有限元靜力分析基本原理

郭素娟， 吳 鳴， 李江濤

1 鄭州大學(xué)綜合設(shè)計(jì)研究院（450002） 2 核工業(yè)第五研究設(shè)計(jì)院（450052）

0 引言

有限單元法（也稱為有限元法）是在當(dāng)今工程分析中獲得最廣泛應(yīng)用的數(shù)值計(jì)算方法。由于它的通用性和有效性，受到工程技術(shù)界的高度重視。伴隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)和技術(shù)的快速發(fā)展，現(xiàn)已成為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD）和計(jì)算機(jī)輔助制造（CAM）的重要組成部分。

1 有限單元法基本原理

1.1 要點(diǎn)

有限元法的理論是建立在加權(quán)余量法和變分原理的基礎(chǔ)上的,用有限元法來分析工程或物理問題的要點(diǎn)可歸納如下:

1）將一個(gè)表示結(jié)構(gòu)或連續(xù)的求解域離散為若干個(gè)子域（單元），并通過它們邊界上的結(jié)點(diǎn)相互聯(lián)結(jié)成為組合體。

2）用每個(gè)單元內(nèi)所假設(shè)的近似函數(shù)來分片地表示權(quán)求解域內(nèi)待求的未知場(chǎng)變量,而每個(gè)單元內(nèi)的近似函數(shù)由未知場(chǎng)函數(shù)在單元各結(jié)點(diǎn)上的數(shù)值和與其對(duì)應(yīng)的插值函數(shù)來表達(dá)（此表達(dá)式通常表示為矩陣形式）。由于相鄰單元結(jié)點(diǎn)的場(chǎng)函數(shù)數(shù)值相同，可作為數(shù)值求解的基本未知量。因而，求解原來待求場(chǎng)函數(shù)的無窮多自由度問題轉(zhuǎn)換成為求解場(chǎng)函數(shù)結(jié)點(diǎn)值的有限自由度問題。

1.2 一般格式

將二維或三維連續(xù)體離散為有限個(gè)單元的集合體時(shí)，通常要求單元具有簡(jiǎn)單而規(guī)則的幾何形狀以便計(jì)算。常用的二維單元有三角形或矩形，常用的三維單元有四面體、五面體或平行六面體。同樣形狀的單元還可有不同的單元的結(jié)點(diǎn)數(shù)，因此單元的種類繁多。如何選擇合適的單元進(jìn)行計(jì)算，涉及導(dǎo)求解問題的類型、對(duì)計(jì)算精度的要求等方面的因素。

1）位移模式的選擇

單元中的位移模式一般采用廣義坐標(biāo)為待定參數(shù)的有限元多項(xiàng)式作為近似函數(shù)，其選取原則可考慮以下幾點(diǎn):

①?gòu)V義坐標(biāo)是由結(jié)點(diǎn)場(chǎng)變量確定的,它的個(gè)數(shù)應(yīng)與結(jié)點(diǎn)自由度數(shù)相等。如3結(jié)點(diǎn)三角形單元有6個(gè)結(jié)點(diǎn)自由度（結(jié)點(diǎn)位移），廣義坐標(biāo)個(gè)數(shù)應(yīng)取6個(gè)，因此兩個(gè)方向的位移和各取三項(xiàng)多項(xiàng)式；對(duì)于4結(jié)點(diǎn)的矩形單元，廣義坐標(biāo)數(shù)為8，位移函數(shù)可取四項(xiàng)多項(xiàng)式作為近似函數(shù)。

②選取多項(xiàng)式時(shí)，常數(shù)項(xiàng)和坐標(biāo)的一次項(xiàng)必須完備。位移模式中的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)反映了單元?jiǎng)傮w位移和常應(yīng)變的特性。當(dāng)劃分的單元數(shù)趨向于無窮大時(shí)，單元縮小趨于一點(diǎn)，此時(shí)單元應(yīng)變趨于常應(yīng)變。

