概率論教學(xué)中的幾個(gè)問題

李天則

（常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇常熟 215500）

概率論教學(xué)中的幾個(gè)問題

李天則

（常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇常熟 215500）

討論了概率論教學(xué)中幾個(gè)應(yīng)該注意的問題，分析了國內(nèi)概率論教材中中心極限定理部分存在的一個(gè)問題。

可列可加性；隨機(jī)變量；離散；連續(xù)；中心極限定理

概率論中有一些概念比較容易混淆和難以理解，初學(xué)者學(xué)習(xí)起來有些困難，往往抓不住實(shí)質(zhì)，理解不透徹。為此，我們給出一些簡單有趣的例子，以利于初學(xué)者深入理解教材內(nèi)容。

一、怎樣理解概率的可列可加性

概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，這是概率的描述性定義。為了給出概率的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義，歷史上先后出現(xiàn)了古典定義、幾何定義、統(tǒng)計(jì)定義。但是這幾個(gè)定義要么適用范圍有限，要么在數(shù)學(xué)上并不嚴(yán)格。直到1933年前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了概率的公理化定義，才使概率論成為一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支。

要完整地描述概率的公理化定義需要測(cè)度論的語言，目前國內(nèi)非數(shù)學(xué)專業(yè)的概率論教材中關(guān)于概率的定義大多采用經(jīng)過簡化處理的公理化定義［1］。概率的公理化定義中很關(guān)鍵的一點(diǎn)是可列可加性。初學(xué)者很容易接受有限可加性，但對(duì)于可列可加性往往感到很迷惑。下面是幾何概型的一個(gè)例子，有助于理解概率的可列可加性。

這就解釋了概率的公理化定義中為什么要規(guī)定可列可加性．

二、關(guān)于概率可列可加性的思考

正是由于引進(jìn)了可列可加性，概率論才能夠使用數(shù)學(xué)的其它分支包括測(cè)度論的工具和成果，從而得到迅速的發(fā)展。但是概率真的是可列可加的嗎？概率的公理化定義能夠處理所有的概率問題嗎？事實(shí)上可列可加性排斥了一些有趣的例子。

例2.在自然數(shù)集中任意取一數(shù)，問恰好取到數(shù)1的概率是多少？

本例中樣本空間S是自然數(shù)集。顯然恰好取到數(shù)1和其余各數(shù)的概率都相同，記為p。我們斷言p只能等于0。否則取S的一個(gè)有限子集A，使其元素個(gè)數(shù)n滿足n p＞1。于是，由有限可加性得到P（A）=n p＞1，與P（A）≤1矛盾。然而由p=0及可列可加性，我們又得到P（S）=0，與P（S）=1矛盾。

上述例子說明了在柯爾莫哥洛夫的公理化定義框架下，可列樣本空間中不存在樣本點(diǎn)為等可能的概率模型。

三、概率為0的事件

由概率的定義，不可能事件的概率為0，但概率為0的事件不一定是不可能事件。類似地，必然事件的概率為1，但概率為1的事件不一定是必然事件。這也是初學(xué)者容易迷惑的地方。教材中一般會(huì)證明這樣一個(gè)結(jié)論：設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，a是任意實(shí)數(shù)，那么概率P（X=a）=0。這就解釋了上述事實(shí)。但是這比較抽象，下面我們?cè)俳o出一個(gè)具體的、有生活背景的例子。

例3.甲、乙二人約定1點(diǎn)到2點(diǎn)之間在某處碰頭，假設(shè)甲、乙二人各自隨意地在1-2點(diǎn)之間選一個(gè)時(shí)刻到達(dá)該處。問甲乙二人在同一時(shí)刻到達(dá)該處的概率是多少？

本例屬于幾何概型，樣本空間可取為S= （x，y）|0＜x，y＜｝

｛1，所求事件為A=“甲、

乙二人在同一時(shí)刻到達(dá)該處”= （x，y）|x=y，0＜x，y＜｝

｛1。由于線段的面積為0，故事件A的概率P（A）=0。

從隨機(jī)變量的觀點(diǎn)看，我們可以定義Z：S→R為Z（（x，y））=x—y。即Z是甲、乙二人分別到達(dá)該處的時(shí)刻差。顯然｛Z=0｝就是事件A，所以P（Z=0）=P（A）=0。

