基于二維幅值譜的正弦信號頻率估計

摘 要:信號中含有噪聲或非整周期截斷時發生的頻譜泄漏是導致正弦信號頻率估計精度不高的主要原因。針對這一問題，從擴展信號頻譜表征方式出發，將經典幅值譜擴展至不受頻譜泄漏制約、表現力更強、可讀性更好的二維幅值譜。與經典幅值譜相比，二維幅值譜除包含信號的頻率個數、幅值信息外還包含了易于獲取的周期信息，且具有一定的抗噪性，在信噪比低至-10 dB時仍有較好表現力。提出一種估計方法，先從二維幅值譜中估計出信號的周期T，然后根據信號采樣頻率、信號頻率、以及信號周期T之間的定量關系完成信號的頻率估計。實驗結果證明了該方法的有效性。基于二維幅值譜的正弦信號頻率估計方法為正弦信號的頻譜估計提供了一種新思路。

關鍵詞:DFT; 二維幅值譜; 頻率估計; 正弦信號

中圖分類號:TN911 文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)13-0103-04

Sinusoid Signal Frequency Estimation Based on Two-dimensional Amplitude Spectrum

HAN Feng， TIAN Min， XU Gang

(Mechanical College， Inner Mongolia University of Technology， Huhhot 010051， China)

Abstract: The spectrum leakage producing as the signal has noise or non-integer period truncation is a principal reason of reducing the accuracy of the sinusoid signal frequency estimation. The typical amplitude spectrum of signals is expanded from one dimension to two dimension for solving that problem. The 2D amplitude spectrum shows more useful information of signals and is not limited by the signal integer period truncation. It contains the number of signal frequencies， amplitude information and easily obtained periodic information. Because of that， more useful information can be obtained from 2D spectrum than 1D′s. The 2D amplitude spectrum still has noise cancelling performance when SNR decreases to -10 dB. A new method to accomplish the frequency estimation of the signal according to the quantitative relation among sampling frequency， signal frequency and signal period T which is obtained by the estimation of 2D amplitude epectrum is proposed. It has an agreeable accuracy and good robustness.

Keywords: DFT; two-dimensional amplitude spectrum; frequency estimation sine signal

0 引 言

含噪聲正弦信號的頻率估計是信號處理領域研究的重要課題之一，被廣泛應用于雷達、通信、聲納、電子對抗等多個領域。目前正弦信號頻率估計方法眾多[1-5]，各種現代譜估計方法可實現正弦信號頻率的精確估計，但這些方法算法復雜、計算量大[6]。基于DFT的經典幅值譜(一維譜)分析方法，由于可利用FFT而具有運算速度快、對正弦信號具有顯著的信噪比增益、算法參數不敏感等優點而被廣泛使用[7]。但當采樣頻率為DFT頻率分辨率[8]的非整數倍，即信號截斷長度不是信號周期整數倍時，信號頻譜就發生泄漏[9]。即使無噪聲影響，信號真實頻率仍落于主瓣內兩根離散的譜線之間，導致頻率估計精度無法滿足要求。低信噪比情況下，頻率估計精度更低。基于FFT的各種插值算法改善了估計精度，但以增大計算量或復雜算法為代價，因此尋求一種算法簡單、估計精度高，且具有一定抗噪聲能力的正弦信號頻率估計方法成為人們的研究目標。本文從拓展信號幅值譜的表征方式出發，以Matlab為平臺，在DFT的基礎上將一維譜擴展到突顯信號更多信息的二維幅值譜(簡稱二維譜)，并在其基礎上推導出正弦信號頻率與信號采樣頻率、信號一個周期內樣本點數以及頻率直線斜率之間的定量關系，進而實現正弦信號的頻率估計。實驗結果驗證了該方法具有魯棒性好、估計精度高的特點。

1 二維譜的理論依據及解讀

1.1 二維譜的理論依據

設時域離散信號為x(n)，頻域為X(k)，信號時域截斷長度為N，當N為定值、k為變量時，可將X(k)看成關于k的函數，則根據有限長序列的DFT公式:



X(k)=∑N-1n=0x(n)e-j2πkn/N，k=0，1，2，…，N-1 (1)

可做出x(n)在某個頻率點k的一維譜。若將DFT公式中信號時域截斷長度N、頻率點k均看作變量，則信號幅值與N，k均有關，可將信號幅值表達為X(k，N)，那么有限長序列的DFT公式就可看作以信號時域截斷長度N和頻率點k為自變量、以信號幅值X(k，N)為因變量的二元函數，如式(2):

X(k，N)=∑N-1n=0x(n)e-j2πkn/N，k=0，1，2，…，N-1 (2)

