基于灰色馬爾可夫鏈模型的航空貨運量預測研究＊

文 軍

（中國民用航空飛行學院 航空運輸管理學院 廣漢 618307）

0 引 言

航空貨物運輸是一個復雜的社會經(jīng)濟系統(tǒng)，受到社會、經(jīng)濟、自然等多種因素的綜合影響［1－2］.例如，航空貨運量與固定資產(chǎn)投資、飛機的使用率、航空運輸生產(chǎn)組織、季節(jié)更替、其他運輸方式的存在等因素都有關(guān)系，而每一因素的影響程度難以清晰地描述，各因素都具有似透明似不透明的特征.因此，為了能夠更清晰地認識它、研究它，把航空貨物運輸系統(tǒng)抽象為沒有物理原型、因素空間難以窮盡、行為軌跡無法控制、信息不完全的灰色系統(tǒng)，據(jù)此可以進行灰色模型GM（1，1）預測的研究.同時航空貨運量又具有顯著的無后效性（即一年的貨運量對下一年度沒有直接影響），而這正符合馬爾可夫鏈預測方法的基本前提.本文結(jié)合灰色模型和馬爾可夫鏈理論的優(yōu)點，用灰色預測來揭示航空貨運量時序變化的總體趨勢，用馬爾可夫預測來確定狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移規(guī)律，得到航空貨運量更精確的預測結(jié)論.

1 航空貨運量灰色GM（1，1）預測模型

灰色系統(tǒng)理論，經(jīng)過20多年的發(fā)展，已形成了以系統(tǒng)分析、信息處理、建模預測、決策控制為主要內(nèi)容的理論體系，廣泛應用于工程控制、經(jīng)濟管理、社會系統(tǒng)等眾多領(lǐng)域［3－5］.由于中國航空貨運市場的復雜多變，許多影響因素都是灰色的，因而采用灰色系統(tǒng)理論將更加符合航空貨運市場的客觀狀況.此外灰色系統(tǒng)預測模型具有所需信息較少，計算簡便，精度較高等特點，不必羅列影響其考察對象的因素數(shù)據(jù)，而是從自身時間數(shù)據(jù)序列中尋找有用信息，探究其內(nèi)在規(guī)律，建立模型進行預測，因此灰色GM（1，1）模型是預測航空貨運量的理想模型.航空貨運量的灰色系統(tǒng)預測模型建立的基本步驟如下.

1.1 數(shù)據(jù)處理

將各歷史年度的航空貨運量構(gòu)成原始序列數(shù)據(jù)x（0）

然后對各年度的原始數(shù)據(jù)逐年累加，生成一組新的時間序列數(shù)據(jù)x（1）

1.2 用微分方程擬合數(shù)據(jù)序列u（1），并計算出預測的累加值

建立一階單變量的微分方程預測模型SCGM（1，1）C，其微分方程的形式為

式中：a，u為待識別的灰色參數(shù).式（1）表示一個單變量x對時間t的一階微分方程是連續(xù)的.其離散形式為

式中：

1.3 預測值的還原

要得到真正的預測結(jié)果，還需要對預測累加值進行還原處理，即對（4）式得到的模型計算值進行如下的累減

由于該模型尚未考慮各種影響因素導致的隨機變化，因此用于預測還不夠完善.

2 馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的確定

航空貨運量灰色GM（1，1）預測的實質(zhì)是以指數(shù)型曲線去擬合原始數(shù)據(jù)，其預測結(jié)果幾何圖形是一條較為平滑的曲線，因而對波動性較大的數(shù)據(jù)序列擬合較差，預測精度較低.航空系統(tǒng)是一個動態(tài)的時變系統(tǒng)，航空貨運量作為灰色系統(tǒng)的一個行為特征量，其變化趨勢呈現(xiàn)出了非平穩(wěn)隨機過程的特性，單獨采用灰色GM（1，1）預測模型會使得預測結(jié)果精度較差，甚至可能增大誤差.但由于馬爾可夫理論具有“系統(tǒng)將來狀態(tài)只與當前狀態(tài)有關(guān)，而與過去狀態(tài)無關(guān)”的性質(zhì)，并且馬爾可夫預測是根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率來預測系統(tǒng)未來發(fā)展，轉(zhuǎn)移概率反映了各種隨機因素的影響程度，反映了各狀態(tài)之間的內(nèi)在規(guī)律性［6－8］.因此，可以采用馬爾可夫理論和方法去解決數(shù)據(jù)隨機波動性較大的問題，提高預測精度.

2.1 狀態(tài)劃分

航空貨運量的年度變化過程是一個隨機的呈上升或下降趨勢的非平穩(wěn)隨機過程，不同年度狀態(tài)的邊界和內(nèi)涵應是變化的，為此應考慮一個具有適應性的狀態(tài)劃分準則，這個準則應與航空貨運量的基本時序變化趨勢一致.因此，對于航空貨運量變化符合馬爾可夫鏈特點的非平穩(wěn)隨機序列Y（k），將其狀態(tài)劃分為m個狀態(tài)，任一個狀態(tài)表示為

式中：Ei為第i種狀態(tài)；δ1i和δ2i分別為第i種狀態(tài)的上下界.由于Y（k）是時間的函數(shù)，因此灰元δ1i和δ2i也隨時間變化，即狀態(tài)具有動態(tài)性.