上述例子說明了概率為0的事件也有可能發(fā)生。一般稱概率為0的事件為幾乎不可能事件，而概率為1的事件為幾乎必然事件。

有趣的是上述隨機(jī)變量Z服從辛普森分布（或三角分布）［2］。

事實(shí)上Z是連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為

四、既非離散又非連續(xù)的隨機(jī)變量

教材中一般會(huì)提到除了離散分布和連續(xù)分布之外，還有既非離散又非連續(xù)的分布。但初學(xué)者往往對(duì)此印象不深，因?yàn)榻滩闹械睦}一般只討論離散分布和連續(xù)分布。請(qǐng)看下面的例子［2］。

由分布函數(shù)的三個(gè)判別條件（單調(diào)性、有界性和右連續(xù)性），易知F（x）確是某個(gè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。因?yàn)镕（x）既不是階梯函數(shù)，又不是連續(xù)函數(shù)，所以X是既非離散又非連續(xù)的隨機(jī)變量。

美中不足的是我們不知道F（x）所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量X是什么。下面的例子可以說明X是怎樣產(chǎn)生的。

例5.設(shè)有一個(gè)周長為2的均勻陀螺，在其圓周的半圓上都標(biāo)明刻度0，另外半圓上均勻刻上區(qū)間（0，1］上諸數(shù)字，旋轉(zhuǎn)這陀螺，求它停下來時(shí)其圓周上觸及桌面上點(diǎn)的刻度X的分布函數(shù)。

因此，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)確實(shí)是例4中的F（x）。

五、中心極限定理教學(xué)中的一個(gè)問題

下面是中心極限定理的一個(gè)典型例子．

例6.某系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立的部件組成，在運(yùn)行期間每個(gè)部件損壞的概率均為0.1，為使系統(tǒng)正常工作，必須至少有88個(gè)部件正常，求整個(gè)系統(tǒng)在運(yùn)行期間能正常工作的概率。

很多教材會(huì)給出“標(biāo)準(zhǔn)”解法如下：

解法一：考慮第i個(gè)部件，引入隨機(jī)變量Xi，若第i個(gè)部件損壞，則令Xi取值為0，否則令Xi取值為1，從而根據(jù)棣莫弗—拉普拉斯極限定理知所求概率為

注意到二項(xiàng)分布是離散分布，而正態(tài)分布是連續(xù)分布，所以在用正態(tài)分布作為二項(xiàng)分布的近似計(jì)算時(shí)，通常要做一個(gè)“連續(xù)性修正”［2，4，5］以提高精度。具體說就是：若k1＜k2均為整數(shù)，一般先作如下修正后再用正態(tài)近似

P（k1≤X≤k2）=P（k1—0.5≤X≤k2+0.5）。

按照“連續(xù)性修正”方法，上述兩個(gè)解法將會(huì)統(tǒng)一起來，我們考慮一般的情形。

例7.設(shè)X～b（n，p），其中n＞＞1，0＜p＜1，另外，k是一個(gè)自然數(shù)且1＜k＜n，試用中心極限定理估算概率P（X≥k）。

解法一：

將n=1 0 0，p=0.9，k=8 8代入上述結(jié)果，知例6中所求概率約為1—Φ（—0.8 3 3）=0.7 9 6 7。顯然這個(gè)結(jié)果較前面兩個(gè)解法的結(jié)果精度要高不少。仔細(xì)分析以上三種計(jì)算方法可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n足夠大時(shí)，三種結(jié)果將會(huì)相差很小，此時(shí)用哪一種方法都可以。但是當(dāng)n不太大時(shí)，還是采用“連續(xù)性修正”方法為好。

［1］盛驟，謝式千，潘承毅，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京:高等教育出版社，2008．

［2］茆詩松，程依明，濮曉龍，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］.北京:高等教育出版社，2004：69-70．

［3］翟橋柱.中心極限定理教學(xué)中的一個(gè)問題［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2004（4）：125-126．

［4］陳希孺.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2009．

［5］Ross S M.概率論基礎(chǔ)教程［M］.鄭忠國，詹從贊，譯.北京:人民郵電出版社，2010．

Some Problems in the Teaching of Probability Theory

LI Tian-ze
(School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

Some concepts in probability theory and a problem in the teaching of central limit theorem are discussed in this paper．

countable additivity;random variable;discrete;continuous;central limit theorem

O211

A

1008-2794（2010）12-0101-03

2010-09-06

李天則（1977—），男，福建南安人,常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，博士，主要研究方向?yàn)橛邢奕赫摗?/p>