電網絡模型的動力系統模擬應用研究

摘 要:根據相似原理建立了電系統與其他系統的對應原則，進行了動力系統的電方法分析應用研究。在彈簧機械系統的分析中，建立了相應的電網絡拓撲結構，實現了該系統的電網絡建模及仿真計算。通過對某段選定的血管拓撲結構建立實現了其電網絡建模研究分析。根據電網絡方法和工程熱力學在某些本質方面的一致性，描述了以熱力學參數為描述對象的端口網絡和相應模型。說明了電網絡模型可以成為能流系統的通用處理工具，在非電系統的分析優化中將有著廣泛的應用前景。

關鍵詞:相似原理; 電網絡模型; 非電系統; 動力系統

中圖分類號:TP274 文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)13-0127-04

Application of Electrical Net Model in Dynamic Systems

LI Mei1， XU Ting2， CHENG Wei-liang2

(1. Sh

nxi Polytechnic Institute， Xianyang 712000， China; 2. North China Electric Power University， Beijing 102206， China)

Abstract: The correspondence principle of electrical system corresponding to other systems is established according to similarity principle. The application study on electrometric method of dynamic systems is brought into effect. The typical examples on mechanics， biochemistry and thermodynamics are given respectively. The electrical-network topology structure is established and the electrical-network modeling and simulation are implemented by analyzing the spring-mechanism system. A blood-vessel topology structure is adopted to realize the correlative simulation and analysis. The port network based on thermodynamics parameters and correlative model are described in accordance with the essence consistency between electrical-network method and engineering thermodynamics. These above declare that the electric-network model is a generic processing tool for power-flow systems， and has a broad prospect in the analysis of non-electric systems.

Keywords: similarity principle; electric-network model; non-electrical system; dynamic system

0 引 言

當前，隨著工業及其自動化的迅猛發展，模擬方法已經成為各種復雜系統研制工作的必不可少的手段。建立模型是系統模擬分析的基礎，其本質是依據系統之間的相似性原理。在研究不同類型的系統時，一種系統可能比另一種系統更容易通過試驗進行研究，所以可以在一對系統之間建立一種對應關系，從而可以利用模型對實際系統進行研究。這樣不但可以使實驗系統簡化，而且使實驗成本和復雜及危險程度大大降低。

隨著工業中各學科的不斷發展，學科的交叉和滲透也是當前科技輝煌發展的重要方向之一，電路及點網絡理論已經在機械力學、生物醫學、工程熱力學，甚至在經濟學等領域上已經初步得到了應用[1-3]，尤其在前兩個學科上的應用已經日趨成熟[4-7]，如擴散-對流-化學反應的耦合和相應傳輸求解問題、網絡的拓撲處理、三角化學反應問題、微觀對稱網絡與混合網絡、非平衡態熱力學與運動學系統的時間特性與進化、分段線性網絡、穩定與搖擺等。利用電路系統來模擬實現能源動力系統的分析和優化，將大大提高對實際系統的分析效率和處理精度。

1 電網絡系統的物理構成法則

在電學中，其基本計算處理元件包括電阻、電容及電感。它們的u-i或u-q關系式如下:從物理意義上講，電阻與力和流有關，電容與電荷和力有關，電感與沖量和流有關。對于理想化的電阻，它的作用可以理解為通過網絡元件的所表現出來的耗散。在網絡的Langrangian公式中，電阻代表了系統的非守恒思想。電容是一種沒有耗散的能量儲存形式，表現為趨于平衡的孤立系統的理想狀態。由于在電容的真實過程中總是存在耗散的，因此現實電路中要求有一個電阻與電容串聯以保證在數學上對系統的忠實描述。在大多數系統中，電容還是系統提供動力的元件。電感是一個理想的慣性元件，其模擬應用的主要領域是機械學。

2 動力系統中的模擬應用

電網絡在動力系統中模型的建立過程，其實就是等效電系統的過程，其對應原則遵循電路、電阻和電容的廣義思想策略，即在一切含有物流與能流的動態系統中，不論該系統中是否有電的存在都可找到電系統中電阻、電容和電感等概念的對應物，電阻可以對應各種阻力和對能量的消耗與節流，電容可以對應各種形式的儲存能量，而電感則可對應各種慣性存儲能量。這樣所建立的網絡模型很自然要服從Kirchhoff的電流電壓定律，而這兩條定律是正交的，正適合各種強度量與廣延量之間的關系，因此從理論上講，電網絡模型可以模擬表達任意的力(強度量)與流(廣延量)的耦合參數與信息狀況。