式(2)確定了一個以信號長度和頻率為自變量的二維信號譜。

對有限長信號序列，非整周期截斷時一維譜發生頻譜泄漏而使其有用信息可能淹沒于泄漏的能量之中，致使信號分析時無法解讀出足夠的有用信息;而對于二維譜(二維譜亦為雙邊譜，文中二維譜均指頻率點k取正值的右半邊譜)，由于將信號長度亦作為變量使采樣信號中必包含信號的整周期點而使二維譜的可讀性受能量泄漏影響較一維譜小，故而二維譜突顯了信號更多有用信息，具有良好的可讀性。

1.2 二維譜的解讀

當用來作二維譜的信號長度滿足條件N≥8T時，二維譜頻率分辨率好[10]，展示出的信號周期(頻率)信息完整，具有較佳表現力，便于做譜分析來完成信號的頻率估計，故稱之為二維譜較佳表現力條件。與一維譜相比較，二維譜具有以下特點:

(1) 直觀反映出信號周期及幅值信息

設T為信號一個周期里的樣本點數，N為信號的樣本點數，則T=100，N=1 000的正弦信號在k取1~10時的二維譜如圖1所示，可解讀為:一個直線走向的“山脊”表示信號中含有一個頻率成分，信號的頻率信息包含在直線狀的“山脊”中。“山脊”由若干“山頂”組成。實驗觀察發現:一個“山頂”對應信號的一個周期，若作二維譜的信號長度不是信號周期的整數倍時，則二維譜中會出現不完整的“山頂”。對“山頂”做定量分析有:二維譜中的“山頂”個數是作二維譜的信號中實際包含的信號周期個數的一半，若作二維譜的信號長度不為T的整數倍，則“山頂”對應的周期數為非整數。“山頂”高度對應信號的幅值大小。

二維譜中表征信號周期及幅值信息的“山頂”對應存在著尖點。對于確定的有限長信號序列，在N方向，尖點隨著信號長度N的變化遵從信號周期而周期性地出現;沿k方向，尖點隨著信號長度N的變化有規律地平移，尖點的這些特征包含了信號的周期信息，尖點高度表征了信號的幅值信息。暫稱這些尖點為信息點。有限長信號序列的信息點位于一條直線上。根據上文對信息點的分析可知，信息點包含了精確的信號周期信息。這是基于二維譜實現正弦信號頻率估計的重要依據。

圖1 正弦信號的二維幅值譜

(2) 受制約條件少、頻率分辨率高

工程實際中，信號的周期信息往往是未知的，信號采集時很難做到整周期截取。對于有限長信號，無干擾整周期截斷時一維譜具有良好的頻率分辨率，此處指從譜中能夠判斷出信號所含的頻率個數[10]，非整周期截斷或信號含有噪聲干擾時時頻譜泄漏導致一維譜頻率分辨率急劇下降。作二維幅值譜的信號長度只要滿足二維譜較佳表現力條件，就可得到頻率分辨率高的二維譜，信號周期信息未知時，延長信號采集時間即可滿足上述條件。對于信噪比低至-10 dB的含噪聲正弦信號，在滿足二維譜較佳表現力條件時，從其二維譜仍能清晰地判斷信號能量集中的位置，且易知該信號僅包含一個頻率成分，如圖2所示。

(3) 可解讀出更多信息

與一維譜相比較，二維譜不僅包含了頻率、幅值信息，還包含了幅值隨信號長度N的變換規律以及幅值隨頻率點k的變化規律。從不同角度觀察二維譜可獲得N，k及幅值各物理量之間的相互變化規律。

① 沿信號長度N方向縱切二維譜，即頻率點k一定時，隨著N的連續取值可得信號在某個頻率點對應的幅值與信號長度N之間的變化規律遵從|sinc|函數，如圖3(a)所示。頻率不同，對應的|sinc|函數大小及出現周期亦不同。對于單頻信號，在采樣信號的長度范圍內N每變化一個周期里樣本點數即T對應的長度時，|sinc|函數沿N軸做T長度的平移。

