一種基于概率密度傳播的目標跟蹤算法

高慶華 金明錄 王 潔 王洪玉

(大連理工大學電子與信息工程學院 大連 116023)

1 引言

目標跟蹤問題是WSN(Wireless Sensor Network)領域的研究熱點。有效的目標跟蹤是無線傳感器網絡在戰場信息監測、生活習性監測、室內定位等眾多領域得以應用的基礎。目標跟蹤算法整體上分為兩大類：一類是概率方法，將跟蹤問題轉化為狀態估計問題，采用貝葉斯估計、極大似然估計等方法處理問題；另一類是數值方法，將跟蹤問題看作優化問題，采用求極值的方法處理問題。在目標運動軌跡沒有規律、系統噪聲和觀測噪聲較復雜的情況下，基于概率的方法通常具有較強的魯棒性和較優的跟蹤精度。

近年來，PF(Particle Filter)算法被提出并用來解決非線性、非高斯環境下的目標跟蹤問題。PF算法理論上基于后驗分布進行采樣，實際應用中很難實現對后驗分布直接采樣，因此通常基于先驗分布采樣，然后利用似然函數進行加權，這樣處理造成當前時刻的觀測信息在采樣中沒有發揮作用，當先驗分布與似然函數偏差較大時，會造成絕大多數粒子權值趨近于零的退化現象發生，文獻[1]證明隨著時間的推移這種退化必然發生。一種直觀的克服該問題的方法是增加粒子數目，但這樣勢必造成計算量的增加。重采樣可以在一定程度上緩解該問題，但會造成粒子多樣性降低，易發生粒子耗盡、貧化問題。Doucet提出采用擴展卡爾曼濾波算法對每個粒子進行預測；文獻[2-4]等人提出基于無跡卡爾曼濾波算法對每個粒子進行預測；文獻[5,6]提出采用高斯函數對粒子進行平滑處理；文獻[7]等提出利用觀測到的參考節點信息對預測粒子進行mean-shift偏移；文獻[8]提出利用參考節點信息構建目標可能出現區域的方法對粒子采樣區域進行限制；上述算法優化了提議分布，使先驗分布與似然函數的交集變大，一定程度上克服了粒子退化問題，但是，這類算法本質上仍然需要對概率密度分布進行采樣，不能徹底擺脫粒子退化、貧化的問題。文獻[9]提出一種采用連續函數表征目標分布的算法實現人臉跟蹤，有效地克服了PF算法采樣困難的問題，但是該算法通過多次采樣、擬合獲得似然函數，需要計算大量Hessian矩陣、求逆矩陣等復雜操作，不適用于WSN。

針對上述問題，本文提出一種貝葉斯框架下的概率密度傳播跟蹤算法PDPA(Probability Density Propagation Algorithm)，采用高斯混合模型來表征目標概率分布，通過對連續函數的一系列操作實現目標跟蹤，解決了大噪聲、非線性、非高斯環境下基于WSN的目標跟蹤問題。

2 系統模型

PDPA算法基于貝葉斯框架，采用狀態空間模型來表述WSN跟蹤問題，令目標的狀態變量序列為{xt, t=1,…,N }，觀測變量序列為{zt, t=1,…,N}，則有

這里F為狀態預測函數，H為狀態觀測函數，wt為過程噪聲，vt為觀測噪聲。

在預測方程和觀測方程的作用下，狀態分布先驗概率密度函數p(xt|z1,…,t?1)和后驗概率密度函數p(xt|z1,…,t)按式(3)，式(4)進行狀態預測和更新：

狀態轉移概率函數p(xt|xt?1)由式(1)確定，觀察似然概率函數p(zt|xt)由式(2)確定。

GMM(Gaussian Mixture Model)具有近似表示任意概率分布的能力，文獻[10，11]對此作了詳細研究，本文亦采用GMM來表示概率分布函數如式(5)所示。

這里c為高斯核個數，λm為第m個核的權值，μm為其均值，Σm為其方差，高斯函數定義為

這里d為變量x的維數，文中T代表轉置。

3 概率密度傳播跟蹤算法

PDPA算法采用GMM表征先驗分布、似然函數、后驗分布，有效地克服了PF算法退化、貧化、采樣效率低的問題，同時，具有處理非線性、非高斯問題的能力。整個算法基于貝葉斯框架，分為預測、似然函數構建、后驗分布計算、目標位置確定4部分。

3.1 預測

這里Σw用于補償運動噪聲。對GMM中每個高斯函數均進行UT變換，獲得的先驗分布如式(10)所示

3.2 似然函數構建

當目標探測到的參考節點個數k≥2時，假設獲得的參考節點位置、距離信息集合為為參考節點i的位置，di為其與目標的距離，任意兩個參考節點{i, j| i∈之間的距離dij=如果滿足約束條件(di+dj則求解以(xi, yi)為圓心di為半徑的圓與以(xj, yj)為圓心dj為半徑的圓的交點，將求得的交點作為GMM模型的均值，觀測噪聲的方差作為GMM模型的方差，權值為交點總個數的倒數。

當未收到參考節點信息時，令似然函數為常數1。

3.3 后驗分布計算

后驗分布函數為先驗分布函數與似然函數的乘積，如式(11)所示

這里c1為先驗分布核個數，c2為似然函數核個數，相乘得到核個數為c1×c2的GMM函數，新GMM參數如下

新的GMM函數綜合了先驗信息以及當前時刻的觀測信息，代表了目標的后驗分布信息。但是，直接將該函數作為后驗分布勢必造成GMM函數中核個數隨時間不斷增加，導致算法計算量災難性增長。本文采用以下3種方法對新GMM函數進行擬合處理，以確保后驗分布核個數的恒定。

