組合KdV型方程孤立波的軌道穩定性

張衛國, 卜曉雙, 卞蘭蕓

(上海理工大學理學院,上海 200093)

由JB=T′(0)知B=-1,所以,可定義

1 問題的提出

組合KdV方程

可作為一維非線性晶格傳播波的模型[1-3].文獻[4]應用約化攝動法于兩層流體界面近臨界情形也得到了方程(1),因此,方程(1)也是流體力學中的一個重要模型方程.文獻[1,5]通過初等積分法求出了方程(1)的漸近值為0的鐘狀孤波解,文獻[6]則得到了這種孤波解的近似解.文獻[7]得到了廣義組合KdV型方程

的漸近值為零的鐘狀孤波解.

已有不少文獻對KdV型方程的孤波解進行了穩定性研究,例如,文獻[8-13]利用變分法研究了KdV型方程

的孤波解的穩定性,得到當0＜p＜4時方程(3)的孤波解穩定,p＞4時不穩定的結論.文獻[14]對方程(3)的孤波解給出了當0＜p＜4時軌道穩定,p≥4時不穩定的結論.文獻[15]研究了方程

的振蕩不穩定性,得到線性不穩定性發生在下列3種情況下:a.波速c固定,且p＞4,r足夠小;b.r固定,且p＞4,波速足夠大;c.r固定,且波速c和p都足夠大.

文獻[16-17]分別利用變分方法和Lyapunov方法研究了方程

的穩定性,給出了使方程(4)的孤波解穩定的充分條件.

容易看出,以往研究KdV型方程孤波解穩定性的文獻大多集中于方程中僅含一個非線性項的情形.本文著重研究方程中含有兩個非線性項的組合KdV型方程(2)孤立波解的軌道穩定性.關于軌道穩定性的理論參見文獻[18-19].由于組合KdV型方程(2)比KdV型方程(3)多一個非線性項bu2pux,它的精確孤波解2002年才被求出[7],所以,以往文獻還沒有研究過方程(2)的孤波解的軌道穩定性,甚至對作為原型方程的組合KdV方程(1)的孤波解軌道穩定性研究的文獻也沒有找到.或許有人認為,在其他條件不變的情況下,穩定性主要會受最高次數非線性項的影響.既然KdV型方程(3)的孤波解當0＜p＜4時軌道穩定,p≥4時不穩定,那么可料想,組合KdV型方程(2)的孤波解相應地可能會在0＜p＜2時軌道穩定,而在p≥2時不穩定.但事實確并非如此.本文研究的結果表明,組合KdV型方程(2)的孤波解的軌道穩定性不僅受最高次數非線性項bu2pux的影響,還受到另一非線性項aupux的影響.在b＞0,0＜p≤2情形,得出結論:對于方程(2)的恒正的孤波解u1(x-ct),當a＞0時是軌道穩定的,a＜0時是軌道不穩定的;對于恒負的孤波解u2 (x-ct),當a＜0時是軌道穩定的,a＞0時是軌道不穩定的.由此還可知,當p=2,a＞0時,組合KdV型方程

的孤波解是軌道穩定的.方程(5)與p=4時的方程(3)具有相同的最高次非線性項,前者的孤波解軌道穩定,而后者的孤波解軌道不穩定,本文指出了其中的原因,方程(5)中含系數a的這項具有促使穩定化的作用.

為討論方便起見,現引述文獻[7]中的有關結果.

引理1 假設c＞0.

a.若b＞0或b≥0,且a＞0,則方程(2)有鐘狀孤波解

其中

其中

文獻[7]已指出,在引理1的a條件下,式(6)中括號內函數ψ1(ξ)恒正,在引理1的b條件下,式(7)中括號內函數ψ2(ξ)恒負.

2 驗證方程(2)及其孤波解滿足軌道穩定性理論的要求

方程(2)可寫成哈密頓系統

其中,X=H2(R),它的對偶空間為X*=H-2(R).

反對稱算子

X上的內積為

X與X*間存在自然同構,I∶X→X*,定義為〈If,g〉=(f,g),其中

設T是X上具有單參數的酉算子群,定義為T(s)u(?)=u(?-s) ?s∈R,u(?)∈X(9)顯然,

由JB=T′(0)知B=-1,所以,可定義

由式(9)可知,引理1中方程(2)的孤波解式(6)和式(7)可寫成T(ct)ui(x)(i=1,2).現考慮孤立波解T(ct)ui(x)的軌道穩定性.為不使重復,取定φc(x)為u1(x)和u2(x)兩者之一.驗證T(ct) φc(x)滿足Grillakis-Shatah-Strauss提出的軌道穩定性理論的要求.

首先,由文獻[20]中的定理1和定理2即可推知文獻[20]中的系統(3.1)初值問題解的存在性.

引理2[20]設s≥2,對于任意固定的 u0∈Hs(R),方程(2)存在唯一的解u∈C([0,∞); Hs(R)),滿足u(0)=u0.

又易證,由式(8)和式(10)定義的E(u),Q(u)分別滿足

其次,可證引理3.

