基于灰色理論的地下水埋深預(yù)測分析

李 亮,陳 剛,馬 峰

(中國地質(zhì)大學(xué)環(huán)境學(xué)院,湖北 武漢 430074)

華北平原是地面沉降發(fā)生嚴(yán)重的地區(qū)之一,而地面沉降發(fā)生的主要原因是由于對地下水的過度開采。地下水位的埋深與地面沉降之間有密切的聯(lián)系。通過預(yù)測地下水位的埋深可以為地面沉降的預(yù)測提供依據(jù),同時,通過預(yù)測結(jié)果和經(jīng)過地下水開采限制之后的實際埋深進(jìn)行比較,從而判斷采取措施后的效果。

1 灰色預(yù)測模型 GM(1,1)的建立

灰色系統(tǒng)理論建模的主要任務(wù)是根據(jù)系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù),找到因素本身或因素之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,從而了解系統(tǒng)的動態(tài)行為和發(fā)展趨勢。灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為：無規(guī)的離散時空數(shù)列是潛在的有規(guī)序列的一種表現(xiàn),因而通過生成變換可將無規(guī)序列變成有規(guī)序列。也就是說,灰色系統(tǒng)理論的建模實際上是對生成數(shù)列的建模,而不是像一般建模方法那樣采用原始數(shù)列直接建模。

灰色模型(Grey Model)簡稱 GM模型,是灰色系統(tǒng)理論的基本模型,它是以灰色模塊(所謂模塊式時間數(shù)列 X(m)在時間數(shù)據(jù)平面上的連續(xù)曲線或逼近曲線與時間軸所圍成的區(qū)域)為基礎(chǔ),以微分?jǐn)M合法而建成的模型。在灰色模型中,由預(yù)測值上界和下界所夾的部分稱為灰色平面(簡稱灰平面),這個灰平面的大小是由各個未來時刻預(yù)測值的灰區(qū)間所決定的。因此,它由原點(現(xiàn)在時刻)向未來時刻呈喇叭型展開,即未來時刻越遠(yuǎn),預(yù)測值灰區(qū)間就越大。這樣,模型對系統(tǒng)的刻劃將因時間的逐漸外推,而逐漸失真。為此,灰色系統(tǒng)理論提出了一系列調(diào)整和修正模型的方法,從而提高了模型的精度。

圖1 GM(1,1)模型建模框圖

GM(1,1)灰色模型是將離散的隨機數(shù)經(jīng)過一次累加生成算子(記為 1-AGO;Accumulating Generation Operation),弱化其隨機性,使平穩(wěn)性增加,得到較有規(guī)律的生成數(shù),然后建立白化式微分方程。解方程進(jìn)而建立模型。

設(shè)研究對象的原始數(shù)列為：

由于這種時間序列多為隨機的,不能直接處理,因此,對數(shù)列作一次累加生成算子(記作 1-AGO),即令

根據(jù)上式建立一個單序列的一階線性動態(tài)灰色預(yù)測模型：

記為 GM(1,1)模型,其相應(yīng)的微分方程為：

其 中 X∧(0)(1)=X∧(0)(0)

在建立模型前對數(shù)列 X(0)進(jìn)行準(zhǔn)光滑性檢驗,檢驗方程如下：

若對 t有 ρ(t)＜0.5,則其滿足準(zhǔn)光滑條件。

隨后檢驗數(shù)列 X(1)是否具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律,檢驗方程如下：

若對 t有 σ(1)(t)?[1,b],δ=b-1≤0.5,則準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律滿足,可對 X(1)建立 GM(1,1)模型,否則需繼續(xù)累加。

在建立模型后,還必須對模型進(jìn)行精度檢驗,其檢驗標(biāo)準(zhǔn)見表 1。

表1 模型精度等級檢驗表

從灰色預(yù)測方法原理可知,-a為發(fā)展系數(shù),主要控制系統(tǒng)發(fā)展態(tài)勢的大小,即反映預(yù)測的發(fā)展態(tài),;u為灰色作用量,其大小反映了數(shù)據(jù)變化的關(guān)系。其中：當(dāng) -a＜0.3時,GM(1,1)模型可用于中長期預(yù)測;當(dāng) 0.3＜-a＜0.5時,GM(1,1)模型可用于短期預(yù)測中長期預(yù)測慎用;當(dāng) 0.5＜-a＜1時,應(yīng)采用 GM(1,1)改進(jìn)模型,包括 GM(1,1)殘差修正模型;當(dāng) -a＞1時,不宜采用 GM(1,1)模型,可考慮其他預(yù)測方法。

2 灰色預(yù)測的特點及分類

灰色預(yù)測是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分,其具有預(yù)測模型不唯一;一般預(yù)測到一個區(qū)間,而不是一個點;預(yù)測區(qū)間的大小與預(yù)測精度成反比,而與預(yù)測成功率成正比等特點。