2.1 彈簧機械系統模擬描述

機械學中存在的許多物理現象，都可用對應的電方法描述，進而為相應問題的求解和分析提供了一種可行的簡潔途徑。圖1為一個由質量、彈簧、阻尼器組成的機械系統(阻尼器的質量可以忽略不計)，在對應的圖2中，描述為一個對應的由電阻、電感、電容組成的模擬電路系統[8]。

圖1 簡單的彈簧機械系統

圖2 圖1對應的拓撲結構圖

上述系統描述后所建立的模型分別為:

md2xdt2+fdxdt+kx=P

(6)

Ld2qdt2+Rdqdt+1cq=u

(7)

可看出，這兩個方程具有相似的數學描述，并且在參數上存在一一對應的關系，相應地兩者的響應也具有相似的振蕩特性。設圖1中，木塊質量m=1 kg，阻尼系數f=02 N/(m#8226;s)，彈性系數k=40 N/m，則對應電路中，L=1 H，R=02 Ω，c=0025 F。用電路仿真軟件PSpice仿真，t=0 s時，向電壓源施加激勵1 V時，

回路電流隨時間的變化曲線中，開始振幅很大，隨后沿中心線逐漸衰減，最后回落至零。而用Matlab仿真圖1機械系統時，在施加力P為1 N時，對應彈簧的振動速度dx/dt隨時間的變化曲線也類似于上面電氣系統進行模擬仿真的變化規律。這時，如果參數選擇適當，其結果在數值上，同利用機械系統進行試驗的結果將完全相同，因此可以將機械系統通過電氣系統的相似模型來處理[9] ，其相似對應關系如表1所示。

表1 機械系統和電氣系統的相似性

機械系統電氣系統

力P /N電壓E /V

質量m /kg電感L /H

阻尼器阻尼系數f /(N/(m#8226;s))電阻R /Ω

彈性系數k /(N/m)電容的倒數1/C /F-1

位移x /m電量q /C

速度dx/dt /(m/s)電流i /A

2.2 在生化的動力系統中的應用

在生化的動力系統分析中，各種化學反應也是微觀粒子在濃度差的驅使下發生變化的過程，這也符合電網絡理論體系中力-流的關系[10]。例如建立血管系統的電路模型，為簡化計算過程，可作如下假設:血液為不可壓縮的牛頓液體;血管為薄壁直圓管;除主動脈上升支和主動脈弓外，其余部位血管中的流動均為軸對稱的層流，其流速呈拋物線分布;只考慮血壓沿其軸向的變化;忽略血管壁的運動，則可由Navier-Stokes方程得到各段血管壓力及流量間的關系，具體的關系式如下:

qn=1Ln∫(pn-1-pn+pGn-Rnqn)dt

(8)

pn=1Cn∫(qn-qn+1)dt+0.002(qn-qn+1)Cn

(9)

即每段血管可由四元件等效電路來模擬，其中:pn，qn為第n段血管的壓力和流量;pn-1為前一段血管的壓力;qn+1為下一段血管的流量;式(9)中的最后一項為考慮血管的粘滯性而加入的修正項。

圖3為所研究對應血管段的等效電網絡圖，PE表示各血管段所受外加壓力;Rn，Ln及Cn分別表示第n段血管的等效流阻、等效流電感及血管等效電容，其值可由式(10)~式(12)求出:

Rn=8πμ3n/V2n， Vn>Vn0

8πμ3nVn0/V3n，Vn

(10)

Ln=2ρl2n/Vn

(11)

Cn=3πr3nln/(2Ehn)， Vn>Vn0

60πr3nln/(2Ehn)，Vn

(12)

式中:ρ為血液密度;Rn為血管半徑;ln為血管長度;hn為管壁厚度;μ是粘滯系數;E是管壁的彈性模量;Vn為血管容積;Vn0是血管內外跨壁壓為0時該血管段的容積。

