小子樣條件下電子裝備維修性驗證模型研究

摘 要:介紹了經典維修性驗證方法，并指出其存在的不足，主要是對于現代電子設備而言傳統的驗證方法需要的試驗樣本量太大，試驗經費昂貴，難以滿足實際工程需要。根據Bayes原理，結合驗前信息，推導建立了小子樣條件下修復時間為對數正態分布時的驗證模型以及試驗時所需的樣本量，通過理論推導，證明了該方法比經典的驗證方法所需的樣本量有所減少，可以節省試驗經費，具有一定的實用價值。

關鍵詞:維修性驗證; Bayes原理; 平均修復時間; 指標

中圖分類號:TN919-34文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)21-0038-03

Maintainability Verification Method for Electronical Equipment with Small Sample Size

LIU Fu-cheng， SHANG Chao-xuan， LI Gang

(Ordnance Engineering College， Shijiazhuang 050003， China)

Abstract: The shortages of classical maintainability demonstration method are introduced， which include large number of samples and expensive cost in experiment for the traditional verification of modern electronic equipments. The Bayes theory is used to reckon and provide small sample maintainability verification method for electronical equipment， and the sample size of the test. It proves that the cost can be saved and it has practical value.

Keywords: maintainability verification; Bayes theory; MTTR; index

0 引 言

維修性試驗與評定是產品在研制和生產階段的重要活動之一，目的是全面考核產品是否達到規定的維修性要求[1]。維修性試驗與評定的內容包括定性和定量兩部分，定量的維修性試驗與評定，其目的是對產品的維修性指標進行驗證，要求在自然故障或模擬故障條件下，根據試驗中得到的數據，統計計算維修性參數，進行判決，驗證其維修性是否達到指標的要求。由于維修時間參數是最重要的維修性參數[2]，直接影響到裝備的可用性，因此，在絕大多數的裝備中，主要采用維修時間作為指標進行驗證，其中尤其以平均修復時間(MTTR)最為常見。

1 基于經典數理統計學的驗證方法

目前在維修性驗證方面，國內外均有傳統的方法供使用，并制定了相應的標準。美國采用的是MIL-STD- 471標準，國內采用的是GJB2072-94標準，這些標準中的驗證方法均是建立在經典數理統計學的基礎上的。

在確定了裝備的維修性指標后，就要對其是否滿足維修性要求進行驗證，維修性定量指標的試驗驗證在GJB2072-94標準中有11種方法可供選擇，根據不同的參數、要求等諸多因素，綜合考慮選擇合適的驗證方法。標準中對平均修復時間的驗證提供了三種方法，見表1。

表1 平均修復時間試驗方法匯總表

編號分布假設推薦樣本量作業選擇

1-A對數正態，方差已知不小于30自然或模擬故障

1-B分布未知，方差已知不小于30自然或模擬故障

9分布未知不小于30自然或模擬故障

上述國軍標中的方法是目前最為成熟、應用最為廣泛的方法。在現階段的絕大多數電子裝備研制過程中，這些方法都是維修性定量指標驗證的規范指南，其中規定了詳細的操作實施步驟，能夠很好地指導驗證工作的完成。同時GJB2072-94標準中指明“實踐表明，維修作業時間采用對數正態分布的假設在大多數情況下是合理的”。因此，研究對數正態分布下平均修復時間指標的驗證方法具有典型性。

該方法要求維修修復時間服從對數正態分布，其方差σ2已知，或能由以往資料得到其適當精度的估計值2。

若進行試驗并記錄的觀測值(已取對數)為X1，X2，…，Xn，計算其均值:

X=1n∑ni=1Xi

若:

X≤f(μ0，α)

(1)

則認為該裝備符合維修性要求而接受，否則拒絕。

國軍標中規定的該驗證方法是建立在傳統數理統計基礎之上的，立足于大樣本的試驗數據情況，而現代電子裝備制造精密，造價昂貴，驗證試驗費用高，用傳統的驗證方法進行大樣本試驗難以實現[3]，因此要在小子樣條件下進行維修性驗證。

2 小子樣條件下維修性驗證方法

在前面已經介紹了修復時間在大多數情況下服從對數正態分布，把維修時間的對數作為研究對象，就可以統一在正態分布的前提下進行研究，所以假設以下所有的數據均經過對數變換。

若進行試驗并記錄的觀測值(經對數變換)為X1，X2，…，Xn，由于X～N(μ，σ2)。其中σ2已知，或由以往資料得到其適當稍度的估計值2， μ為總體分布的未知參數。維修性驗證的目的是判斷μ與按合同給出平均修復時間可接受值μ0、不可接受值μ1之間的關系，通過分析計算得到μ的驗前分布為正態分布[4-6]，即μ～N(θ，ν2)，其中θ，ν2為已知的μ的驗前均值和方差。按合同給出平均修復時間的可接受值μ0、不可接受值μ1、承制方風險α和訂購方風險β，可以通過如下方法對平均修復時間進行驗證。

