相互作用多模型跟蹤過程中的航跡外推算法

摘 要:提出運用IMM對目標進行跟蹤時的航跡外推算法，解決了機動目標跟蹤中的航跡外推問題。利用歷史信息和轉移概率推導出模型預測概率，結合單一模型的預測航跡和模型預測概率得到了相互作用多模型跟蹤過程中的外推航跡。通過Monte-carlo仿真表明，運用外推方法在機動目標跟蹤時能將誤差控制在較小的范圍內，具有很好的跟蹤性能。

關鍵詞:目標跟蹤; 航跡外推; 相互作用多模型; 轉移概率

中圖分類號:TN820; TP274文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)15-0005-03

Flight Path Extrapolation Algorithm in Target Tracking by IMM

LIU Heng-ze，YANG Gang，ZHANG Chang-ge， ZHANG Jun

(Beijing Institute of Remote Sensing Equipment， Beijing 100854， China)

Abstract: An algorithm about flight path extrapolation during the target tracking with IMM is proposed. This algorithm solves the problem of the flight path extrapolation when the maneuvering target is being tracked. Based on the transition probability and history information，the model prediction probability is deduced， and then the extrapolation flight path during the target tracking with IMM is acquired in combination with the unimodal prediction flight path and model prediction probability. The result of Monte-Carlo simulation indicates that this algorithm can control the error in a small range when tracking a maneuvering target， so this algorithm has a good tracking performance.

Keywords: target tracking; flight path extrapolation; interacting multi-model; transition probability

0 引 言

機動目標的跟蹤包括目標運動模型的建立和航跡濾波與預測兩方面的內容。常用的目標運動模型有勻速運動模型和勻加速運動模型[1]，傳統的目標跟蹤方法是在某一時間段內基于勻速模型或者勻加速模型進行卡爾曼濾波[2-3]或者概率數據關聯濾波[4-5]建立目標的航跡。目標進行高機動運動時，單獨使用勻速模型或勻加速模型無法準確地反映目標運動情況。1982年，Bar-Shalom等人提出了相互作用多模型算法(IMM)[6-8]，該算法是一種“軟切換”跟蹤方法，模型間通過估計狀態的組合實現相互作用，以各模型濾波器狀態值的加權和作為最后的組合狀態估計。對于高機動目標，由于IMM算法能更快地適應高頻率、大幅度的機動而逐漸成為跟蹤系統方案設計的主要考慮對象。

航跡濾波與預測是指對含有隨機誤差的觀測數據經過平滑濾波處理，得到真正反映目標運動特征的狀態參量[9]。當有可靠的觀測信息時，綜合利用歷史航跡和目標的當前觀測信息獲得目標的狀態值;當沒有可靠的觀測信息時，通過航跡外推進行記憶跟蹤。本文提出了一種在運用相互作用多模型算法進行跟蹤的情況下利用先驗信息進行航跡外推的算法，該算法能夠在沒有可靠觀測點的情況下進行有效的記憶跟蹤。

1 相互作用多模型跟蹤

在傳統的機動目標跟蹤中，通常使用的方法是在不同的運動階段，使用不同的運動模型，不同模型濾波器之間根據統計檢驗對目標狀態進行監視和切換。盡管這樣也能夠適應目標機動運動，但機動檢測往往有滯后，而快速進行模型切換則會降低濾波器的可靠性[10]。多模型算法充分利用先驗信息，在某一時刻通過歷史信息和目標的觀測信息確定目標的運動狀態符合某種運動模型的概率，然后分別基于某一種運動模型對目標進行濾波，將各個模型的濾波值的加權和作為最終的濾波結果，如式(1)所示:

(k/k) = ∑Nj = 1j(k/k)uj(k)

(1)

式中:

j(k/k)代表k時刻基于第j個運動模型Mj濾波得到的濾波狀態值;uj(k)代表目標在k時刻其運動狀態可能屬于某一模型Mj的概率;N為進行交互作用的模型個數。本文使用勻速和勻加速兩種模型進行交互作用模擬機動目標的運動狀態。

由式(1)可以看出濾波值的最終獲得分兩步，第一步是基于單個模型對目標進行濾波，第二步是各模型的濾波狀態值通過模型概率uj(k)加權組合獲得最終的狀態值。對于第一步，首先要確定與模型Mj匹配的濾波器的混合初始條件0j(k-1/k-1)和P0j(k-1/k-1)，然后進行航跡濾波得到基于模型Mj的狀態值j(k/k)。第二步要計算出模型概率uj(k)，進一步得到最終的狀態值和濾波均方誤差陣。

