Logistic滿映射混沌序列性能分析

摘 要:通過建立Logistic滿映射混沌模型，產生Logistic滿映射混沌模擬序列，再進行二值量化后，利用Matlab 7.0對其性能進行仿真分析。主要分析其初值敏感性、相關性、平衡性、遍歷性、相空間及倍周期分岔特性。分析結果表明，Logistic滿映射混沌序列具有良好的自相關性、互相關性、平衡性，而且其序列數量眾多，其性能優于傳統的偽隨機序列。該序列可廣泛用于數字加密、擴頻通信等領域中。

關鍵詞:混沌序列;相關性;平衡性;相空間;Matlab仿真

中圖分類號:TN914 文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)03-194-03

Performance Analysis of Full Mapping Chaotic Sequence about Logistic

YAN Sanguo，CHEN Yongbin

(Chengdu Electromechanical College，Chengdu，610031，China)

Abstract:To produce Logistic full mapping chaos analog sequence，a Logistic full mapping chaos model is built，and then it is guantified two level digital sequence. The performance analysis of this chaotic sequence is carried out by use of Matlab 7.0 simulation. Senstivity of initial value，correlation，balance，ergodic，phase dimensional and double-periods forks characteristic are mainly analyzed. The analysis results show that the performance of this chaotic sequence is better than that of traditional pseudo random sequences for more well correlative performance and balance performance，and their number is large. It can be widely used in digital encryption and spread spectrum communcation.

Keywords:chaotic sequence;correlation;balance;phase dimensional;Matlab simulation

混沌現象是在非線性動態系統中出現的確定性、類似隨機的過程，這種過程非周期、不收斂但有界，并且對初始值具有及其敏感的依賴性[1]。通過混沌方法產生的序列，其數量眾多，廣泛地用于數字加密[2]和數字通信領域中。然而混沌擴頻序列、混沌跳頻序列也取得了很好的研究成果[3，4]。常見的混沌序列有Logistic序列、Tent序列和Chebyshev序列等。本文主要對參考文獻[5]所定義的Logistic序列，通過其映射方程，利用Matlab 7.0計算仿真，對其相關性、平衡性、遍歷性、相空間及倍周期分岔等特性進行分析，得出Logistic序列的基本性質。

1Logistic混沌序列

Logistic映射是最基本的映射方法，其定義如下:

Xn + 1 = f(μ，Xn) = μXn(1-Xn)，

0

(1)

式中:μ稱為分形參數，當3.569 945 6<μ≤4時，Logistic工作在混沌狀態[6]。其輸入和輸出都分布在區間(0，1)上，在任意初始條件X0下，通過上述迭代映射能產生Logistic混沌序列，其序列是非周期、不收斂的。Logistic映射的另一種形式如式(2)，它的輸入和輸出都分布在(-1，+1)的區間上，當μ=2時，稱為滿映射[2，5]。

Xn + 1 = f(μ，Xn) = 1-μX2n，-1≤Xn≤1，0<μ≤2，n=0，1，2，…

(2)

Xn + 1 = f(μ，Xn) = 1-2X2[3]n，-1≤Xn≤1，n=0，1，2，…

(3)

2 性能仿真分析

主要針對Logistic映射(2)和Logistic滿映射(3)所產生的混沌序列，利用Matlab 7.0對其進行性能分析仿真。設置相應的初始值，通過迭代運算生產混沌模擬序列，按照參考文獻[1]的方法對模擬序列進行量化，產生[-1，+1]的二值數字Logistic混沌序列。對其初值敏感性、相關性、平衡性、遍歷性、相空間及倍周期分岔特性進行分析。通過仿真分析， Logistic混沌序列的許多性能優于傳統的偽隨機序列。

2.1 初值敏感性

混沌序列的最重要特征是對初值變化的敏感依賴性，初始值有非常細微的變化，通過一定次數的迭代運算后，會產生兩個完全不相同的序列。利用這一特性，通過設置初始值，可以生成許多不相關的序列，增加了序列的數量。

對滿映射式(3)分別取初始值X0為0.600 001和0600 002進行100次迭代運算后的結果如圖1所示。橫軸表示迭代的次數，縱軸表示序列的取值，圖中虛線表示初值為0.600 001的迭代軌跡，實線表示初值為0600 002的迭代軌跡。兩者的初始值僅相差1×10-6，但是通過100次迭代后，兩個序列有很大的差別，這說明混沌序列對初值非常敏感。通過預置初值，可以產生不同的混沌序列，其序列數量相當可觀，是m序列、Gold序列等偽隨機序列不可比的。

