一類帶θ(t)型核的奇異積分算子的有界性

陳躍輝，葉曉峰，刁俊東

(華東交通大學基礎科學學院應用數學，江西南昌330013)

因為左邊的式子在r和x中是一致有界的，且由引理中的增長條件可知上面的第一個和第三個式子也是一致有界的，因此

1 介紹及其定義

近年來，奇異積分算子得到了廣泛的研究，并取得了豐碩的成果，尤其是隨著一些空間分解理論的建立，它們在一些空間上的有界性問題得到了解決。1985年彭立中在文獻[1]中引進了具有深刻微分方程背景的θ(t)型Calderón-Zygmund算子，蘭家誠在文獻[2]和[3]中分別研究了具有θ(t)型Calderón-Zygmund核的多線性奇異積分極大算子的Lp-有界性和型Calderón-Zygmund核的多線性振蕩奇異積分算子的Lp-有界性的充分條件，2007年Chang Derchen和Li Junfeng在文獻[4]中得出了型Calderón-Zygmund算子的加權估計，2008年吳田峰等在文獻[5]中研究了型Calderón-Zygmund算子與BMO函數生成的交換子在空間上的有界性，2009年馬麗娜在文獻[6]中討論了型Calderón-Zygmund算子與Lipschitz函數生成的交換子在Lebesgue空間及Hardy空間上的有界性，同年Chen Jiahong在文獻[7]中得出了具有Calderón-Zygmund核的多線性振蕩算子的加權Lp-有界性，但對于θ型Calderón-Zygmund算子在Lipschitz空間上的有界性問題的討論還沒有，為了得出型Calderón-Zygmund算子在Lipschitz空間上的有界結論，以便將這些有界結論應用到奇異積分算子的研究中，這里我們將主要考慮當K滿足型條件時，Calderón Zygmund積分算子在μ為非雙倍測度時，算子Tε在Lipschitz空間上的有界性。

μ是一個有限的Borel測度，并且滿足n-維增長條件:存在n＞0，A＞0可使得對于所有以r為半徑的球Br，所有的r都有是一個測度μ滿足n-維增長條件的有限測度空間，是一個度量空間。

設0＜β＜1，如果f∈Λβ，則

定義2 如果存在常數c1，c2，使得:

2 定理，引理及其證明

定理的證明

首先，由1∈Λβ可知條件(b)可推出條件(a)。接下來，我們證明條件(a)也可推出條件(b)，為了證明條件(a)也可推出條件(b)，首先對于所有的x∈X，觀察發現，當0＜r1＜r2＜∞時，我們有

因為左邊的式子在r和x中是一致有界的，且由引理中的增長條件可知上面的第一個和第三個式子也是一致有界的，因此

[1] 彭立中.廣義Calderón Zygmund算子及其加權模不等式[J].數學進展，1985，25(02):12-16.

[2] 蘭家誠.具廣義Calderón Zygmund核的多線性振蕩奇異積分極大算子的有界性[J].數學年刊，2005，26(6):799-812.

[3] 蘭家誠.廣義Calderón Zygmund核的多線性振蕩奇異積分算子的Lp-有界性[J].應用數學學報，2006，29(2):566-576.

[4] Chang Derchen，Li Junfeng.Weighted scale estimates for generalizedCalderón Zygmund type operators[J].Contemporary Math，Amer Math Soc，2007，44(5):61-70.

[5] 吳田峰.θ(t)型Calderón Zygmund算子交換子的有界性[J].綿陽師范學院學報，2008，27(8):306-314.

[6] 馬麗娜.廣義Calderón Zygmund算子交換子的有界性[J].高校應用數學學報，2009，24(4):453-461.

[7] Chen Jiahong.Weighted Lp-boundedness ofmultilinearoscillatory singular integralwithgeneralized Calderón-Zygmundkernel[J].Journal of the Graduate School of the Chinese Academy of Sciences，2009，26(5):852-866.

[8] EDUARDO G A.Boundedness on inhomogeneous Lipschitz spaces of fractional integrals，singular integrals and hypersingular integrals associated tonon-doub lingmeasures.[J].Math.CT，2008，106(3):956-980.