② 沿頻率點k方向縱切二維譜，即信號長度N為定值時，即為經典幅值譜，如圖3(b)所示。幅值與頻率點k的變化規律不再贅述。

2 基于二維譜的正弦信號頻率估計

根據二維譜理論依據，對信號序列做DFT，由變換后得到的數據做二維譜，觀察二維譜并根據二維譜規律特征建立模板將信息點所在的k，N位置找出。信息點的位置坐標(k，N)二維數據在二維譜的k-N平面中表征信號的周期信息。在以頻率點k為橫軸、以信號長度N為縱軸的二維平面(以下簡稱k-N二維平面)中根據信息點的(k，N)坐標描出信息點，可獲得一條由信息點組成的直線，稱之為信號的頻率直線，如圖4所示，其物理意義如圖5所示。實驗發現，對有限長信號做DFT時，隨著信號序列采樣位置的變化，信息點的位置有規 律地發生變化，但信息點組成的頻率直線的斜率不發生變化，即頻率直線所包含的信號周期信息不發生變化，這是采用分析頻率直線進而實現正弦信號頻率估計的方法可靠性所在。下面依據此結論進行正弦信號頻率估計原理的推導。

圖2 時域波形及其一維、二維幅值譜分析

圖3 幅值隨信號長度的變化規律及不同截斷方式下幅值隨頻率k點的變化規律

圖4 正弦信號信息點示意圖

圖5 頻率直線斜率的物理意義

設信號采集設備的采樣頻率為fs，信號采集時間為t，采集到的信號長度為M，那么有:

M=fst (3)

若設信號實際頻率為f0，信號一個周期內樣本點數為T，長度為M的信號中實際包含的周期數(可為非整數)為n，則有:

M=Tn (4)

t=n/f0 (5)

由式(3)~式(5)可推導出:

f0=fs/T (6)

式(6)即為正弦信號頻率估計計算公式。可知，T的估計是實現正弦信號頻率估計的關鍵。

在k-N二維平面中，N′表示頻率直線起止信息點之間的信號長度，Δk表示起止信息點所占頻率點k的范圍差。則正弦信號一個周期里的樣本點數T可表示為:

T=N′/Δk (7)

設正弦信號的頻率直線為y=Ax+B，如圖5所示，易知其斜率A為N′/Δk，那么頻率直線斜率A的物理意義為:正弦信號一個周期里的樣本點數。則有:

A=N′/Δk=T (8)

故正弦信號頻率估計公式亦可表示為:

f0=fs/A (9)

以上分析可知，要實現正弦信號的頻率估計，只需求出頻率直線的斜率然后將其代入式(9)即可。

3 實驗及結論分析

表1為在滿足二維譜較佳表現力條件下，對任意長度(相對于一維譜要不發生頻譜泄漏而須滿足信號整周期截斷而言)、不同信噪比的正弦信號進行頻率估計的實驗結果。其中，N為做DFT的信號長度;T1為正弦信號一個周期里樣本點數估計值;f1為正弦信號頻率估計值;εf為頻率估計的相對誤差。不含噪聲正弦信號的T=100、幅值為單位1、信號采樣頻率fs=100 Hz、信號頻率f0=1 Hz。頻率相對誤差為εf=f0-f1/f0。具體頻率估計精度及相對誤差如表1所示。由表1可知，對任意信號長度不為周期整數

的正弦信號進行基于二維譜的頻率估計時，信號長度

N對頻率估計精度無影響。頻率估計精度隨信號信噪比的增大而升高，當信噪比為-10 dB時，通過二維譜仍可準確地估計出信號頻率，相對頻率誤差為0.026，而當信噪比不斷增大時，相對頻率誤差不斷減小，信噪比SNR≥6 dB時，相對頻率誤差降至0.006 6，并趨于恒定。這個恒定誤差是由生成時域離散信號仿真軟件的系統誤差引起的，若不考慮上述因素，理論上本頻率估計方法的相對誤差可趨于零。

表1 不同信噪比下正弦信號頻率估計及精度(T=100，幅值為1，fs=100 Hz，f0=1 Hz)

SNR /dB-10-8-6-4-2024681012

N950940930920910890906908912932946984

T1102.666 7102.333 3101.333 3101.666 7101.666 7101.000 0101.000 0101.000 0100.666 7100.666 7100.666 7100.666 7

f1 /Hz0.974 00.977 20.986 80.986 80.983 60.990 10.990 10.990 10.993 40.993 40.993 40.993 4

εf0.026 00.022 80.013 20.013 20.016 40.009 90.009 90.009 90.006 60.006 60.006 60.006 6

4 結 語

通過擴展傳統DFT計算公式中信號長度N亦為變量，給出了能夠突顯出信號更多有用信息、具有一定抗噪聲能力、頻率分辨率高的二維譜。在信號長度滿足N≥8T時二維譜具有較佳表現力和準確度。二維譜的應用可推廣至多頻信號的分析處理中，為信號的譜分析提供了一種新的頻譜表征方式。本文給出的是一種以適度增大數據量為代價獲得二維幅值譜，從而達到提高信號頻率估計精度和穩定性的方法，為正弦信號的頻率估計方法提供了一種新的參考思路。

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