正六角形蜂窩芯層面內等效彈性參數研究

陳夢成，陳玳珩

(1.華東交通大學土木建筑學院，江西南昌330013;2.日本東京理科大學機械工學科，東京162-8601)

近年來，蜂窩材料作為一種輕量化與高強化高性能先進復合材料在機械和土木結構中得到廣泛應用，如何準確確定其等效彈性參數亦備受關注。早期在分析由周期性胞元構成的蜂窩材芯層強度時，通常假想地將其視為一塊均質各向異性薄板，并通過一系列彈性參數和結構特征胞元的變形滿足宏觀本構方程來描述其宏觀等效的力學彈性參數。關于等效彈性參數的理論分析，到目前為止，已有不少報道[1-5]。但是，在這些研究結果中，均忽略了胞元壁板剪切變形的影響。實際上，當蜂窩芯層較厚的時候，這種剪切變形不能忽略。在胞元壁板考慮剪切變形的情況下，本文擬就由圖1(a)所示的正六角形胞元周期性排列組成的圖1(b)中正六角形蜂窩芯層的面內等效彈性參數進行理論分析。

1 考慮剪切變形的面內等效彈性參數理論分析

結構的變形和失穩問題可以通過分析與母體力學結構相似的結構特征單元在相同載荷下的變形和失穩現象得到比較簡單而又直接的解決。整個蜂窩狀夾芯層面內變形的求解可以通過分析圖1(b)中點線范圍內所示的單個代表性特征單元變形而獲得，本節擬開展這方面工作。圖2(a)為從圖1(b)中點線范圍內割出的單個單元示意圖，圖2(b)為蜂窩夾芯層受均勻拉伸作用時構成單個單元的胞元壁ABB′A′、CBB′C′和DBB′D′在連接處所受的力和彎矩示意圖，圖中采用局部坐標系(ξ，η，ζ)。整體坐標系(x，y)平面和局部坐標系(ξ，ζ)平面均置于胞元壁高半中腰位置。z坐標軸與η坐標軸重合，即z=η。胞元正壁和胞元斜壁的物理量分別用下標v和l加以區分。另外，為了區別整體坐標系下隔蜂窩狀結構等效應力與局部坐標系下胞元各壁板應力，整體坐標系下應力符號上方使用符號～。

圖1 蜂窩芯層結構

圖2 結構特征單元及其受力分析

首先來確定蜂窩芯層在x方向的材料性質。為此，假定蜂窩芯層在無限遠處受到x方向的均勻拉伸載荷作用，則作用在胞元正壁板的分布力為

作用在胞元斜壁上沿x方向和y方向的分布力px|l(η)與py|l(η)分別為

它們沿ξ方向(斜壁面內)和ζ方向(斜壁面外垂直)的分解力為

下面討論圖3中單元內各個壁板沿x方向的變形δix和y方向的變形δiy的求解方法，它們分別是單元內各壁板變形在x方向和y方向投影代數和。圖3中粗線代表胞元壁，細線方框內表示的是分析單元的區域。胞元壁板的變形是在px|l(η)作用下，由力q|

ζl(η)引起的彎曲變形和剪切變形以及由力q|ξl(η)引起的伸縮變形共同形成的。

胞元正壁板由于沒有受到力的作用，所以其變形等于零，即

圖3 單元內各胞元壁板變形投影疊加示意圖

它們在x方向和y方向的投影自然也就為零。

對于胞元斜壁板來說，由于載荷和結構對稱，所以只需要分析其中一塊斜壁板變形。胞元斜壁板一共受三種載荷作用，它們是彎矩Mη|l(η)、軸向力qξ|l(η)和剪力qζ|l(η)。因此，由材料力學知識，我們可以得到Mη|l(η)引起的胞元斜壁板彎曲變形撓度為

式中:Iξ=ht3/12;h為蜂窩芯層高度或胞元壁板寬度;l為胞元壁板長度;t為胞元壁板厚度;Es為胞元壁板縱向彈性模量。在x方向和y方向投影|x和|y分別是

剪力qζl(η)引起的胞元斜壁板彎曲變形撓度為

剪力qζ|l(η)引起的胞元斜壁板剪切變形撓度為

式中:A為受剪截面面積;k是關于剪切變形的修正系數。本文為了研究方便，取k=1(Mind lin[6]研究中取k=π2/12;Reissner[7]研究中取k=5/6)。在x方向和y方向投影|x和|y分別是

伸縮力qξ|l(η)引起的胞元斜壁板伸縮變形為

綜上所述，單個單元在x方向產生的總變形為

相應地，單個單元在x方向產生的線應變為

單個單元在y方向產生的總變形為

相應地，單個單元在y方向產生的線應變為

根據Hooke定律，蜂窩芯層在x方向的等效彈性模量為

等效Poisson比υxy由定義得

同理，可以得到y方向的等效彈性模量

和等效Poisson比

以上式(18)-(21)即為蜂窩芯層面內等效彈性參數新結果，它們分別可以退化到Gibson和Ashby公式[4]和宋明慧公式[5]。比較式(18)-(21)，蜂窩芯層材具有各向異性。面內參數，還包含另一個剪切模量參數μxy，限于篇幅，我們擬在另文中報道。

2 結論

本文嚴格從材料力學出發，導出了蜂窩芯層面內等效彈性參數的理論分析公式。該公式考慮了胞元壁板各種變形產生的影響，克服了過去公式不全面的弱點。

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[7] REISSNERE.The effectof transverse shear deformation on the bending of elastic plates[J].ASME JApplMech，1945，12(1):69-77.