圖3 第n段動、靜脈血管的等效電路模型

2.3 熱力學的電網絡模型

這里打算從一個熱力系統開始，以便構建每個能量節點的端口網絡[11]。例如，存在一個含有強度量溫度T和廣延量熵S的熱力端口。假定流入端口的流為正，熱力學絕對溫度的定義為:

T≡(U/S)

(13)

設系統中其他所有廣延量為常數，則這個端口能量U的變化dU為:

dU=(U/S)dS=TdS

(14)

把熵dS看作是流，溫度看成力，這個端口就類似于在非平衡網絡中的端口。同樣，各種形式功的端口也可以類似地表示為:

式中:P，A，μi，dV，dξ，dNi分別表示壓力、化學親和力、組份i的化學勢、體積變化、反應程度和組份i的摩爾數變化。

還可考慮一個含有兩個自由度的均勻流體系統。該系統可以用一個二端口網絡表示，其中端口變量dS，dT為力，dP，dV為流。為便于對稱處理，將dV定義為系統外部的體積變化，而不是內部體積變化。

圖4 平衡態簡單系統的熱靜力學網絡

該端口網絡所表示的系統如圖4所示，對其可列出如下處理模型:

E1=dT=(T/S)VdS+(T/V)SdV

=R11F1+R12F2

(18)

E2=dP=(P/S)VdS+(P/V)SdV

=R21F1+R22F2

(19)

對于非平衡態的系統而言，當且僅當互易條件成立時，該端口網絡才是拓撲連通的，因此對上述模型，根據熱力學麥克斯韋互易有:

(T/V)S=(P/S)V

(20)

對于構成n端口z參數電網絡模型的情況，同樣可取T，P，S及V的任意2個端口增量為自變量[12]，根據麥克斯韋互易關系，可以分別得到計算用矩陣U，H，A及G(見表2)。

對于表2中的結論，可通過運用電網絡理論方法以理想氣體為例進行分析，以說明上述結果的合理性。根據理想氣體的狀態方程:

PV=nRT

(21)

可以得到G參數方程的系數:

g21=VTP=nRP

(22)

g22=VPT=-nRTP2

(23)

g12=-g21

(24)

表2 二端口增量能量網絡的基本特性

名稱[U][H][A][G]

因變量T，PT，VS，PS，V

自變量S，VS，PT，VT，P

矩陣式u11u12u21u22

h11h12h21h22

a11a12a21a22

g11g12g21g22

矩陣的一階偏導描述形式

TSVTVS

PSVPVS

TSPTPS

VSPVPS

STVSVT

PTVPVT

STPSPT

VTPVPT

麥柯斯韋關系TVS=-PSVTPS=VSPSVT=PTVSPT=-VTP

根據微分原理，設G=G(T，P)為連續函數，全微分的充分必要條件為:



g11PT=g12TP=-g21TP=2VT2P=0

(25)

可看出，g11僅為P的函數，即g11=g(p)，因而G參數方程可以表示為:

dsdv=g(p)-nRP

nRP-nRTP2dTdP

(26)

由以上的分析可看出，熱力學的電網絡形式在方法上找到了與熱力系統參數一一對應的拓撲矩陣，這為熱力系統的電方法分析提供了嚴謹的理論基礎，其結果形式簡單，對為進一步開拓能量系統的電網絡分析和應用提供了強大的理論及技術支撐。

3 結 語

闡述了以電路方法模擬動力系統的基本原則和法則，提出主要以電阻、電容和電感基本元件為基礎的模擬計算和分析，以便于實現動力系統的電方法分析研究。在彈簧機械系統的分析中，建立了相應的電網絡拓撲結構，實現了該系統的電網絡建模，并進行了仿真計算，得出的結果說明了建模的合理性。在生態學及生物學的應用中，圍繞其動力學方面的問題，應用電網絡方法進行了分析處理，通過對某段選定的血管拓撲結構建立實現了其電網絡建模，為進一步的生物學分析研究提供了相關的流體動力學基礎。在工程熱力學的基礎理論方面，提供了電網絡方法和工程熱力學在某些本質方面的一致性，描述了以熱力學參數為描述對象的端口網絡和描述模型，建立了工程熱力學問題研究的電網絡分析方法基礎。

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