圖1 初值敏感特性

2.2 相關性

序列的相關性分為自相關性和互相關性。序列相關性的好壞，直接影響序列的適應性能。設x(k)和y(k)是二元域[-1，+1]上長度為p的兩個序列，則序列的自相關函數和互相關函數定義如下[7]:

Rx(j)=1p∑pi=1xixi+j

(4)

Rxy(j)=1p∑pi=1xiyi+j

(5)

式中:j是相關間隔。為了分析Logistic滿映射序列的相關性，首先對式(3)預設初始值，將迭代運算產生的模擬序列進行量化，量化時采用最簡單的二值量化序列方法[3]，形成二值量化序列。二值量化是將模擬序列元素xk進行二值量化，其方法是，假設模擬序列的均值為，則二值量化序列可表示為{y(k)，k=0，1，2，…}，其中[1]:

y(k)=-1， xk<

1，xk≥

(6)

式中:也就是二值量化序列的判決門限。因為Logistic滿映射Xn + 1 = 1-2X2n的概率密度函數為[5]:

ρ(x)=1π1-x2，-1≤x≤1

(7)

所以其模擬混沌序列均值為:

=∫1-1xρ(x)dx =0

(8)

即Logistic滿映射產生的模擬混沌序列均值=0。利用上述辦法，對式(3)預設的兩個初值0600 001和0600 002分別產生兩個模擬序列xk和yk。根據式(6)分別對其進行量化，形成兩個二值序列混沌序列x(k)和y(k)，取序列的長度為1 000。然后根據式(4)和式(5)分別計算其自相關和互相關函數值。通過仿真計算，序列x(k)的自相關函數值如圖2所示，序列x(k)和y(k)的互相關函數值如圖3所示。

圖2 Logistic滿映射的自相關函數值

圖3 Logistic滿映射的互相關函數值

從圖2中可以看出，初始值僅相差1×10-6的兩個滿映射Logistic序列的自相關峰非常尖銳，僅在j=0時，有一個主瓣為1，而其旁瓣很小，接近于零。自相關函數類似δ函數，具有白噪聲性能，其混沌序列的自相關性很強。

從圖3可知，兩混沌序列互相關值非常小，幾乎接近于零。因此，通過預設不同的初始值，可以產生數量龐大的混沌序列，廣泛用于各種多址通信中，作為地址碼使用。其相關性優于傳統的偽隨機序列。

2.3 平衡性

在擴頻通信中，對系統質量的影響之一就是碼的平衡性，平衡碼具有更好的頻譜特性。在DS序列中，碼的平衡性對載波抑制度有密切的關系[7]。因此，碼的平衡性直接關系到擴頻通信系統的性能。所謂平衡序列指序列中“1”碼元數量與“-1”碼元數量相當，不能過多，也不能過少[8]，數量越接近越好。而由式(2)產生的混沌序列的平衡性會隨著分形參數μ的變化而變化，當μ=2時，即滿映射時，混沌序列的性能最好。為此，對式(3)預設初始值為0.600 001進行迭代運算，通過選不同的序列長度，計算它的平衡性，其結果如表1所示。

表1 Logistic滿映射平衡性表

序列長度N1的數量比率 /%-1的數量比率 /%

51125449.7125750.29

1 02350549.3651850.64

2 0471 03350.461 01449.54

4 0952 05550.182 04049.82

從表1可以看出，Logistic滿映射產生的混沌序列具有很好的平衡性能，在序列中“1”的數量和“-1”的數量相當，幾乎各占50%，是很好的平衡碼序列。然而初始值X0的取值對平衡性也有一定的影響，因此對Logistic滿映射應剔除X0=0.5的情況[9]，此時，其序列平衡性最差。

2.4 遍歷性及相空間

遍歷性也稱各態歷經性，混沌的重要特性之一就是遍歷性。從理論上講，當Xn經過n次迭代運算后(n值足夠大時)，其迭代運算取值能遍歷[-1，+1]上所有的值。取初值X0=0.600 001，對式(3)進行1 000次迭代所產生的混沌軌跡如圖4所示。圖中的“+”表示迭代次數n對應的Xn的取值。同時以X0，X1，…，Xn為橫坐標，以各值對應的下一值為縱坐標，通過仿真計算后，繪出Xn與Xn+1的相空間圖如圖5所示。

