基于最小柔度的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化研究

胡桂川，劉敬花，劉成俊，李 亮

HU Gui-chuan, LIU Jing-hua, LIU Cheng-jun, LI Liang

（ 重慶科技學院 機械與動力工程學院，重慶 401331）

基于最小柔度的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化研究

The study of continuum structure topology optimization based on min-compliant

胡桂川，劉敬花，劉成俊，李 亮

HU Gui-chuan, LIU Jing-hua, LIU Cheng-jun, LI Liang

（ 重慶科技學院 機械與動力工程學院，重慶 401331）

結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化通過在設(shè)計域內(nèi)最優(yōu)布置材料獲得優(yōu)良性能的零件的一種優(yōu)化設(shè)計方法，工程結(jié)構(gòu)的優(yōu)化目標復雜，設(shè)計域不規(guī)則并具有多種形式的優(yōu)化約束，使單目標的拓撲優(yōu)化難于滿足工程需要。本文提出從零件的剛、強度及動力學需求出發(fā)，開展結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化在工程應(yīng)用方面的研究具有重要價值。

拓撲優(yōu)化；柔度；連續(xù)體結(jié)構(gòu)；桁架；密度法

0 引言

給定設(shè)計目標和約束的情況下，尋找性能優(yōu)、容易制造、重量輕的產(chǎn)品拓撲結(jié)構(gòu)和材料布局是設(shè)計者追求的目標。連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的目的是在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計的初始階段為設(shè)計者提供一個概念性設(shè)計方案，從而改變傳統(tǒng)的設(shè)計、校核、修改這樣一個不斷反復的串行開發(fā)流程，已經(jīng)成為當今結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計研究的一個熱點[1,2]。其實質(zhì)是材料在設(shè)計空間的分布優(yōu)化[3]，通過迭代計算，保留對結(jié)構(gòu)傳力路徑有利的結(jié)構(gòu)單元，刪除對結(jié)構(gòu)傳力路徑作用不大的單元。

本文以橋梁加固中的桁架為研究對象，提出基于密度法中的SIMP(solid isotropic material with penalization) 的多目標拓撲優(yōu)化方法,通過對桁架初步結(jié)構(gòu)進行剛、強度和固有特性進行分析，尋找影響桁架剛、強度和動力學性能的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)單元，進行桁架的拓撲結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，提出了滿足性能要求的三種桁架結(jié)構(gòu)供選擇，實現(xiàn)了桁架的多目標拓撲優(yōu)化,得到了同時滿足靜態(tài)多工況下剛、強度、固有頻率要求的桁架拓撲結(jié)構(gòu)。

1 SIMP 密度—剛度插值法

結(jié)構(gòu)的總體柔度可寫為：

結(jié)構(gòu)總體柔度C的敏度為：

體積約束的敏度方程可寫為：

其中ue是單元位移列矢量，ue可以通過求解結(jié)構(gòu)有限元平衡方程F=K×U得到。在體積約束下，以結(jié)構(gòu)柔度為目標函數(shù)時，基于SIMP方法的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化模型為：

xmin是單元相對密度的最小極限值，引入xmin的目的是防止單元剛度矩陣的奇異值；ve為優(yōu)化后的單元體積，N為單元總數(shù)目。由此，離散結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題變成了連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題。

2 桁架剛、強度分析

在進行大型重載件的運輸過程中，載重車輛可能要經(jīng)過相當數(shù)量的橋梁，經(jīng)過橋梁的車輛和載重量可能超過了橋梁本身的設(shè)計負荷，為了車輛和橋梁的安全，需要對橋梁進行加固。如圖1所示的石拱橋，不能承受重型載重汽車運輸石油鉆井設(shè)備，利用傳統(tǒng)加固橋梁的方法實施非常困難，工程部門通過對各種加固方案進行比較，提出在橋墩上制造一個桁架，桁架與橋拱間有25cm的間隙，要求60噸的載重汽車經(jīng)過加固的橋面后不能對拱橋產(chǎn)生破壞，即在60噸的載荷作用下，桁架的最大變形小于25厘米、同時載重車在橋面的行駛過程中，桁架不能發(fā)生共振。