作如下假設:

H0:μ=μ0

H1:μ=μ1

首先計算兩種假設的驗前概率比[7]:

P(μ=μ1)P(μ=μ0)=limδ→0P(μ1+δ)-P(μ1-δ)P(μ0+δ)-P(μ0-δ)

=P′(μ1)P′(μ0)= e-12ν2(μ1-θ)2e-12ν2(μ0-θ)2

=e-12ν2[(μ1-θ)2-(μ0-θ)2]

(2)

由Bayes公式和式(2)可計算兩種假設的驗后似然比[8]:

Bayes公式:

P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)∑nk=1P(Ak)P(B|Ak)

驗后似然比:

P(H1|X)P(H0|X)=L(X|μ1)P(μ=μ1)L(X|μ0)P(μ=μ0)

=e12σ2∑ni=1[(Xi-μ0)2-(Xi-μ1)2]-12ν2[(μ1-θ)2-(μ0-θ)2]

當P(H1|X)P(H0|X)>1時，即:

當12σ2∑ni=1[(Xi-μ0)2-(Xi-μ1)2]-12ν2[(μ1-θ)2-(μ0-θ)2]>0時，可以推導出:

>σ2(μ0+μ1-2θ)2nν2+12(μ0+μ1)

(3)

式中:=1n∑ni=1Xi，此時備選假設H1成立的概率大于原假設H0成立的概率，此時接受備選假設，認為平均修復時間MTTR不符合要求。

而當:

<σ2(μ0+μ1-2θ)2nν2+12(μ0+μ1)

(4)

時，原假設H0成立的概率大于備選假設H1成立的概率，此時接受原假設，認為平均修復時間MTTR符合要求。

由X～N(μ，σ2)及正態分布的性質可知[9]，～N(μ，σ2n)，令t=σ/n，則有:

f(t|H0)=12πe-12(t-nσμ0)2

f(t|H1)=12πe-12(t-nσμ1)2

判決規則可以轉化為:

σ/n>σ(μ0+μ1-2θ)2nν2+n2σ(μ0+μ1)

和

σ/n<σ(μ0+μ1-2θ)2nν2+n2σ(μ0+μ1)

分別與式(3)，式(4)對應，令:

T=σ(μ0+μ1-2θ)2nν2+n2σ(μ0+μ1)

由兩類風險定義可得[10]:

α=P0∫+∞Tf(t|H0)dt=P0∫+∞T12πe-12t-nσμ02dt

=P01-ΦT-nσμ0

(5)

β=P1∫T-∞f(t|H1)dt=P1∫T-∞12πe-12t-nσμ12dt

=P1ΦT-nσμ1

(6)

式中:P0，P1分別為假設H0，H1成立的驗前概率。由于μ的驗前分布為正態分布μ～N(θ，ν2)，故:

P0=∫μ0-∞12πνe-(μ-θ)2ν22dμ

P1=1-P0

由式(5)、式(6)聯合求得最小試驗樣本量為:

n=Z1-αP0+Z1-βP1μ1-μ0σ2

當n不是整數時，應將其歸整為較大的整數。

因為αP0>α，βP1>β，所以Z1-αP0+Z1-βP1μ1-μ0σ2-α+Z1-βμ1-μ0σ2，不等式右邊是經典驗證方法試驗所需的樣本量，該不等式說明此方法試驗樣本量確實比經典驗證方法有所減少。由此可以證明，該方法可以減少試驗樣本量，能夠節省試驗時間和經費。

經過以上推導可得拒絕域為:

>σ2(μ0+μ1-2θ)2nν2+12(μ0+μ1)

若≤σ2(μ0+μ1-2θ)2nν2+12(μ0+μ1)，則認為該裝備符合維修性要求而接受，否則拒絕。

3 結 論

由于維修性驗證的經典統計方法所需的試驗樣本量太大，難以滿足現代電子裝備實際工程需要，從這個角度，本文提出了小子樣條件下維修性驗證問題，并推導建立了修復時間為對數正態分布時的維修性驗證模型以及維修性試驗時所需的樣本量，最后通過比較確實可以減少試驗的樣本量，在其他分布類型時同樣可以按著這種思路進行建立驗證模型。同時該模型也存在著不足，即驗前分布的確定雖有一定理論基礎，但是并不完善，需要進一步的研究。

參考文獻

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