圖4 迭代次數n與Xn的關系圖

圖5 相空間

從圖4中可以看出，當迭代次數足夠大時，模擬混沌序列的取值Xn幾乎遍歷了[-1，+1]的區間。從圖5可以看出，Logistic滿映射的相空間結構是一種簡單的單峰結構，又稱之為單峰映射。

2.5 倍周期分岔特性

混沌是過程的科學、演化的科學，由倍周期分岔通往混沌是實現混沌最典型的方法[10]。當μ的取值范圍是(0，2]時，Logistic映射是從區間[-1，+1]到其本身的非線性映射。因此，μ以0.005的步長，在(0，2]區間逐步增加時，對每一個固定的μ值，取一個初始值X0=0.600 001，通過對式(2)進行1 000次迭代運算，每當給定一個μ值后，取其最后300次的Xn值進行繪圖，其結果如圖6所示。此圖稱為分岔圖，圖中，橫坐標表示μ的取值范圍，縱坐標表示Xn的取值范圍。

圖6 分岔圖

從圖6中可看出，0<μ≤0.75時[5]，每一個μ值，只對應一個Xn值，此范圍稱為不動點或周期1軌道;當0.75<μ≤1.25時[5]，發生了第一次倍周期分岔，從周期1軌道變成周期2軌道;當1.25<μ≤1.368 1時[5]，發生了第二次倍周期分岔，從周期2軌道變成周期4軌道;當1.37<μ≤1.401 155…時[5]，發生了第三次倍周期分岔，從周期4軌道變成周期8軌道;當1401 155…≤μ≤2時，軌道周期達到無窮長，系統工作于混沌狀態，產生混沌序列。因此，在從μ=0到μ=1401 155…變化時，存在一個倍周期分岔序列，其周期為1→2→4→8→無窮長。也就是說，當μ由小逐漸變大時，則由倍周期分岔通往混沌的道路就徹底打通了。另外，從圖6中也可看出，當μ=2時，Xn的取值分布在整個[-1，+1]區間，這也進一步說明Logistic滿映射的隨機遍歷性。

3 結 語

通過對Logistic滿映射迭代產生的模擬混沌序列進行二值量化，對量化后的數字混沌序列進行分析。從以上分析可以得到， Logistic滿映射混沌序列具有良好的自相關性、互相關性和平衡性，對初值有高度的敏感性，是一種很好的偽隨機序列，其性能優于傳統的偽隨機序列，可以廣泛地用于數字加密、數字通信和擴頻通信中。通過對Logistic序列倍周期分岔特性的分析，指明了Logistic序列進入混沌的道路。

參考文獻

[1]胡立文，王玫.Logistic數字混沌序列的性能分析[J].桂林電子工業學院學報，2001，21(1):26-29.

[2]陳帥，鐘先信，石軍鋒，等.基于離散數字混沌序列的圖像加密[J].電子與信息學報，2007，29(4):898-900.

[3]柳平，閆川，黃顯高.改進的基于Logistic映射混沌擴頻序列的產生方法[J].通信學報，2007，28(2):134-140.

[4]余振標，馮久超.一種混沌擴頻序列的產生方法及其優先算法[J].物理學報，2008，57(3):1 409-1 415.

[5]郝柏林.從拋物線談起——混沌動力學引論[M].上海:上海科技教育出版社，1995.

[6]梁素龍，張澤.Logistic-Map混沌序列的性能分析[J].儀器儀表學報，2007，28(4):260-262.

[7]查光明，熊賢祚.Logistic擴頻通信[M].西安:西安電子科技大學出版社，1990.

[8]周悅，朱燦焰，汪一鳴.混沌二進制序列性能分析[J].蘇州大學學報:工科版，2006，26(2):7-10.

[9]李長庚，周家令，孫克輝，等.四種數字混沌序列的平衡性分析[J].計算機應用，2008，28(1):68-70.

[10]孫嫻，趙東風，丁洪偉.擴展Logistic混沌序列性能分析[J].云南大學學報，2007，29(2):136-139.