引理3 φc是方程(2)的有界態解,且滿足

證明 因為φc滿足方程(2),代入方程(2)得

對式(11)兩邊積分可得

因為,當x→∞時,φc,φcx,φcxx→0,所以,C= 0,即

所以

現定義算子Hc:X→X*,Hc=E″(φc)-cQ″(φc),其中

經計算得

易知Hc是一個自共軛算子,Hc=H*c,這意味著I-1Hc為在X上的有界自共軛算子,Hc的特征值由那些使得Hc-λ I不可逆的實數λ組成.

由式(11)可知,λ=0是Hc的一個特征值.

經上述分析可以證明引理4成立.

引理4 對每一個c∈(c1,c2),Hc僅有一個負的簡單特征值,且它的核空間由T′(0)φc張成,它的其余的特征植是正的、有界的,而且遠離于0.

證明 因為x=0是φcx的唯一零點,由Sturm-Liouville定理知,0是Hc的第二特征值,故Hc只有一個負特征值-σ2,它對應的特征函數 χ滿足

于是,可對Hc進行譜分解.令

對?0≠p∈P,根據文獻[18]中的引理可知,對滿足(p,χ)=(p,φcx)=0的任意實函數p∈H1(R),存在正數 β＞0,使得且β與p無關,則〈Hcp,p〉＞0.

因此,空間X可分解為直和X=N+Z+P,其中,Z為Hc的核空間,N是一個有限維空間,P為一個閉子空間.

定義d(c)=E(φc)-cQ(φc),R→R.由于引理2～4成立,據文獻[18]可以得到定理1.

定理1 設u1(x-ct),u2(x-ct)是引理1中給定的方程(2)的孤波解,其中,系數p,a,b及波速分別滿足引理1中的假設.取定 φc(x)為u1(x)和 u2(x)之一,那么,若 d″(c)＞0, T(ct)φc(x)是軌道穩定的;若d″(c)＜0,T(ct)φc (x)是軌道不穩定的.

3 組合KdV型方程鐘狀孤波解的軌道穩定性

為考慮組合KdV型方程鐘狀孤波解的軌道穩定性,由定理1可知,只需考察d(c)=E(φc)-cQ(φc)二階導數d″(c)的符號.這里

3.1 b=0時KdV型方程孤波解的軌道穩定性

在引理1的式(6)和式(7)中,令b=0,可得:

a.若a＞0,則KdV型方程

有孤波解

據式(12)有

根據式(16)可得,對于KdV型方程(13)的孤波解式(14),有

故得定理2.

定理2 當0＜p＜4時,不論a＞0或a＜0, KdV型方程(13)的孤波解式(14)都是軌道穩定性的;當p＞4時,KdV型方程(13)的孤波解式(14)是軌道不穩定性的.

定理2與文獻[9-10,14]中的結論相同.從式(17)可清楚地看出,p=4使d″(c)=0,此時,本文所用軌道穩定性判別法失效.

3.2 b≠0的情形

首先考察方程(2)的孤波解式(6)的軌道穩定性判別式d″(c).式(6)可改寫為

其中,ξ=x-ct.

在式(12)中取φc(x)=u1(x),則有

為討論d″(c)的正負號,注意式(18)中被積函數關于c的導數,得

由于d1+d2cosh2(d3x)→∞(當x→∞),當0＜p≤2時,是當x→∞時趨于0的有界函數.由式(19)可知,具內閉一致收斂性.故根據含參量積分的求導方法,當0＜p≤2時,有

利用分部積分方法可得

再利用積分中值公式,并將式(21)代入式(20),得

其中,x*∈R.

由于

且

將式(24)和式(25)代入式(23),可得

經計算可得

將式(27)～(29)代入式(26),即得

再將式(30)代入式(22),可得關于孤波解u1(x-ct)軌道穩定的判別式

現研究方程(2)的孤波解式(7)的軌道穩定性判別式.

其中

于是,有

將以上各式代入式(33),得

根據式(27)～(30),有

根據式(31)和式(34),且知引理1中關于u1 (x-ct)恒正,而u2(x-ct)的表達式(7)中ψ2(ξ)恒負,可以推出結論:

a.對于u1(x-ct),當a＞0時,d″(c)＞0,當a＜0時,d″(c)＜0;

根據以上述結論和定理1,得到定理3.

定理3 設b＞0,0＜p≤2.

a.組合KdV型方程(2)的孤波解u1(x-ct).當a＞0時是軌道穩定的,a＜0時是軌道不穩定的;

b.組合KdV型方程(2)的孤波解u2(x-ct).當a＜0時是軌道穩定的,a＞0時是軌道不穩定的.

根據定理3,在方程(2)中取p=2,可知組合KdV型方程(5)的鐘狀孤波解當a＞0時是軌道穩定的.又根據前面的討論及文獻[14]可知,若在方程(5)中令a=0,則KdV型方程

的鐘狀孤波解是不穩定的.究其內在原因,考慮式(18),當p=2時,利用式(25)直接可得

由式(35)可知,當a=0時,d′(c)關于c為常數,自然有d″(c)=0;當a≠0時,d′(c)隨著a的增加而減少,隨著c的增加而增大,所以,方程(5)中含a的這項的出現減弱了不穩定性,起到了某種穩定化的作用.

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