面向海洋環(huán)境的裝備選優(yōu)與排序方法

摘 要:針對海洋環(huán)境下的武器裝備選擇問題，將其轉(zhuǎn)化為帶方案偏好、屬性權(quán)重完全未知且屬性值為區(qū)間數(shù)形式的多屬性決策問題。基于主觀偏好與客觀屬性值偏差最小化的思想，提出一個單目標(biāo)二次優(yōu)化模型，并利用LINGO軟件進(jìn)行模型求解，求得屬性權(quán)重。通過對屬性值和屬性權(quán)重的線性集結(jié)，得到排序結(jié)果。最后通過數(shù)值算例，驗證了該方法的可行性和操作性。

關(guān)鍵詞:海洋環(huán)境;區(qū)間數(shù);模糊互補(bǔ)判斷矩陣;線性偏差

中圖分類號:TP18 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)03-001-03

Solution of Equipments′ Selection and Ordering orient Ocean Environment

LIU Mingxing，DENG Su，HUANG Hongbin

(College of Information System and Management，National University of Defense and Technology，Changsha，410073，China)

Abstract:The solution of equipments′ selection and ordering orient ocean environment by transforming it to multiple attributes decision making problem with preference values on alternatives，in which the attribute weights are completely unknown and the attribute values are given in the forms of interval numbers.The single objective quadratic optimization model is proposed by minimizing the deviation between subjective preference and objective attributes values，and through solving the model by LINGO，the attribute weights can be obtained.Then the equipments are ordered by linear aggregating the attribute values and attribute weights.Finally，a numerical example is given to demonstrate the validity and rationality of this method.

Keywords:ocean environment;interval number;fuzzy complementary judgment matrix;linear deviation

0 引 言

多屬性決策(Multiple Attribute Decision Making，MADM)是指從有限個待選方案中經(jīng)過綜合權(quán)衡各個屬性后，對方案集進(jìn)行排序，并選出最滿意方案的過程[1]。近20年來，多屬性決策問題在軍事領(lǐng)域的應(yīng)用中倍受關(guān)注。由于測量儀器的不精確性，以及對問題認(rèn)識不夠深入和客觀情況的復(fù)雜性，人們往往不能準(zhǔn)確地確定海洋環(huán)境對武器影響的取值，但卻能確定一個大致的變化范圍。如何根據(jù)這些不確定的影響值對給出的武器裝備序列進(jìn)行排序選優(yōu)已成為一個典型的不確定多屬性決策問題。針對這類不確定多屬性決策問題的研究已有很多成果。例如，文獻(xiàn)[2]根據(jù)優(yōu)勢方案的概念，通過構(gòu)建最優(yōu)化模型進(jìn)行優(yōu)勢方案的分析;文獻(xiàn)[3]針對屬性權(quán)重信息不完全的多屬性決策問題，給出優(yōu)劣勢排序方法;文獻(xiàn)[4]根據(jù)傳統(tǒng)TOPSIS方法的基本思想，給出一種求解屬性權(quán)重信息不完全的區(qū)間數(shù)多屬性決策問題的分析方法;文獻(xiàn)[5]在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上提出解決問題的灰色關(guān)聯(lián)分析方法。本文結(jié)合提出的問題及以上分析方法，構(gòu)造主觀與客觀最小線性偏差模型，提出一種屬性權(quán)重信息完全不知、屬性值為區(qū)間數(shù)的多屬性決策方法。最后通過給出的算例，驗證了本文提出的方法。

1 定義及問題描述

首先定義幾個下標(biāo)集:下標(biāo)集L={1，2，…，l}，K={1，2，…，k}。接下來給出區(qū)間數(shù)及區(qū)間數(shù)排序的一些定義和結(jié)論。

定義1[6] 設(shè)a=[aL，aU]={x|aL≤x≤aU}稱a為區(qū)間數(shù)。若aL≥0，則a非負(fù)，記為a≥0;若aL=aU，則區(qū)間數(shù)a為普通的實數(shù)。

定義2[6] 設(shè)a=[aL，aU]為區(qū)間數(shù)，則稱E[a]=aL+aU2為a的期望值。

定義3[7] 當(dāng)a和b同時為區(qū)間數(shù)或者有一個為區(qū)間數(shù)時，設(shè)a=[aL，aU]，b=[bL，bU]，且記la=aU-aL，lb=bU-bL，則a≥b的可能度定義為:

p(a≥b)=min{la+lb，max(aU-bL，0)}la+lb(1)

定義4 給定一組區(qū)間數(shù)ai=[aLi，aUi]，i∈N，將它們兩兩比較，利用上述可能度公式求得相應(yīng)的可能度p(ai≥aj)，簡記為pij，i，j∈N，并建立可能度矩陣P=(pij)n×n，該矩陣包含了所有方案相互比較的全部可能度信息。文獻(xiàn)[8]給出排序公式:

υi1n(n-1)∑nj=1pij+n2-1， i=1，2，…，n(2)

由此可得可能度矩陣P的排序向量υ=(υ1，υ2，…，υn)。

定義5 設(shè)模糊判斷矩陣P=(pij)n×n，若有pij+pji=1，pii=0.5，則稱矩陣P是模糊互補(bǔ)判斷矩陣。假設(shè)對于給定的一組海洋環(huán)境要素Φ={φ1，φ2，…，φk}，其中φi=[φLi，φUi](i∈K)為區(qū)間數(shù)，Φ對武器裝備Ei(i∈L)的性能影響ai={ai1，ai2，…，aik}，其中aik=[aLik，aUik]為區(qū)間數(shù)。海洋因素對武器裝備的影響分析不在本文的分析范圍，假設(shè)前提是影響矩陣已知:

A=a11a12…a1k

a21a22…a2k

ai1ai2…aik

式中:aik=[aLik，aUik]。

此即為本文問題的決策矩陣。問題可描述為:

E={E1，E2，…，El}:待選武器裝備集合，即為方案集，l≥2。

Φ={φ1，φ2，…，φk}:海洋因素集，即為屬性集，k≥2。

ω={ω1，ω2，…，ωk}:海洋因素影響權(quán)重集，k≥2，且滿足ωj≥0，j∈K，∑kj=1ωj=1。

A=[aij]l×k:影響矩陣，即為決策矩陣，且aik=[aLik，aUik]為非負(fù)區(qū)間數(shù)，表示海洋因素φj，j∈K對武器Ei，i∈L的影響值，可以理解為方案Ei關(guān)于屬性φj的屬性值。

P=[pij]l×l:方案偏好關(guān)系矩陣。

文獻(xiàn)[10]給出了三種互補(bǔ)標(biāo)度，利用這三種互補(bǔ)標(biāo)度構(gòu)造的判斷矩陣均滿足定義4，它們都是模糊互補(bǔ)判斷矩陣。決策者根據(jù)0.1～0.9互補(bǔ)標(biāo)度對武器裝備集Ei，i∈L，進(jìn)行兩兩比較，得出模糊互補(bǔ)判斷矩陣P。

本文要解決的問題就是如何根據(jù)影響矩陣A和偏好矩陣P對武器裝備集E進(jìn)行排序，從中選擇最優(yōu)武器或是較優(yōu)武器集。

2 決策模型

步驟1:應(yīng)用區(qū)間數(shù)運算規(guī)則，將影響矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理[9]。

對于效益型屬性，有:

bLij=aLij∑li=1aUij，bUij=aUij∑li=1aLij(3)

對于成本型屬性，有:

bLij=1/aUij∑li=11aLij，bUij=1/aLij∑li=11aUij(4)

式中:i∈L，j∈K，規(guī)范化后的影響矩陣為B=(bij)l×k，bij=[bLij，bUij]。

步驟2:將綜合屬性值轉(zhuǎn)化為模糊互補(bǔ)判斷矩陣，并引入線性偏差。設(shè)方案的綜合屬性值為z(ω)=(z1(ω)，z2(ω)，…，zl(ω))，其中zi(ω)=[zLi(ω)，zUi(ω)]=[∑kt=1ωtbLit，∑kt=1ωtbUit]，用下列線性轉(zhuǎn)換函數(shù)把z(ω)轉(zhuǎn)換為模糊互補(bǔ)判斷矩陣形式=(ij)l×l，其中:



ij=12{1+E[zi(ω)]-E[zj(ω)]}

=12{1+∑kt=1(E[bit]-E[bjt])ωt}(5)

易知pij+pji=1，pii=0.5，pij≥0，i∈L，j∈K，P為模糊互補(bǔ)判斷矩陣。根據(jù)模糊互補(bǔ)判斷矩陣P=(pij)l×l和=(ij)l×l之間的偏差，引入線性偏差項:



dij=pij-pij=12{∑kt=1(E[bjt]-E[bit])ωt+2pij-1}(6)



為了使武器裝備的選擇盡可能地與決策者的主觀偏好一致，合理的屬性權(quán)重向量ω=(ω1，ω2，…，ωk)使上述線性偏差盡可能的小，因此可以建立如下的優(yōu)化模型:

M-1:



min D(ω)=∑li = 1∑lj = 1d2ij

=14∑li = 1∑lj = 1{∑kt = 1(E[bjt ]-E[bit ]ωt+ 2pij -1)}2，

ωj ≥0，j = 1，2，…，k，∑kj=1ωj=1



這是一個非線性二次規(guī)劃的問題，可以利用LINGO軟件進(jìn)行求解，得海洋因素的權(quán)重向量ω=(ω1，ω2，…，ωk)。

步驟3:根據(jù)步驟2求得的屬性權(quán)重可以得到武器裝備的綜合屬性值向量z(ω)=(z1(ω)，z2(ω)…，zl(ω))，其中zi(ω)=[zLi(ω)，zUi(ω)]=[∑kt=1ωtbLit，∑kt=1ωtbUit]。

