色散對光纖中高斯光脈沖傳播特性的影響

摘 要:從麥克斯韋方程組出發(fā)，建立了光脈沖在光纖中傳播的理論模型。在只考慮色散效應(yīng)的情況下，對該理論模型進(jìn)行進(jìn)一步的研究，數(shù)值模擬出高斯光脈沖在光纖中的傳輸狀態(tài)，并討論了色散對光脈沖傳播特性的影響。結(jié)果表明，群速度色散會增加光脈沖的寬度而波形保持不變;三階色散會引起光脈沖的畸變。該結(jié)論對光纖的色散補(bǔ)償具有一定的理論參考價值。

關(guān)鍵詞:光纖; 光脈沖; 色散; 傳輸狀態(tài)

中圖分類號:TN929 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)07-0089-03

Influence of Dispersion on Transmission Characteristics of Gauss Optical Pulse in Fiber

ZHANG Xiao-lin， ZHOU Xiao-hong， GAO Xiao-rong， WANG Li， WANG Ze-yong

(College of Physic Science and Technology， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China)

Abstract: A theoretic model that describes the propagation of optical pulse in fiber was built proceeding from Maxwell′s equations. A further discussion about this theoretic model is proposed in the case of only considering dispersion. The transmi-ssion state of Gauss optical pulse in fiber was simulated numerically，and the influence of dispersion on transmission characteristics of optical pulse is discussed.It shows that GVD can lead to considerable pulse broadening but keep the pulse shape unchanged， and the TOD can cause pulse distortion.The conclusion has a certain value of theoretical reference on the fiber dispersion compensation.

Keywords: fiber; optical pulse; dispersion; transmission state

0 引 言

光纖通信系統(tǒng)是利用電磁波譜中可見光或近紅外區(qū)域的高頻電磁波(約100 THz)作為載波，光纖作為媒質(zhì)，將信息從一個地方傳送到另一個地方的通信系統(tǒng)[1]。由于它具有其他通信系統(tǒng)無法比擬的優(yōu)勢，在各個領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。目前，隨著人們對高速度、大容量信息系統(tǒng)的需求，建立具有大通信容量的光纖通信系統(tǒng)已經(jīng)成為人們的當(dāng)務(wù)之急[2-3]。限制光纖通信發(fā)展的兩大瓶頸是光纖的損耗和色散。隨著光纖放大器的發(fā)明和使用，光纖的損耗問題可以通過對信號脈沖的放大得以解決。于是，色散問題就顯得尤為突出[4]。色散會導(dǎo)致在光纖中傳輸?shù)墓饷}沖產(chǎn)生變形，并且系統(tǒng)傳輸距離越長，容量越大，光纖色散造成的影響也就越大[5]，從而影響通信系統(tǒng)的容量。因此，為了提高系統(tǒng)的通信容量，就必須研究光纖色散對在其中傳輸?shù)墓饷}沖的影響，進(jìn)而采取辦法消除影響，即色散補(bǔ)償。

本文從麥克斯韋方程組出發(fā)，建立起光纖中光脈沖傳播的理論模型。然后在只考慮色散效應(yīng)的情況下，對該模型進(jìn)行進(jìn)一步的研究，利用傅里葉變換及計算機(jī)編程語言，數(shù)值模擬出高斯光脈沖在光纖中的傳輸狀態(tài)，并分析討論了色散對光脈沖傳播特性的影響。

1 光脈沖傳播的理論模型

光是一種電磁波，其傳播規(guī)律遵循麥克斯韋方程組[1]，從該方程組出發(fā)可以推導(dǎo)出光脈沖在光纖中傳輸時滿足如下方程:

z=i[β(ω)+iα2-β0]

(1)

式中:表示電場強(qiáng)度的頻域慢變振幅;β(ω)為角頻率分量ω的波數(shù);α為介質(zhì)的損耗系數(shù)。該方程為光脈沖在頻域中傳播時遵循的方程。在本文中只考慮色散的影響，為簡便起見，不考慮損耗[6]，取α=0。

將波數(shù)β(ω)在光脈沖中心頻率ω0處進(jìn)行泰勒級數(shù)展開得[7]:

β(ω)=β0+β1(ω-ω0)+12β2(ω-ω0)2+

16β3(ω-ω0)3+…

(2)

式中:β1=dβdωω=ω0=1Vg為群速度色散的倒數(shù);β2=d2βdω2ω=ω0為群速度色散(GVD); β3=d3βdω3ω=ω0為三階色散[8]。對于皮秒超短高斯脈沖，由于Δωω0，因此展開式中的四次項(xiàng)及更高次項(xiàng)通常被忽略[6]。

將式(2)代入式(1)，并做傅里葉逆變換，可以解得:

A(chǔ)z+β1A(chǔ)t+i2β22At2-16β33At3=0

(3)

此方程就是光脈沖在光纖中傳播時的基本方程，它清楚地表明了在光脈沖傳輸過程中，光纖色散對其波形的影響。

令T=t-Vgz=t-β1z′，z=z′，其中β1=1Vg，式(3)變?yōu)?