1.1 計算混合初始條件

在進行第k次濾波前已知k-1時刻的狀態值(k-1/k-1)，協方差P(k-1/k-1)，以Mj模型為基礎的更新估計j(k-1/k-1)，k-1時刻目標運動服從Mj模型的概率uj(k-1)，Mj模型在k-1時刻的協方差Pi(k-1/k-1)。

用ui/j(k-1/k-1)表示在k時刻目標運動服從模型Mj的條件下，k-1時刻目標運動服從模型Mi的后驗概率，由貝葉斯公式可得:

ui/j(k-1/k-1)=pijui(k-1)∑2i=1pijui(k-1)，i，j=1，2

(2)

式中:pij=P{Mj(k)/Mi(k-1)}，表示k-1時刻服從模型Mi的條件下k時刻服從模型Mj的轉移概率，通常認為pij服從馬爾可夫鏈。

由于:

0j(k-1/k-1)=E[X(k-1)/Mj(k)，Zk-1]=

∑2i=1i(k-1/k-1)ui/j(k-1/k-1)， j=1，2

(3)

根據文獻[10]可得:

P0j(k-1/k-1)=

E{[X(k)-0j(k/k)][X(k)-0j(k/k)]T/Zk}=

∑2i=1ui/j(k-1/k-1){Pi(k-1/k-1)+

[i(k-1/k-1)-0j(k-1/k-1)]#8226;

[i(k-1/k-1)-0j(k-1/k-1)]T}

(4)

這樣便得到了k時刻對應Mj模型的狀態初始值和初始協方差。這時基于某一種模型進行卡爾曼濾波或者概率數據關聯濾波，可以計算出k時刻Mj模型的狀態估計j(k/k)和濾波均方誤差陣j(k/k)。

1.2 模型概率uj(k)的計算

由貝葉斯公式可得:

uj(k)=P(Mj(k)/Zk)=

=P(Z(k)/Mj(k)，Zk-1)∑2i=1pijui(k-1)∑2j=1[P(Z(k)/Mj(k)，Zk-1)∑2i=1pijui(k-1)]

(5)

由式(5)可以看出，模型概率uj(k)由P(Z(k)/Mj(k)，Zk-1)和歷史信息共同決定。由于P(Z(k)/Mj(k)，Zk-1)是新息的聯合概率密度，因此稱其為概率匹配似然函數，當只有一個有效觀測向量時，由文獻[10]可知:

P(Z(k)/Mj(k)，Zk-1)=

2πSj(k)-12exp[-12vT(k)(Sj(k))-1v(k)]

(6)

將式(6)代入式(5)，便可以得到運動模型Mj在k時刻正確的后驗概率uj(k)。最后由式(1)便可以得到k時刻基于多模型的濾波值，文獻[10]證明，此時的濾波均方誤差陣P(k/k)可由式(7)得出:

P(k/k)=∑2j=1uj(k){Pj(k/k)+[j(k/k)-

(k/k)][j(k/k)-(k/k)]T}

(7)

2 外推算法的提出

在通常情況下，當k時刻沒有獲得符合條件的觀測值時，需要進行航跡外推。單一模型情況下通過卡爾曼濾波建立目標航跡，可以通過式(8)得到狀態值的一步預測值進行航跡外推。

(k/k-1)=Φ(k-1)(k-1/k-1)

(8)

式中:Φ(k-1)為狀態轉移矩陣。在相互作用多模型的情況下，由于目標模型是通過多個模型相互作用得到的，因此無法獲得確定的Φ(k-1)，因此無法運用式(8)進行航跡外推。通過分析式(2)~式(4)可以看出，k時刻與特定模型匹配的混合初始條件0j(k-1/k-1)和P0j(k-1/k-1)的計算不受觀測向量的影響。因此在k時刻沒有可信觀測信息時，可以通過式(9)和式(10)分別計算出各模型的狀態預測值和預測協方差矩陣。對模型j進行外推過程如下:

j(k/k-1)=Φjj(k-1/k-1)

(9)

Pj(k/k-1)=ΦjP0j(k-1/k-1)ΦTj+Qj(k-1)

(10)

Qj(k-1)=Γjσ2wΓTj

(11)

式中:Φj表示模型Mj的狀態轉移矩陣;Γj表示模型Mj的擾動矩陣。由于模型1為勻速模型，模型2為勻加速模型，所以:

Φ1=1T0

010

000，Φ2=1TT2201T001

Γ1=T22T0，Γ2=T22T1

式中:T為濾波的時間間隔;σ2w表示隨機噪聲方差。

通過外推可以預測出基于模型Mj的狀態值和濾波協方差矩陣。通過式(1)和式(7)可以看出，最終的狀態值和濾波協方差矩陣不僅與j(k/k)和Pj(k/k)有關，還與模型概率uj(k)有關。對式(5)和式(6)分析發現，uj(k)與似然函數P(Z(k)/Mj(k)，Zk-1)有關，而似然函數是新息的聯合概率密度。當k時刻沒有符合要求的觀測值時，無法獲得可靠的新息序列vi(k)，模型概率uj(k)便無法獲得。這時需要根據現有信息對模型概率uj(k)進行預測。由于轉移概率pij服從馬爾可夫過程，因此可以通過歷史信息uj(k-1)和pij得到k時刻的模型預測概率uj(k/k-1)。由全概率公式可以得到:

uj(k/k-1)=P(Mj(k)/Zk-1)=

∑2i=1P(Mi(k-1)/Zk-1)#8226;P(Mj(k)/Mi(k-1))=

∑2i=1ui(k-1)#8226;pij

(12)

把各模型的預測狀態值j和預測模型概率uj(k/k-1)代入式(13)和式(14)，便可以得到相互作用多模型的狀態預測值和預測濾波均方誤差陣。

(k/k-1)=∑2j=1j(k/k-1)uj(k/k-1)

(13)

P(k/k-1)=∑2j=1uj(k/k-1)#8226;

{Pj(k/k-1)+[j(k/k-1)-(k/k-1)]#8226;

[j(k/k-1)-(k/k-1)]T}

(14)

用式(13)和式(14)得到的狀態預測值和預測濾波均方誤差陣建立目標的外推航跡，從而實現了相互作用多模算法的記憶跟蹤。

3 仿真驗證

以導彈對目標進行跟蹤為例，對本文設計的相互作用多模型的航跡外推算法進行仿真驗證，并分析外推算法的性能。

導彈以2 (°)/s的方位角速度接近目標，目標的初始方位角為60°，濾波間隔T為16 ms，9 s時目標以1(°)/s2的加速度開始機動，機動3 s后目標恢復到勻速運動狀態。狀態噪聲的方差σ2w=0.01，量測噪聲的方差R=1。0～3 s，6～9 s及10～16 s導引頭觀測數據正常，3～6 s及8～10 s沒有符合要求的觀測數據。

在觀測數據正常的情況下，運用相互作用多模型算法進行目標跟蹤，當沒有符合要求的觀測數據時，運用本文設計的外推算法進行記憶跟蹤。方位角的濾波及外推航跡如圖1所示，方位角速度的濾波及外推航跡如圖2所示，濾波及外推均方差曲線如圖3所示。

圖1 方位角濾波及外推航跡

圖2 方位角速度濾波及外推航跡

圖3 濾波誤差均方差

通過圖1和圖3可以看出，本算法能將濾波誤差均方差控制在一定的范圍內，說明運用本文設計的外推算法能夠在相互作用多模算法濾波時較好地對目標進行記憶跟蹤。但外推過程中，由于沒有目標的新息，航跡外推的誤差仍然比航跡濾波的誤差要大，并且隨著濾波時間的增加，外推誤差會逐步加大，因此外推時間必須控制在一定的范圍內。

通過圖2可以發現，本文設計的外推算法能夠在進行記憶跟蹤的時候保持目標的運動趨勢，因此能夠對目標狀態進行較好的預測。但是如果在記憶跟蹤過程中目標進行機動，航跡外推的效果就會變差。

4 結 語

提出了利用相互作用多模型方法對目標進行跟蹤時的航跡外推算法。IMM算法在對機動目標跟蹤時有很好的效果，本文提出的外推算法通過計算模型預測概率uj(k/k-1)，進而推導出相互作用多模型算法的狀態預測值和預測協方差矩陣，解決了運用IMM算法對

目標進行跟蹤時的記憶跟蹤問題。本算法也存在一些不足，外推航跡的誤差隨著記憶跟蹤時間的增加而增大，并且在記憶跟蹤過程中目標進行較大的機動，誤差也會變得較大。從不可靠的觀測中提取可靠的目標新息來輔助進行航跡外推可以解決并改善這些問題，這也是本文提出的算法需要進一步改進的地方。

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作者簡介: 劉恒澤 男，1984年出生，河北張家口人，碩士研究生。主要研究方向為數據融合技術。