方法1 基于核系數選擇 直接選擇模型中系數最大的c1個核構成新的GMM函數。

方法2 EM擬合 首先，對c1×c2個樣本點μmn進行重采樣，各樣本點被選擇的概率正比于λmn?1，重采樣獲得樣本集{s, i=1,…,N }，通i常令樣本個數N=10×c1×c 2。然后，采用EM算法對這些樣本點的分布進行擬合處理，轉化為具有c1個核的GMM函數，EM算法分為E-step和M-step兩個步驟。

E-step：

方法3 K-mean擬合 與EM算法相比，K-mean算法具有簡單、計算量小的優點。算法首先從c1×c2個權值為的樣本點mnμ中隨機選取c1個點作為聚類中心，然后，根據各樣本點與各聚類中心的歐式空間距離對樣本點分類，計算各類樣本點的加權質心作為新的聚類中心。此過程進行多次后收斂，此時聚類樣本的聚類中心、方差、樣本個數占總樣本個數的比例即為GMM模型中的均值、方差與權值。

擬合處理后的后驗分布GMM函數為

3.4 目標位置確定

PDPA算法將后驗分布p(x)各高斯核均值的加權質心作為當前時刻的目標位置，如式(18)所示

整個PDPA算法遵循貝葉斯框架，基于上一時刻的后驗分布進行預測，獲取當前時刻的似然函數，然后求解當前時刻的后驗分布，同時，計算后驗分布中各模式的加權質心并將其作為當前時刻的位置。算法初始時刻直接將似然函數確定的位置作為其估計位置。

4 性能仿真與分析

4.1 仿真模型與環境

實驗中目標基于CV/CT混合模型運動，具體模型參見文獻[12]。運動噪聲與觀察噪聲均為對稱雙峰非高斯噪聲，運動噪聲模型為w1N(μ1, Σ1)+(1?w1)N(?μ1, Σ1)，運動噪聲均值默認為μ1=1，方差Σ1=1，系數w1∈[0.2,0.8]；觀察噪聲模型為w2N(μ2, Σ2)+(1?w2)N(?μ2, Σ2)，觀察噪聲均值默認為μ2=20，方差Σ2=20，系數w2∈[0.2,0.8]。其它默認仿真參數如表1所示。

表1 仿真參數

將PDPA算法分別與經典PF算法，ML(Maximum Likelihood)算法進行對比分析。誤差定義為估計位置與真實位置的均方誤差，實驗結果均為100次實驗的均值。

4.2 跟蹤效果分析

3種算法跟蹤效果如圖1所示，理想軌跡為橢圓形，右下角處受噪聲影響軌跡發生突變，PF算法在軌跡突變處跟蹤誤差加大，而PDPA算法表現出較好的跟蹤能力，證明其克服了PF算法在先驗分布與似然分布差別較大時產生的退化現象，同時，PDPA算法克服了ML算法跟蹤軌跡跳變、不穩定的問題。

4.3 環境適應能力分析

3種算法隨運動噪聲均值變化效果如圖2所示，隨著運動噪聲的加大，真實軌跡與理想軌跡偏差加大，致使先驗分布與似然函數交集變小，造成PF算法出現退化現象；ML算法最大誤差較大，定位性能變化嚴重。PDPA算法在均值誤差、最大誤差方面均表現出良好性能。

圖1 跟蹤效果圖

從圖3可以看出，隨著觀測噪聲的增加，ML算法誤差顯著增加，PDPA算法誤差緩慢增加，在觀察噪聲方差小于60時PDPA性能優于PF算法，表明PDPA算法對觀測噪聲具有較好的適應能力。

參考節點間距的變化造成目標可獲得的有效觀測信息量發生變化，從而影響跟蹤精度。圖4顯示出ML算法性能隨間距變化較劇烈，而PDPA算法與PF算法對間距變化不是很敏感，表現出較好的密度適應性。

4.4 性能分析

PDPA算法與PF算法、ML算法性能對比如表2所示，總體來說PDPA算法適合在運動噪聲與觀察噪聲均較大、參考節點分布不均勻的條件下工作，且算法跟蹤效果波動較小。

表2 算法性能比較

3.3節中3種擬合方法性能對比如表3所示。通常情況下，在WSN應用中核系數最大的幾個核函數基本上代表了后驗分布的特征，基于核系數選擇的方法即可滿足性能要求。

表3 擬合方法性能比較

用于表征概率分布的GMM函數核個數通常根據具體的應用環境采用實驗的方法來確定，Ding在文獻[11]中介紹了AIC與BIC兩種核個數確定準則，亦可采用這些準則確定核個數。核個數過少會造成有用信息的丟失，同時，過多的核個數也會使一些虛假信息得到傳播，GMM核個數要與噪聲的多峰值特征相匹配。

5 結束語

圖2 誤差隨運動噪聲均值變化

圖3 誤差隨觀測噪聲均值變化

圖4 誤差隨參考節點間距離變化

PDPA算法本質上是一種基于GMM模型表征的連續函數實現貝葉斯估計的跟蹤算法，解決了PF算法采樣困難的問題，實現了大噪聲、非線性、非高斯環境下的目標跟蹤。實驗結果表明，PDPA算法適用于不同參考節點密度場合，且能在運動與觀測模型噪聲較大的惡劣條件下工作，是一種適用于WSN的健壯跟蹤算法。進一步的研究方向為PDPA算法收斂性的證明及將該算法應用到復雜參數估計等問題中。

致謝 感謝羅海勇博士和Ding Min博士在相關算法方面的探討。

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