A(chǔ)z′=-i2β22AT2+16β33AT3

(4)

對上式進(jìn)行傅里葉變換，且令Ω=ω-ω0，得:

z′=i2β2Ω2+i6β3Ω3

(5)

此方程即為光脈沖在傳播過程中，其慢變振幅A滿足的頻域基本傳播方程。解此微分方程，得到脈沖振幅A在頻域中的表示式:

(z，Ω)=(0，Ω)exp[(i2β2Ω2+i6β3Ω3)z]

(6)

式中:(0，Ω)表示光脈沖在光纖輸入端的振幅。對上式兩邊同時作逆傅里葉變換，得到光脈沖振幅A在時域中的表達(dá)式為:

A(z，t)=12π∫+∞-∞(0，Ω)e-iΩt#8226;

exp[(i2β2Ω2+i6β3Ω3)z]dΩ

(7)

這樣就建立了光脈沖在光纖中傳播的理論模型，接下來將對該模型進(jìn)行數(shù)值模擬，分析光脈沖在光纖中的傳播特性。

2 數(shù)值模擬與分析

光纖通信系統(tǒng)中大都采用半導(dǎo)體激光器作為光源，一般它產(chǎn)生的光脈沖信號是高斯光脈沖。在光纖輸入端，其慢變振幅可以表示為[9]:

A(0，T)=A0e-1+ic2(TT0)2

(8)

式中:T0代表光脈沖在1/e強(qiáng)度點(diǎn)的半寬;c為啁啾參數(shù)，它表征了激光器產(chǎn)生光脈沖時引入的附加線性調(diào)頻，說明了光脈沖載頻隨時間的變化。對式(8)進(jìn)行傅里葉變換，得到輸入光脈沖在頻域中的振幅表達(dá)式:

(0，Ω) = A02πT201+ic12e-T20Ω22(1+ic)

(9)

將式(9)代入式(7)，得:

A(z，t) = 12π∫+∞-∞A02πt201+ic12e-t20Ω22(1+ic)-iΩt#8226;

exp[(i2β2Ω2+i6β3Ω3)z]dΩ

(10)

光強(qiáng)為:

I(z，t)=|A(z，t)|2

(11)

通過式(11)可以計算出光脈沖在傳播路徑上任一點(diǎn)的光強(qiáng)，從而數(shù)值模擬出光脈沖的傳輸狀態(tài)。

2.1 β3=0時光脈沖的傳播特性

當(dāng)光脈沖的波長遠(yuǎn)離1 310 nm，即零色散窗口時，三階非線性色散β3與群速度色散β2相比很小，對脈沖波形的影響可以忽略，故近似地取β3=0。由式(6)可知，β3=0時慢變振幅的頻域下的表達(dá)式為:

(z，Ω)=(0，Ω)expi2β2Ω2z

(12)

對應(yīng)的時域中的表達(dá)式為:



A(z，t)=12π∫+∞-∞(0，Ω)expi2β2Ω2z-iΩtdΩ

(13)

計算可得:

A(z，t)=A0T01T20-iβ2z(1+ic)12 #8226;

exp-t2(1+ic)2T20-iβ2z(1+ic)

(14)

定義Ld=T20/β2為色散長度[7]。在圖1中畫出了c=0，z=5Ld且對光強(qiáng)進(jìn)行歸一化后光纖輸出端光脈沖的形狀。圖中實(shí)線表示的是β2=0，β3=0，c=0，即無色散無啁啾時的高斯光脈沖波形;虛線表示的是β2=-20 ps2/km，β3=0，c=0時的光脈沖波形。從圖1中可以看出，由于群速度色散β2的存在，高斯脈沖在光纖中傳輸時仍保持高斯型，但脈沖被展寬;而且群速度色散對脈沖的影響是對稱的，脈沖兩邊展寬一樣，脈沖強(qiáng)度仍呈對稱分布。

