高爾夫球射程問題的動力學模擬研究＊

高明向 陳定方

（武漢理工大學理學院1） 武漢 430063） （武漢理工大學智能制造與控制研究所2） 武漢 430063）

0 引 言

高爾夫球是一種把享受大自然樂趣、體育鍛煉和游戲集于一身的運動，是一種在優美環境中進行的高尚娛樂活動.對高爾夫球類運動規律的研究，將有助于高爾夫球運動的發展.在國外，對高爾夫球運動規律的研究方法除理論和實驗研究外，還采用數值模擬方法［1］.在國內則側重于理論分析［2－3］，而在實驗研究和數值模擬上做得還不夠.在這些文獻中，為了分析和表示的方便，多將一些對球的運動影響較小的因素忽略不計，并把空氣的阻力系數當成常量處理，因而得到的理論分析結果和實際情況有一定差別.

盡可能多地考慮影響高爾夫球運動的因素，建立高爾夫球運動微分方程，利用數值模擬方法，對高爾夫球的運動進行動力學模擬，可以最大限度地獲得其真實的動力學行為，無論對于工程應用還是游戲娛樂都具有很大的實際意義.本文針對球員能夠控制且對射程有明顯影響的因素進行了動力學模擬與分析.

1 高爾夫球的運動微分方程

設高爾夫球的質量為m；半徑為r；質心速度為u，是位置x和時間t的函數；為單位速度矢量，繞過質心的軸轉動的角速度為ω；g為重力加速度；ρ為空氣密度；Cd為空氣的阻力系數；μ為空氣的動態粘滯系數；A為球的特征面積；V為球的體積；Fw為風對球的作用力，也是位置和時間的函數，可以根據實際需要建立不同的風力模型.則球在空氣中平動的常微分方程為

在空氣中轉動的常微分方程為

方程（1）右側第1項為球的重力G；第2項為空氣阻力Fd；第3項為馬格納斯升力Fl；第4項為空氣浮力Ff；方程（2）右側為空氣對球的阻力矩τ.

下面根據此2方程對高爾夫球的射程問題進行數值模擬，并對結果進行分析.下文提到的粗糙球是指現代高爾夫球（網紋高爾夫球）.

2 阻力與光滑程度和球速的關系

當高爾夫球在空氣中飛行時，由于其速度比較高，空氣阻力所產生的影響就顯得十分明顯.對于大小相同、初始速率相等的球來說，其所受空氣阻力的差異表現在Cd的不同，Cd則與球表面粗糙程度以及雷諾數Re有關.

圖1反映了Re＞4×104時，粗糙球與光滑球的Cd與Re間的關系.當Re＜4×104時，由于光滑球與粗糙球表面形成的邊界層都是層流，邊界層的分離點大致相同，壓差阻力也差不多一樣.但是，由于粗糙的表面會增加摩擦阻力，因而此時粗糙球也會比光滑球受到更大的阻力.

圖1 粗糙球與光滑球的Cd與Re間的關系

如圖1所示，對于光滑球，當Re超過3×105時Cd突然減小，對于粗糙球，當Re超過0.5×105時開始減少，而接近0.75×105時Cd達到最小.優秀高爾夫球運動員的擊球速度可達到61 m／s，可以計算，對于實際的高爾夫球，在1標準大氣壓下，20℃時，此速度下，Re＝1.73×105，根據圖1，在此雷諾數下空氣對粗糙球的阻力系數約為0.26，而對光滑球的阻力系數約為0.48（圖中已用虛線標出）.因此粗糙球受到的空氣阻力要比光滑球小得多.但速度為31m／s時，Re＝0.75×105，根據圖1，空氣對二者的阻力系數相差更多.

隨著雷諾數的增加，當超過4×105時，從圖1中看到，空氣對粗糙球的阻力系數反而超過了光滑球.此時的球速大約為140m／s，一般情況下，很難打出這么高的速度.

3 高爾夫球射程的動力學模擬［4－5］

3.1 射程與初速率及表面光滑程度的關系

針對光滑球與粗糙球進行射程模擬實驗，研究初速率對射程的影響，并對光滑球和粗糙球的射程進行比較.結果如下.

環境條件 空氣溫度為20℃（溫度影響空氣阻力系數）、無風.

初始條件 球的運行方向為－x軸，并采用理論最佳拋射角［5］，即與地面夾角為45°斜向上拋射，球不旋轉.

研究方法 給定初始條件和環境條件，改變初始速率，獲取高爾夫球飛行過程中的數據，使用Microsoft Excel軟件處理數據.

圖2反映了粗糙球的射程與初始速率的關系.從圖中可以看到，在一定的初始速率范圍內，增加球的初始速率能夠有效地增加射程.大約在23～50m／s的范圍內，球的射程幾乎隨著初始速率的增加而線性地增大，當初始速率超過50m／s時，隨著初始速率的增加，射程的增量開始減小.

