雙斷級滑行艇的阻力回歸公式

沈小紅 吳啟銳 肖 笛 鄧愛民

中國艦船研究設計中心，湖北 武 漢 430064

雙斷級滑行艇的阻力回歸公式

沈小紅 吳啟銳 肖 笛 鄧愛民

中國艦船研究設計中心，湖北 武 漢 430064

本文以5艘雙斷級滑行艇模型的試驗數據為基礎，采用多元線性回歸的方法對試驗數據進行回歸分析，從而導出在不同斷級參數情況下雙斷級滑行艇的阻力回歸公式。通過相對誤差分析法驗證了回歸公式的精確性，并根據回歸的結果繪制成圖以供設計參考。

雙斷級滑行艇；多元線性回歸；阻力回歸公式；相對誤差分析法

1 引言

雙斷級滑行艇的主要優點是航速高、阻力小，而兩個斷級的幾何參數（斷級的縱向位置和高度）對其阻力性能的影響至關重要，由于各滑行面之間的干擾比較復雜［1］，因而斷級的確定主要還是依靠模型試驗，至今尚無一種有效的理論計算方法。本文將根據模型試驗所得到的試驗數據，用多項式回歸的方法［2－3］得到在不同斷級參數情況下雙斷級滑行艇的阻力公式。

本文將取5艘雙斷級滑行艇模型的試驗數據進行回歸分析，除了斷級參數以外，這些模型的主尺度完全相同。這些模型的編號及斷級參數值如表1所示。

表中，l1為斷級總長度；θ1為斷級角度 （任何縱剖線上兩個斷級下緣點與艇尾封板下緣點的連線在一條直線上［4］，此直線與基線的夾角即為斷級角度）；l2為前斷級長度；l3為后斷級長度；h為斷級高度（兩個斷級高度相等）。通過斷級總長度l1和斷級角度θ1這兩個因素應用幾何關系可求出前斷級長度l2、后斷級長度l3和斷級高度h的值，這樣就能將雙斷級艇的斷級參數從3個因素的變化轉化為兩個因素的變化。因此，本文所選取的試驗模型的斷級參數就是由斷級總長度l1和斷級角度θ1這兩個因素來確定的。

表1 模型的編號及對應的斷級參數值

2 多元線性回歸

設隨機變量y與非隨機變量之間有如下的p元線性回歸模型：

式中，β0、 β1、 …、 βp是p＋1 個待估參數；x1、 x2、…、xp是p個可以精確測量或可控制的一般變量；ε1、 ε2、…、 εN是 N 個相互獨立且服從同一正態分布N（0，σ）的隨機變量。這就是多元線性回歸的數學模型［5］。

采用最小二乘估計法可求出系數β0、β1、…和βp，而后可確定 y 與 x1、 x2、…、 xp之間的關系為：

y＝β0＋β1x1＋ β2x2＋ …＋ βpxp（2）

在上述過程中，尚需討論兩個方面的問題：一方面是線性相關關系的假設檢驗，以驗證y與x1、x2、…、xp之間確實存在線性關系；另一方面是回歸系數的假檢驗，以驗證每個因子x1、x2、…、xp對y的影響程度，剔除那些影響不顯著的因子，這就需要選擇“最優”的回歸方程［6］。

所謂“最優”回歸方程，就是包含所有對y影響顯著的變量而不包含對y影響不顯著的變量的回歸方程。選擇“最優”回歸方程的方法有幾種，本文將采用逐步回歸分析的方法來建立“最優”回歸方程。

逐步回歸分析的基本思想是將因子逐個引入。引入因子的條件是，該因子的偏回歸平方和經檢驗是顯著的。同時，每引入一個新因子后，要對舊因子逐個檢驗，將偏回歸平方和變為不顯著的因子剔除。采用上述方法，由于每一步都進行檢驗，因而保證了最后所得的方程中所有的因子都是顯著的。

3 雙斷級滑行艇的阻力回歸公式

下面將模型A1、A2和A3（這些模型具有相同的斷級總長度l1）作為一組進行回歸，再將模型A2、B2和C2（這些模型具有相同的斷級夾角θ1）作為一組進行回歸。

3.1 A1、A2 和 A3 阻力回歸公式

在回歸分析前，首先要將因變量和所有自變量進行無因次化［7］，各變量無因次化結果如下：

阻力無因次化：阻升比R／Δ；重心無因次化：xg／B（B為折角線平均寬度）；斷級長度 l1無因次化：l1／B。

斷級夾角θ1在實艇和模型中具有相同的角度，它們的幾何關系不會發生變化，故斷級夾角θ1無需進行無因次化。

以斷級夾角θ1、xg／B和動負荷系數CB為自變量，阻升比R／Δ為因變量，進行三元多項式回歸分析［8］，這樣可以把阻升比R／Δ的試驗數據在斷級夾角θ1、xg／B和動負荷系數CB3個方向上進行光順。故可設回歸多項式的表達式如下：

從繪出的試驗點草圖可以看出試驗曲線比較平緩，沒有出現拐點，則可取 n1＝n2＝n3＝2，即可將式（3）轉化為：

顯然，式（4）為一非線性表達式，為了能應用回歸的方法進行處理，可以采用變量替換的方法將其轉化為多元線性回歸表達式［9］。

本文所取試驗數據為：斷級夾角θ1取0.81°、1.11°、1.41°等 3 個值； xg／B 取 1.062 5、1.125 0、1.187 5 等 3 個值；動負荷系數 CB取 0.030 16、0.032 18、0.033 42、0.034 19、0.035 65、0.037 88、0.039 89、0.042 55、0.045 21、0.047 48、0.050 64、0.053 81、0.057 44、0.061 27、0.065 10 等 15 個值。形成的阻升比數據如表2所示。