圖1 c=0，z=5Ld，β3=0時，光纖輸出端光脈沖的形狀

2.2 β2=0時光脈沖的傳播特性

當(dāng)輸入光脈沖的波長等于零色散波長(1 310 nm)時，光纖中的群速度色散β2=0，此時對光脈沖形狀的影響主要是由三階色散β3造成的。由式(6)可知:

(z，Ω)=(0，Ω)expi6β3Ω3z

(15)

對應(yīng)的時域中的表達(dá)式為:



A(z，t)=12π∫+∞-∞(0，Ω)expi6β3Ω3z-iΩtdΩ

(16)

再把式(9)代入式(16)，得:

A(z，t)=12π∫+∞-∞A02πt201+icexp-t20Ω22(1+ic)+

i6β3Ω3z-iΩtdΩ

(17)

此表達(dá)式?jīng)]有解析解，只能通過編程數(shù)值求解。

定義

L′d

=T30/β3為三階色散長度[7]。圖2畫出了c=0，z=5Ld且對光強(qiáng)進(jìn)行歸一化后，光纖輸出端光脈沖的形狀。同樣，圖中實(shí)線表示的是β2=0，β3=0，c=0，即無色散無啁啾的高斯光脈沖的波形，而虛線表示的是β2=0，β3=0.1ps3/km，c=0時的光脈沖波形。從圖2中可以看出，高斯脈沖在傳輸過程中不再保持原高斯脈沖形狀，而是形成了一種振蕩結(jié)構(gòu)的拖尾;并且可以看到，三階色散β3對脈沖的影響是非對稱的。分析表明，當(dāng)β3>0時，會在脈沖的后沿出現(xiàn)振蕩形結(jié)構(gòu);當(dāng)β3<0時，會在脈沖的前沿出現(xiàn)振蕩結(jié)構(gòu)[10]。

圖2 c=0，z=5Ld，β2=0時，光纖輸出端光脈沖的形狀

2.3 β2，β3均不為零時光脈沖的傳播特性

當(dāng)群速度色散β2和三階色散β3都存在時，脈沖波形要受到二者的共同影響。利用式(6)與式(9)，可以得到此時光強(qiáng)隨傳播距離的時域表達(dá)式為:

A(z，t)= 12π∫+∞-∞A02πt201+ice -t20Ω22(1+ic)-iΩt#8226;

expi2β2Ω2z+i6β3Ω3zdΩ

(18)

同樣取c=0，z=5Ld且對光強(qiáng)進(jìn)行歸一化，圖3畫出了β2=-0.002 ps2/km，β3=0.1 ps3/km時光脈沖的傳播特性。此處定義的高階色散長度L′d=T30/β3與2.2節(jié)的相同。從圖3中可以看出，由于受到β3的影響，光脈沖在傳播過程中也出現(xiàn)了振蕩拖尾現(xiàn)象;同時，對比于圖2可以知道，由于β2的存在，它削弱了β3的影響，其振蕩幅度比圖2中的小。

綜上分析可知，β2對脈沖形狀的影響是使脈沖平滑展寬，同時會限制幅度的振蕩;而β3的影響是使脈沖形狀產(chǎn)生畸變，形成不對稱的前后沿結(jié)構(gòu)，且當(dāng)β3>0時，脈沖后沿出現(xiàn)振蕩形結(jié)構(gòu);當(dāng)β3<0時，脈沖前沿出

現(xiàn)振蕩結(jié)構(gòu)。

圖3 c=0，z=5Ld，β2，β3均不為零時，

光纖輸出端光脈沖的形狀

3 結(jié) 語

研究了光纖色散對在其中傳輸?shù)母咚构饷}沖傳播特性的影響。結(jié)果表明，當(dāng)三階色散β3=0時，脈沖只受到了β2的影響，脈沖被展寬，其峰值逐漸降低，波形趨于平坦;當(dāng)群速色散β2=0且β3≠0，即三階色散的影響不能忽略時，脈沖波形受到β3的影響，形成了一種振蕩結(jié)構(gòu)的尾部，當(dāng)β3>0時，脈沖后沿出現(xiàn)振蕩形結(jié)構(gòu)，當(dāng)β3<0時，脈沖的前沿出現(xiàn)振蕩結(jié)構(gòu);當(dāng)β2與β3同時存在時，脈沖受到二者的共同作用。此時，由于β2的作用，削弱了β3帶來的振蕩，波形較為平坦。本文對光纖的色散補(bǔ)償具有一定的理論參考價值。

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