圖2 射程與初始速率的關系

通過對粗糙球與光滑球的射程差（粗糙球射程－光滑球射程）及射程比（粗糙球射程／光滑球射程）與初速率間的關系進行模擬，結果顯示，二者之間的最大比值約為1.66，即粗糙球的射程是光滑球的1.66倍，此時球的初始速率在70～100 m／s的范圍內，一般情況下，球的初始速率都要低于此值，此時的射程比為1.2～1.6之間.

模擬結果還表明，當初始速率低于23m／s時，光滑球與粗糙球的射程無差別，高于80m／s時射程的增大量變得越來越小，超過115m／s時，粗糙球的優勢就變得越來越小了，這種優勢隨著初始速率的增加幾乎線性地減小，當速度超過160m／s時，光滑球反而比粗糙球飛行得更遠.這是由于，如圖1所示，此時空氣對光滑球的阻力系數要小于對粗糙球的阻力系數.所以，現代高爾夫球的極限初始速率應該控制在160m／s以內.

3.2 拋射角對射程的影響

通過拋射角對射程影響的模擬，得到了最佳拋射角與初始速率的關系，模擬結果如下.

環境條件 空氣溫度為20℃（溫度影響空氣阻力系數）、無風.

初始條件 球的運行方向為－x軸，球不旋轉.

研究方法 給定初始條件和環境條件，改變拋射角，獲取高爾夫球飛行過程中的數據.

模擬結果顯示，不同的初始速率下，最佳拋射角并不相同.初始速率為10m／s時，最佳拋射角約為44°，此時的射程約為9.67m；初始速率為31.09m／s時，最佳拋射角約為35°，此時的射程約為74.63m；初始速率為61m／s時，最佳拋射角約為42°，此時的射程約為196.31m；而當初始速率增至75m／s時，最佳拋射角約為41°，此時的射程為235.52m.模擬試驗表明，當考慮到旋轉的影響時，射程會超過這個數值，但最大射程不會超過300m，這就是現代小型高爾夫球場要求洞間距在300m以內，而球的飛行速率設計為最高75m／s的原因所在.

圖3反映了最佳拋射角與初始速率間的關系.初始速率低于20m／s時的最佳拋射角均為44°，隨著初始速率的增加，最佳拋射角在減小.當球速接近31m／s時，最佳拋射角將減小為33°，高于此速率時，最佳拋射角又開始增大，但不超過43°，而當初始速率高于55m／s時，拋射角又開始減小，并漸漸趨向35°的拋射角.初始速率高于160m／s時，就要更換為光滑的球了，因而不需考慮此時的拋射角問題.

圖3 初始速率與最佳拋射角的關系

3.3 轉速對射程的影響

旋轉對高爾夫球的射程也有明顯的影響.從球手的角度看，球的旋轉可以分為上旋、下旋、側旋等，其中，上旋將會增大球的射程，而下旋則會減小球的射程，因為下旋時，空氣對球的升力將導致球很快下墜.而側旋則會改變球在空中的路徑，從而形成各種各樣的飛行姿態，高爾夫球空中飛行的“九形圖”［6］就與球的不同旋轉形式有關.

旋轉對射程的影響，還與球的拋射角有關，不同拋射角下，需要有不同的轉速配合才能達到最大射程.下面以61m／s初始速率研究轉速、拋射角對射程的影響.

從圖4看到，提高轉速的同時降低拋射角能夠有效增加射程.當拋射角較大時，增大轉速對射程的增加并沒有太大的好處，相反當轉速提高到一定程度后，反而使射程減少，原因在于，旋轉所產生的升力不僅在豎直方向上與重力抗衡，還會在水平方向上產生與球運動方向相反的分量，從而加劇了球在水平方向上的減速運動.而當球的旋轉速度超過一定數值后，球反而會在空中折回球的拋射點.在其他初始速率下，轉速對射程的影響是相似的.

圖4 轉速、拋射角與射程的關系

4 結 束 語

通過建立高爾夫球的動力學微分方程，并利用空氣對不同粗糙程度球的阻力曲線，在初始速率為10～160m／s的范圍內對高爾夫球的射程問題進行模擬研究，得出了能夠人為控制的多種因素（如初始速率、拋射角度、旋轉等）對高爾夫球射程的影響規律，模擬結果與真實高爾夫球的運動非常接近，因而對于增強高爾夫球的擊球技術和相關娛樂游戲的開發是有實際指導意義的.

［1］夏皮羅.形與流——漫談阻力流體動力學［M］.談鎬生，譯.北京：科學出版社，1979.

［2］林榮生.流體力學在體育運動中的某些應用［J］.力學與實踐，1984（6）：8－14.

［3］劉雅君.高爾夫球射程問題的討論［J］.大學物理，2005，24（1）：30－32.

［4］高明向.虛擬環境中球形物體的動力學行為建模及其應用研究［D］.武漢：武漢理工大學理學院，2008.

［5］楊寶勝，王淑惠.仰角取何值時鉛球拋得最遠［J］.物理通報，1990（5）：7－9.

［6］譚受清，熊定勛.高爾夫導論［M］.長沙：國防科技大學出版社，2005.