自該方法提出以來,在社會系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、工業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用.這些應(yīng)用包括灰色數(shù)列預(yù)測、年災(zāi)變預(yù)測、季節(jié)災(zāi)變預(yù)測、拓?fù)漕A(yù)測、殘差辨識預(yù)測、系統(tǒng)綜合預(yù)測等.這些類型的預(yù)測雖然各具特色,但就其本質(zhì)而言,都是灰色 GM(1,1)模型的拓廣,其基本方法是用指數(shù)曲線擬合原始點列,并由此對原始點列進(jìn)行預(yù)測,預(yù)測結(jié)果精度較高但也有些預(yù)測不符合實際情況。

3 地下水水位預(yù)測

依托于“華北平原地面沉降機理與模擬模型研究”項目,根據(jù)河北滄州市泊頭縣東辛店鄉(xiāng)水位觀測資料統(tǒng)計,得出1997～2002年滄州市泊頭縣地下水水位埋深是呈逐年加深的總趨勢,符合 GM(1,1)模型的要求,故使用 1997～2002年數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)(見表),并對未來 1年(2003年)的水位埋深進(jìn)行預(yù)測。

表2 1997年 ～2002年地下水年平均埋深 m

注：地面沉降每年是以毫米的速度發(fā)生,而地下水位的變化時以米來記,所以,由于地面沉降而使埋深值發(fā)生變化很小,可以忽略。

用 GM(1,1)模型對地下水水位埋深進(jìn)行預(yù)測。

由表知,1997年 ～2002年地下水水位埋深的原始時間序列

X(0)={6.66,8.30,9.48,10.58,10.37,11.50}

由(6.3)式得一次累加數(shù)據(jù)序列

X(1)={6.66,14.96,24.44,35.02,45.39,56.89}

對 X(0)進(jìn)行準(zhǔn)光滑檢驗,由式(6.11)得：

ρ(2)≈1.2470,ρ(3)≈0.6336, ρ(4)≈0.4331,ρ(5)≈ 0.2962,ρ(6)≈0.2534。由于當(dāng) t＞3時 ρ(t)＜0.5,所以準(zhǔn)光滑條件成立。

檢驗 X(1)是否具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律,

表3 準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律檢驗表

當(dāng) t＞3時,σ(1)(t)?(1,1.5),δ=0.5,所以滿足準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律,可建立 GM(1,1)模型。

對 X(1)作緊鄰均值生成。令

z(1)(t)=0.5x(1)(t)+0.5x(1)(t-1)

得Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),z(1)(4),z(1)(5),z(1)(6))=(10.804 9,19.692 8,29.721 9,40.199 0,63.087 9)

于是

求參數(shù) a和 u(使用 Excel和 MATLAB互相計算、檢驗得出)得：

a=-0.071 6,u=7.877 2

得到預(yù)測模型：

即 X(T)為 T年的預(yù)測水位,T為年份,T＞1997

X(T)=X(1)(t)-X(1)(t-1)

模型驗證與誤差分析。利用模型預(yù)測每年五灰含水層水位,并與每年實際水位進(jìn)行對比得出誤差檢驗表(見表)。

平均相對誤差為 0.03＜0.05,查模型精度等級檢驗表得：良,可知預(yù)測精度為二級。

表4 實際值與預(yù)測值對比及誤差檢驗表 m

與上預(yù)測過程中所得數(shù)據(jù)是使用 Excel和 MATLAB互相計算、檢驗得出。主要用MATLAB計算矩陣的乘積和逆,得 a?=(BTB)-1BTYN,即得矩陣元素 a和 u,也就是模型的參數(shù)。所得數(shù)據(jù)與灰色建模系統(tǒng)軟件[10]計算所得數(shù)據(jù)吻合,說明計算過程無誤,模型建立正確。而且預(yù)測精度較高,說明該模型適合地下水位埋深得預(yù)測。

4 結(jié)論

(1)灰色 GM(1,1)可以在數(shù)據(jù)較少的情況下進(jìn)行短期預(yù)測,預(yù)測精度較高、計算簡單、方法易行。但是進(jìn)行長期的預(yù)測時,其精度不能保證,所以預(yù)測時間不易過長,同時用最新的數(shù)據(jù)不斷的優(yōu)化、更新模型。

(2)地下水位的埋深與地下水的開采量和補充量有密切的關(guān)系,可以為地面沉降的預(yù)測提供依據(jù)和參考。在華北平原進(jìn)行地下水開采限制以來,地面沉降明顯變緩,地下水位埋深下降的速度也變緩。所以,灰色 GM(1,1)預(yù)測結(jié)果也可以與采取措施后的實際水位埋深進(jìn)行比較,從而清晰的看到所采取措施的效果。

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