③多項(xiàng)式的選取應(yīng)由低階到高階，盡量選取完全多項(xiàng)式以提高單元的精度。一般來說，對(duì)于單元每邊有2個(gè)端結(jié)點(diǎn)的應(yīng)保證一次完全多項(xiàng)式,每邊有3個(gè)結(jié)點(diǎn)的應(yīng)取二次完全多項(xiàng)式。若由于項(xiàng)數(shù)限制不能選取完全多項(xiàng)式時(shí)，選擇的多項(xiàng)式應(yīng)具有坐標(biāo)的對(duì)稱性；并且，一個(gè)坐標(biāo)方向的次數(shù)不應(yīng)超過完全多項(xiàng)式的次數(shù)，以保證相鄰單元交界面（線）上位移的協(xié)調(diào)性。

2）位移插值函數(shù)的建立

在選定廣義坐標(biāo)有限元的位移模式以后，重要的步驟就是建立單元位移場(chǎng)的插值函數(shù)表達(dá)式。現(xiàn)給出廣義坐標(biāo)有限元的一般步驟和表達(dá)式如下:

①以廣義坐標(biāo)為待定參數(shù)，給出單元內(nèi)位移u，則:

u=Φβ

其中，Φ為位移模式，表示位移作為坐標(biāo)的函數(shù)中所包含的項(xiàng)數(shù)。

②用單元結(jié)點(diǎn)ae～位移表示廣義坐標(biāo)β，慣用的單元結(jié)點(diǎn)位移排列是:

ae=[u1v1u2v2…]T

為便于求解廣義坐標(biāo)β，可采用另一種表示方法，如

ae=[u1u2…v1v2]T

將單元結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入u=Φβ，得到

③將單元結(jié)點(diǎn)位移表示單元位移函數(shù)u，得到單元插值函數(shù)矩陣N。

u=ΦA(chǔ)-1ae～=～Nae～

將結(jié)點(diǎn)位移ae～改為一般排列順序ae，則有

u=Nae

④以單元結(jié)點(diǎn)位移ae表示單元應(yīng)變，并得到應(yīng)變矩陣B，則:

ε=Lu=Bae

1.3 有限元分析的執(zhí)行步驟

1）對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散

按問題的幾何特點(diǎn)和精度要求等因素劃分單元并形成網(wǎng)格，即將原來的連續(xù)體離散為在結(jié)點(diǎn)處相互聯(lián)結(jié)的有限單元組合體。

2）形成單元?jiǎng)偠染仃嚭偷刃ЫY(jié)點(diǎn)荷載列陣

單元?jiǎng)偠染仃嚨囊话惚磉_(dá)式為:

其中，B為應(yīng)變矩陣，D為材料彈性矩陣，為單元體積。

考慮到單元存在初應(yīng)力和初應(yīng)變,單元等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣的一般表達(dá)式為:

3）集成結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣

其中，PF為直接作用于結(jié)點(diǎn)的集中力。

4）引入幾何邊界條件

通常幾何邊界條件（變分問題中為強(qiáng)制邊界條件）的形式是在若干結(jié)點(diǎn)上給定場(chǎng)函數(shù)的值，即:

5）求解有限元方程，得到結(jié)點(diǎn)位移a

ε=Lu=Bae

6）計(jì)算單元應(yīng)變和應(yīng)力

ε=Bae

σ=D(ε-ε0)+σ0=DBae-Dε0+σ0

（7）進(jìn)行必要的后處理。

2 結(jié)論

1）用有限元進(jìn)行分析，可以很精確地得到各個(gè)截面的內(nèi)力和變形,為設(shè)計(jì)提供參考，這是傳統(tǒng)方法不容易做到的。

2）對(duì)于更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)方法需要做大量的簡(jiǎn)化，造成很大的近似，而有限元能輕松應(yīng)付，得出比較符合實(shí)際的結(jié)論。

[1]王勖成.有限單元法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2003

[2]曾攀編著.有限元分析及應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004