在劃分狀態(tài)時，要根據(jù)實際情況的不同，劃分不同的區(qū)間個數(shù).一般來說，原始數(shù)據(jù)較少時，劃分區(qū)間宜少，以便增多各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移次數(shù)，從而更加客觀地反映各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移規(guī)律；原始數(shù)據(jù)較多時，區(qū)間也不妨劃分多一些，以便從資料中挖掘更多的信息，提高預測精度.

2.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣構(gòu)建

由狀態(tài)Ei經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移到達狀態(tài)Ej的原始樣本數(shù)記為Mij（k），狀態(tài)Ei出現(xiàn)的次數(shù)記為Mi，則由狀態(tài)Ei經(jīng)過k步轉(zhuǎn)移到達狀態(tài)Ej的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為

那么，得M×M階狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

2.3 計算待預測年度的預測修正值

采用預測出的待測年份所處狀態(tài)的兩個邊界值，運用以下公式就可以計算出待預測年度的預測修正值.

式中：δ1和δ2分別為預測出的待測年份偏差所處狀態(tài)的上、下邊界值.

3 實例分析

3.1 航空貨運量的GM（1，1）預測

在灰色預測GM（1，1）中，所選取的原始數(shù)據(jù)為14年的數(shù)據(jù)如表1所列.

表1 1995～2008年航空貨運量

根據(jù)表1數(shù)據(jù)，可以得到

可以得到我國航空貨運量的灰色預測式為

可以根據(jù)灰色預測式計算出1995～2008年度的預測值，擬合結(jié)果驗證如表2所列，可以看出灰色預測模型的結(jié)果可以接受，平均誤差為4.49%.下面對灰色預測模型預測GM（1，1）結(jié)果進行馬爾可夫鏈改進.

表2 1996～2008年GM（1，1）預測結(jié)果對照

3.2 馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移矩陣的獲得

根據(jù)馬爾可夫鏈分析方法的應用經(jīng)驗和實際情況，按照年航空貨運量的增幅與灰色預測結(jié)論的比較，可以劃分為5種狀態(tài)：（1）狀態(tài)1，殘差幅度小于－10%，表示預測極度低估狀態(tài).此狀態(tài)在運量預測結(jié)果中沒有出現(xiàn)；（2）狀態(tài)2，殘差幅度介于－10%～－3%之間，表示預測低估狀態(tài)，可以理解為中國航空貨運處于困難狀態(tài).在運量預測結(jié)果中出現(xiàn)5次；（3）狀態(tài)3，殘差幅度介于－3%～3%之間，表示預測合理狀態(tài).在運量預測結(jié)果中出現(xiàn)4次；（4）狀態(tài)4，殘差幅度介于3～10%之間，表示預測高估狀況，可以理解為中國航空貨運處于興旺狀態(tài).在運量預測結(jié)果中出現(xiàn)4次；（5）狀態(tài)5，殘差幅度大于10%，表示預測極度高估狀態(tài).此狀態(tài)在運量預測結(jié)果中沒有出現(xiàn).

從上面分析中可得貨運量預測結(jié)果狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況，如表3所列.

表3 航空貨運量灰色預測馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移

根據(jù)馬爾可夫鏈預測原理，得到原始數(shù)據(jù)之后5年（2009～2013年）的預測狀態(tài)向量如表4.

表4 航空貨運量灰色預測結(jié)果馬爾可夫鏈狀態(tài)向量

3.3 GM（1，1）預測結(jié)果的馬爾可夫鏈改進

根據(jù)以上分析，可以對GM（1，1）模型預測結(jié)果進行馬爾可夫鏈改進結(jié)果由表5所示.

從以上灰色馬爾可夫鏈改進方法的實證計算中可以看出，在未來的5年中我國航空貨運量將逐漸上升，預測年度的狀態(tài)均為高估狀態(tài)，即實際發(fā)生值會高于由灰色模型預測的結(jié)果，最大的可能概 率 分 別 為 66.67%，44.45%，36.30%，34.64%，34.79%.這說明，預測年份中國航空貨運市場相對于正常的動態(tài)GM發(fā)展曲線而言處于興旺狀態(tài)，即位于曲線的上方.但與此同時，這種興旺狀況的概率呈現(xiàn)下降趨勢，而低估狀態(tài)（困難狀況）的可能概率由2009年的0%逐漸上升為2013年的29.75%.因此，未來5年我國航空貨運市場的預測趨勢是：總體以最大概率的興旺狀態(tài)呈現(xiàn)下降趨勢，并且市場景氣程度由興旺狀態(tài)逐漸向困難狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)變.

4 結(jié) 束 語

影響航空貨運量的因素非常多，其中許多因素滿足灰色系統(tǒng)要求，且數(shù)據(jù)多為時間序列，可以采用灰色預測模型進行運量預測，符合航空貨運市場的客觀狀況，但是從預測結(jié)果，灰色模型受原始數(shù)據(jù)變化幅度的影響較大，預測的結(jié)果看預測的準確度并不太高.而由于原始數(shù)據(jù)具有無后效性的特點，可以通過馬爾可夫鏈修正灰色預測模型的結(jié)果，使預測結(jié)果得到較大改善.因此確定了灰色馬爾科夫鏈方法的研究思路，將GM（1，1）模型擬合與預測值的合理表達有機地結(jié)合在一起，不但能夠得到預測年份的航空貨運量，而且還可以知道貨運量產(chǎn)生的概率情況.由GM（1，1）預測值及馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移下的最大概率可知航空貨運量的發(fā)展趨，說明了灰色－馬爾可夫鏈法對航空貨運量預測的科學合理性，這有助于決策者的決策行為.

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