基基礎[M].第4版.北京:清華大學出版社，2004.

[8] 張子明.求解地基位移的影響函數法[J].河海大學學報，1990，18(2):25-31.