表2 A1、A2和A3阻升比R／Δ 數據

根據逐步回歸的計算方法，應用Matlab編程計算可算得顯著變量回歸系數Lijk的值，其具體結果如表3。

表3 A1、A2和A3阻升比R／Δ 計算公式的Lijk值

3.2 A2、B2 和 C2 阻力回歸公式

按照回歸A1、A2和A3阻力公式的方法，同樣可以對A2、B2和C2阻力公式進行回歸，故可設其回歸多項式的表達式為：

采用變量替換的方法將式（6）轉化為多元線性回歸表達式的方法同上節內容，故在此不再贅述。 在本節所取的試驗數據中，l1／B 取 1.481 25、1.575 0、1.668 75 等 3 個值；xg／B 和動負荷系數 CB所取的值同上一節。同樣也形成了個數據，其阻升比R／Δ的數據如表4所示，應用Matlab編程計算所得的阻升比R／Δ計算公式的Lijk值如表5所示。

4 計算公式精確性分析

對于以上回歸的阻升比計算公式，還應分析其精確性。本文將采用相對誤差分析法［10］，從兩個方面來驗證以上回歸公式的精確性。首先從進行回歸的試驗數據中取出原始數據進行比較 （由于試驗數據太多，故只取小部分數據進行比較驗證），其比較結果如表6和表7所示；其次，由于模型 A3 在重心縱向位置 xg＝640 mm（即 xg／B＝1.0）時的試驗數據并沒有參加回歸，則可用此試驗數據與回歸公式計算結果進行比較，其比較結果如表8所示。

由以上分析結果可見，根據回歸計算公式所求得結果與原始試驗值非常接近。此外，如圖1～5所示，回歸曲線與試驗數值點具有良好的貼近性，由此，可以看出本文的回歸公式計算精度比較高。

表4 A2、B2和C2阻升比R／Δ 數據

表5 A2、B2和C2阻升比R／Δ 計算公式的Lijk值

表 6 A1、A2 和 A3 在 xg／B ＝ 1.575 時比較結果

表 7 A2、B2 和 C2 在 xg／B ＝ 1.575 時比較結果

表 8 A3 在 xg／B＝1.0 時比較結果

5 結 論

本文采用多元線性回歸中逐步回歸的計算方法，得出雙斷級滑行艇在不同斷級參數下的 “最優”阻力回歸公式，通過對計算值與試驗值的相對誤差分析，可以看出回歸所得的計算公式精度比較高，從而證明了根據試驗數據，采用回歸分析的方法得出雙斷級滑行艇的阻力計算公式是有效而可信的。本文所得的回歸公式可以為設計雙斷級滑行艇的斷級參數選擇提供一些理論依據。

［1］董祖舜.快艇動力學［M］.武漢：華中理工大學出版社出版，1991，4.

［2］周連第.多元回歸分析方法及在船舶科研設計中的應用［M］.北京：國防工業出版社，1979.

［3］譚仲楷.應用回歸分析方法估算圓艇舭阻力［J］.中國造船，1979，67（2）：14－29.

［4］夏翔.超高速斷級滑行艇推進系統工況配合特性的研究［J］.中國艦船研究，2008，3（2）：39－42.

［5］上海師范大學數學系.回歸分析及其試驗設計 ［M］.上海：上海教育出版社，1978.

［6］何志飛，邢圣德.滑行艇之最佳阻力［J］.江蘇船舶，1996，13（4）：1－4.

［7］郭亨翔，倪家俊，張蓓玉.當今世界優秀船型主要參數的回歸分析［J］.船舶設計通訊，2002（4）：12－31.

［8］ LAMMEREN W P A VAN，MANEN J D VAN，OOSTERVELD M W C.The wageningen B－screw series Trans［J］.Society of Naval Architects and Marine Engineer，1969（77）.

［9］陳賓康，趙成璧，洪安祥.船用組合舵水動力系數的回歸公式［J］.中國造船，1999，147（4）20－27.

［10］李紅.數值分析［M］.武漢：華中科技大學出版社，2003.

A Resistance Regression Formula for Double－stepped Planing Craft

Shen Xiao－hong Wu Qi－ruiXiao DiDeng Ai－min
China Ship Development and Design Center， Wuhan 430064， China

Based on the model test data of five double－stepped planing crafts， the multiple linear regression method was used to treat the test data and thus a resistance regression formula was obtained for the craft with different parameters of its double steps.Then， the accuracy of the regression formula was verified through the relative error analysis.Finally，the regression results were plotted in charts so as to be references for design.

double－stepped planing craft； multi－factor linear regression； resistance regression formula；relative－error analysis method

U661.3

A

1673－3185（2010）02－59－05

2009－04－16

沈小紅（1980－），女，碩士研究生。研究方向：船舶與海洋結構物設計制造。E-mail：shenxiaohong304＠163.com

吳啟銳（1965－），男，研究員，碩士生導師。研究方向：船舶與海洋結構物設計制造