步驟4:利用區(qū)間數(shù)比較的可能度式(1)，算出各武器裝備綜合屬性值zi(ω)(i∈L)之間的可能度，建立可能度矩陣P=(pij)l×l。

步驟5:利用式(2)求得可能度矩陣P的排序向量υ=(υ1，υ2，…，υn)，按其大小對武器裝備進(jìn)行排序，根據(jù)決策者的需要即可得到最優(yōu)武器裝備或者是較優(yōu)的武器裝備集合。

3 數(shù)值算例

下面結(jié)合本文背景來驗證給出的決策方法。

在一次作戰(zhàn)行動中，有一組武器裝備需要指揮員(決策者)來做出選擇，要選擇出當(dāng)時的海洋環(huán)境要素對其影響最小，最能發(fā)揮武器作戰(zhàn)效能的武器裝備。假設(shè)有2種型號的驅(qū)逐艦、2種型號的護(hù)衛(wèi)艦Ei(i=1，2，3，4)可供決策者選擇，影響的海洋要素有風(fēng)速(φ1)，能見度(φ2)，海浪(φ3)和海流(φ4)。根據(jù)當(dāng)時這些海洋要素的預(yù)報值，可以得到它們對上述4種武器裝備的影響值矩陣(決策矩陣)，見表1。

表1 影響矩陣A

裝備φ1φ2φ3φ4

E1[6.1，6.7][7.3，7.9][8.1，8.7][2.1，2.7]

E2[7.2，7.8][6.5，6.9][7.8，8.3][2.4，2.8]

E3[4.4，5.1][4.3，4.8][6.2，6.8][3.4，3.8]

E4[5.3，5.8][4.2，4.7][6.5，7.2][4.1，4.8]

注:影響值用0～10之間的數(shù)來表示，越大表示影響越大，0表示無影響。

假設(shè)決策者根據(jù)0.1～0.9互補(bǔ)標(biāo)度給以上武器集合Ei(i=1，2，3，4)進(jìn)行兩兩比較，給出偏好矩陣(模糊互補(bǔ)判斷矩陣):

P=0.50.50.60.80.80.50.30.10.40.70.50.40.20.90.60.5

第一步:易知海洋環(huán)境對武器裝備的影響為成本型，根據(jù)式(4)可求得歸一化后的影響矩陣，見表2。

表2 歸一化后的影響矩陣B

裝備φ1φ2φ3φ4

E1[0.21，0.25][0.17，0.20][0.20，0.24][0.26，0.40]

E2[0.18，0.22][0.19，0.22][0.21，0.25][0.25，0.35]

E3[0.27，0.35][0.27，0.34][0.26，0.31][0.18，0.25]

E4[0.24，0.29][0.28，0.34][0.25，0.30][0.15，0.20]

第二步:建立模型(M-1)，如下:



min=

05×[(003ω1-002ω2-001ω3+003ω4+06)2+

(008ω1+012ω2+0065ω3-0115ω4+02)2+

(0035ω1+0125ω2+0055ω3-0155ω4+06)2+(011ω1+010ω2+0055ω3-0085ω4-04)2+(0065ω1+0105ω2+0045ω3-0125ω4-08)2+(0045ω1-0005ω2+001ω3+004ω4+02)2]，

ω1，ω2，ω3，ω4≥0;∑4j=1ωj=1



利用LINGO進(jìn)行求解得出海洋因素的權(quán)重向量ω=(0.88，0.12，0，0)。

第三步:根據(jù)第二節(jié)中步驟3~5求得最終排序向量υ=(0.186 9，0.146 4，0.357 8，0.308 9)，得到的排序結(jié)果為E3>E4>E1>E2。最優(yōu)選的武器為E3。

4 結(jié) 語

提出了海洋環(huán)境下的武器裝備排序與選優(yōu)問題的多屬性問題解決方法。該方法在完全不知影響因素權(quán)值的前提下，根據(jù)主觀偏好與客觀區(qū)間屬性值偏差最小化原理，建立二次優(yōu)化模型，通過對該模型的求解，解決了海洋環(huán)境下武器裝備的排序與選優(yōu)問題。從數(shù)值算例的結(jié)果可以看出，求得的權(quán)重向量中零值較多，產(chǎn)生這種結(jié)果的原因可能是因為決策者的偏好比重占據(jù)太大，如何更好地平衡決策者的偏好與客觀屬性值的關(guān)系，也是以后應(yīng)該研究的問題。

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