數(shù)學(xué)思想在排列\(zhòng)\組合\\二項(xiàng)式定理中的應(yīng)用

一、分類討論思想

例1.四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有()

A.150種B.147種

C.144種D.141種

解析:任取4個(gè)點(diǎn)共C410=210種取法.四點(diǎn)共面的有三類:(1)每個(gè)面上有6個(gè)點(diǎn)，則有4×C46=60種取共面的取法;(2)相比較的4個(gè)中點(diǎn)共3種;(3)一條棱上的3點(diǎn)與對(duì)棱的中點(diǎn)共6種.

例2.某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2，3張為不同花色的A，有5次出牌機(jī)會(huì)，每次只能出一種點(diǎn)數(shù)的牌但張數(shù)不限，此人有多少種不同的出牌方法?

解析:出牌的方法可分為以下幾類:

第一類辦法:5張牌全部分開出，有A55種方法;

第二類辦法:2張2一起出，3張A一起出，有A25種方法;

第三類辦法:2張2一起出，3張A一起出，有A45種方法;

第四類辦法:2張2一起出，3張A分兩次出，有C23A35種方法;

第五類辦法:2張2分開出，3張A一起出，有A35種方法;

第六類辦法:2張2分開出，3張A分兩次出，有C23A45種方法.

因此，共有不同的出牌方法A55+A25+A45+A23A35+A35+C23A45=860種.

二、函數(shù)思想

例3.證明:當(dāng)n≥3時(shí)，2n≥2(n+1)，n∈N

解析:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+C1nx+…+Cnnxn，則f(1)=(1+1)n=C0n+C1n+C2n+…+Cnn=1+n+C2n+…+Cn-2n+n+1=Cnn=2(1+n)+(C2n+…+Cn-2n)=2n

當(dāng)n=3時(shí)，2n=2(1+n)

當(dāng)n>3時(shí)，2n=2(1+n)+(C2n+…)=2n

所以當(dāng)n≥3時(shí)，2n≥2(n+1)，n∈N

三、整體思想

例4.有8本互不相同的書，其中數(shù)學(xué)書3本，外文書2本，其他書3本，若將這些書排成一列放在書架上，則數(shù)學(xué)書恰好排在一起，同時(shí)外文書也恰好排在一起的排法共有多少種?

分析:先將數(shù)學(xué)書和外文書各當(dāng)作一個(gè)整體與其他書進(jìn)行全排列，有A55種，再將數(shù)學(xué)書和外文書各自進(jìn)行全排列，分別有A33和A22種，故一共有A55·A33·A22種。

四、等價(jià)轉(zhuǎn)換思想

例5.一條路上共有11個(gè)路燈，為了節(jié)約用電，擬關(guān)閉其中4個(gè)，要求兩端的路燈不能關(guān)閉，任意兩個(gè)相鄰的路燈不能同時(shí)關(guān)閉，那么關(guān)閉路燈的方法總數(shù)有多少種?

解析:11個(gè)燈中關(guān)閉4個(gè)等價(jià)于在7個(gè)開啟的路燈中，選4個(gè)間隔(不包括兩端外邊的裝置)插入關(guān)閉的過程，故有C46=15種.

例6.映射f∶A→B，如果滿足集合B中的任意一個(gè)元素在A中都有原象，則稱為滿射，已知集合A中有4個(gè)元素，集合B中有3個(gè)元素，那么從A到B的不同滿射的個(gè)數(shù)有多少個(gè)?

解析:集合A中的4個(gè)元素到集合B中的3個(gè)元素的不同滿射個(gè)數(shù)等價(jià)于將4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子都不空的不同放法。由題意可得有3C14C13C22=36個(gè)。

五、數(shù)形結(jié)合思想

例7.在一塊10壟并排的地中，任選2壟分別種植A、B兩種植物，要求A、B兩種植物的間隔不小于6壟，則有多少種不同的選壟方案?

解析:如圖，

用并排一行的10個(gè)小矩形表示10壟地，小矩形內(nèi)加○號(hào)表示選中，具體畫出來有6種選取方式，再對(duì)每種選取方式，分別種植A、B兩種植物，有A22種種植方法，因此共有6A22=12種選壟方案。

作者單位:貴州省龍里中學(xué)