數(shù)學(xué)開放探索題的解法探討

開放探索題能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的能力，體現(xiàn)新課改的方向，在中考中成為熱點(diǎn)考題.此類題主要有條件開放與探索型、結(jié)論開放與探索型、策略開放與探索型等.由于條件與結(jié)論的不確定性，學(xué)生在解題中存在一定的困難.下面談?wù)勎以诮虒W(xué)中的一些探索與體會(huì).

一、結(jié)論探索型——執(zhí)因索果

根據(jù)條件，正向思考，依所求結(jié)論進(jìn)行合理推導(dǎo)，得到相應(yīng)的結(jié)論.

例1如圖，拋物線y=x2+mx+n交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是它的頂點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-3，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1.(1)求m、n的值;(2)求直線PC的解析式;(3)請(qǐng)?zhí)骄恳渣c(diǎn)A為圓心，直徑為5的圓與直線PC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.(參考數(shù):≈1.41，≈1.73，≈2.24)

分析:(1)由已知條件可知: 拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過(guò)A(-3，0)、B(1，0)兩點(diǎn).

∴0=-3m+n，0=+m+n .解得m=1，n=-.

(2)∵y=x2+x-，∴ P (-1，-2)，C(0，-).

設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，則-2=-k+b，b=- .解得k=，b=-.

∴直線PC的解析式為y=x-.

(3) 如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PC，垂足為E.

設(shè)直線PC與x軸交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，0).

在Rt△OCD中，∵ OC=，OD=3，

∴ CD==.

∵ OA=3，OD=3，∴AD=6.

∵ ∠COD=∠AED=90°，∠CDO是公共角，

∴ △COD∽△AED.

∴ =，即=. ∴ AE= .

∵≈2.688>2.5，

∴ 以點(diǎn)A為圓心、直徑為5的圓與直線PC相離.

點(diǎn)評(píng):判斷直線與圓的位置關(guān)系，先求出圓心到直線的距離，再比較與圓的半徑的大小，根據(jù)判斷方法，從而得到正確答案.

二、策略探索型——多向思索

根據(jù)題目的條件，不拘于常規(guī)解法，多向思索，求新求異，大膽嘗試，尋找最佳解法.

例2如圖，從一個(gè)直徑是2的圓形鐵皮中剪下一個(gè)圓心角為90°的扇形.(1)求這個(gè)扇形的面積(結(jié)果保留);(2)在剩下的三塊余料中，能否從第③塊余料中剪出一個(gè)圓作為底面與此扇形圍成一個(gè)圓錐?請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)當(dāng)圓O的半徑R(R>0)為任意值時(shí)，(2)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析:(1)連接BC，由勾股定理求得:AB=AC=，S==.

(2)連接AO并延長(zhǎng)，與弧BC和 ⊙C交于E，F(xiàn)，EF=AF-AE=2-，弧BC的長(zhǎng):l==. ∵2r=，∴ 圓錐的底面直徑為:2r=. ∵2-<，∴不能在余料③中剪出一個(gè)圓作為底面與此扇形圍成圓錐.

(3)由勾股定理求得:AB=AC=R. 弧BC的長(zhǎng):l==R.

∵2r=R，∴圓的底面直徑為:2r=R.

而EF=AF-AE=2R-R=(2-)R.

∵ 2-<，且R>0，∴(2-)R< R，即無(wú)論半徑R為何值，EF<2r.

∴ 不能在余料③中剪出一個(gè)圓作為底面與此扇形圍成圓錐.

責(zé)任編輯羅峰