圖1 加固前拱橋截面圖

2.1 加固桁架的結(jié)構(gòu)設(shè)計

根據(jù)上述要求，加固桁架的長度、寬度和高度受原橋梁的限制，在此約束條件下，桁架各杠的連接是進行結(jié)構(gòu)設(shè)計重點關(guān)注的問題。結(jié)構(gòu)設(shè)計人員設(shè)計了如圖2所示的桁架三維結(jié)構(gòu)，桁架的重量為21432.6 kg。

圖2 設(shè)計的鋼橋桁架

2.2 加固桁架的剛、強度分析

對設(shè)計的加固桁架，在載重車輛通過時桁架將發(fā)生變形，變形后的桁架是否與石拱橋的石拱發(fā)生接觸是加固桁架設(shè)計是否成功的關(guān)鍵。通過對設(shè)計的桁架結(jié)構(gòu)進行有限元分析，分析其結(jié)構(gòu)的剛度是否滿足要求。在分析過程中考慮到載重汽車載荷的變化，分析載荷為60噸和90噸兩個工況。通過對桁架的靜力學、動力學分析，在90噸載荷的作用下，桁架的剛、強度均存在較大的富裕，擬通過拓撲優(yōu)化，提高材料的使用率，降低成本。

3 桁架的拓撲優(yōu)化

從桁架的剛、強度分析結(jié)果可以看出，桁架的原結(jié)構(gòu)設(shè)計不合理，材料的利用率不高，有一些杠件的應(yīng)力非常低，沒有發(fā)揮其能夠發(fā)揮的作用。在對原結(jié)構(gòu)的剛、強度進行認真分析的基礎(chǔ)上，提出如下三個桁架結(jié)構(gòu)方案：

在相同的邊界條件下，計算各個方案的應(yīng)力、變形及其分布規(guī)律和結(jié)構(gòu)的各階固有模態(tài)。各個方案的剛、強度分析結(jié)果如表1所示；各優(yōu)化方案的各階模態(tài)如表2所示。

表1 各個優(yōu)化方案的剛、強度分析結(jié)果比較

表2 各優(yōu)化方案的各階模態(tài)比較

從上述方案的分析結(jié)果可得如下的結(jié)論：

1）所制定的三個方案都能夠滿足桁架結(jié)構(gòu)的性能要求；

2）從材料的利用率和結(jié)構(gòu)的工藝性進行分析比較，方案3是所有方案中最有的方案，最終被業(yè)主單位采用，通過近兩年的使用和檢測，達到設(shè)計要求。

4 結(jié)論

目前對連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化研究主要集中在單目標的拓撲優(yōu)化。然而，在實際工程結(jié)構(gòu)中存在著大量的多目標拓撲優(yōu)化問題，因此僅僅是單目標的拓撲優(yōu)化很難得到滿足實際工程需要的最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓撲。雖然各種各樣的多目標優(yōu)化方法已經(jīng)應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化中，但設(shè)計變量僅局限于尺寸變量(如截面尺寸、厚度等) ,它們都存在不能改變結(jié)構(gòu)拓撲的缺陷。

針對結(jié)構(gòu)布局優(yōu)化設(shè)計的難點，本文提出了通過對基結(jié)構(gòu)進行有限元分析，利用分析結(jié)果尋找影響結(jié)構(gòu)剛、強度和動力學性能結(jié)構(gòu)要素，結(jié)合制造工藝，對結(jié)構(gòu)進行形狀、拓撲結(jié)構(gòu)布局優(yōu)化方法在工程設(shè)計是一種比較可行的方法。

[1] Bendsoe M P,Sigmund O.Topology Optimization：Theory,Methods and Applications [M].Berlin：Springer,2003.

[2] Hassani B,Hinton E.Homogenization and Structural Topology Optimization Theory,Practice and Software[M].London：Springer,1999.

[3] Rong J H,Xie YM,Yang X Y. An Improved Method for Evolutionary Structural Optimization Against Buckling[J].Computer & Structures,2001,79：253-263.

[4] 范文杰,范子杰,蘇瑞意.汽車車架結(jié)構(gòu)多目標拓撲優(yōu)化方法研究[J].中國機械工程,2008,19(12),1505-1508.

[5] Bendsoe M.P.and Sigmund O.Topology optimization：theory,methods and applications.New York：Springer,2003.

TH166

A

1009-0134(2010)10(下)-0196-03

10.3969/j.issn.1009-0134.2010.10(下).61

2009-11-05

重慶市教委資助（KJ061405）

胡桂川（1964 -），副教授，碩士，主要從事工程分析與計算流體力學研究。