微電容加速度計結構的熱固耦合拓撲優化

謝勇君，嚴冬松，陳煥遠，劉 浩，李景明

(暨南大學電氣自動化研究所，廣東 珠海 519070)

利用微機電系統 (Micro Electro Mechanical System，MEMS)技術生產的微機械加速度計，是一種以硅為主要材料的微加速度計，和傳統加速度計相比，微機械加速度計因具有體積小、成本低、可大批量生產等優勢，在航空航天、國防軍事、汽車工業及工業自動化等領域具有廣闊的應用前景。微加速度計按敏感原理的不同，可以分為：電容式、壓阻式、壓電式和隧道效應式，其中電容式微加速度計應用最為廣泛[1]。

微電容加速度計等MEMS器件，主要以硅作為制作材料，而且經常需在高溫環境中使用。由于硅材料是一種熱敏材料，當溫度變化時，會使微加速度計的結構發生變形，進而影響微加速度計工作的靜態和動態特性。因此，在微加速度計概念設計階段，就考慮溫度變化對結構拓撲的影響，設計出綜合性能最優的結構拓撲形式，使微加速度計受熱膨脹后，在加速度檢測方向的形變最小，對微加速度計工作性能和測量精度的提高，都具有重要意義。

結構拓撲優化，是一種創新設計方法和手段，處于產品的概念設計階段，采用拓撲優化方法進行結構設計，能夠顯著降低研發成本，提升產品性能。把連續體結構拓撲優化方法，用于微加速度計結構拓撲設計，在結構拓撲優化設計的迭代計算過程中，由于溫度場的不斷變化和重新分布，導致結構內部熱應力分布的變化，從而導致熱負荷的變化；熱負荷邊界條件的變化，又影響結構拓撲分布的改變；同時由于結構拓撲分布的變化，也會導致物體實際傳熱載體的變化；這又進一步影響溫度場的重新分布。因此，溫度場和結構拓撲形狀是一個相互影響和關聯的過程，兩者之間存在較強的交互耦合作用關系[2]。

本文建立了熱固耦合場結構的有限元控制方程，采用基于SIMP的伴隨矩陣求解技術，分析了熱固耦合場結構位移響應，對單元相對密度設計變量的敏度信息。基于SIMP材料插值模型，對叉指式微電容加速度計質量塊的結構進行拓撲優化，以質量塊受熱膨脹后，在加速度檢測方向的最大形變小于某一給定值為目標，以質量塊的體積比為約束條件，建立了質量塊結構熱固耦合拓撲優化模型，并采用優化準則算法進行優化迭代求解，得到了微電容加速度計質量塊的最優拓撲形式。

1 結構拓撲優化的材料插值模型

在拓撲優化中，材料插值模型是一切后續優化的基礎。常用的材料插值模型有：均勻化方法、變密度法、變厚度法等[3]。目前在工程拓撲優化問題中，用得比較多的是變密度法。變密度法插值模型主要有：SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization)材料插值模型和RAMP(Rational Approximation of Material Properties)材料插值模型。其中SIMP材料插值模型，能方便地獲得單元密度與彈性模量之間的關系，減少優化設計變量，簡化優化求解過程。

SIMP材料插值模型的思想和前提是：在離散單元內部的材料屬性為常數，設計變量定義為離散單元的相對密度，用xe來表達，設原始設計單元密度為ρ0，優化后單元密度為ρ，則存在關系式：ρ=xeρ0[4]。

其中，

ρ為懲罰權因子，其目的是對中間密度單元項進行懲罰，以減少結構中間密度單元的數目，使結構單元密度盡可能為0或1。

2 熱固耦合場的有限元控制方程

由于熱、結構耦合場分析中，一般不會發生幾何非線性、材料非線性等情況。因此結構場的計算采用線性有限元分析方法，沒有考慮材料的非線性行為。另外，假設結構場的變化不會影響材料的熱傳導屬性，熱力場為穩態熱傳導問題，因此，熱、結構的雙向耦合，就變成了熱—結構的單向耦合計算，簡化了計算過程。

將熱力場和結構場用有限元方法進行離散近似求解[2]，假設為平面應力模型，二維計算域離散為四節點四邊形單元，熱和結構系統分別可離散為以下兩個有限元方程：

其中，P、F分別代表熱載荷矢量和結構外載荷矢量，溫度場導致結構產生熱應變；

KT為結構熱傳導矩陣；

KU為結構剛度矩陣；

UT為溫度向量；

U為位移矢量；

系統矩陣和矢量均依賴于單對密度xe，系統矩陣由單元矩陣組成。

其中，he為單元熱對流系數矩陣。

3 熱固耦合場的敏度分析

其中，L為伴隨載荷矢量，該矢量除輸出自由度i位置處的分量值為1外，其他的載荷分量值都為0。

假設已用有限元方法求得熱力場和結構場問題。在線彈性結構的二維熱、固耦合場中，當結構離散為四節點四邊形單元時有：

由于伴隨矩陣矢量的取值無限制，為消除未知的位移敏度項，可令包含dU/dxe的項為零，即：

方程(8)等價于下面的伴隨載荷方程：

其中，α為結構熱膨脹系數向量，△T為溫度差，B為結構應變矩陣，D為結構彈性矩陣。

4 微電容加速度計結構熱固耦合拓撲優化

4.1 優化模型構建及其計算流程

叉指式微加速度計的基本結構如圖1所示，主要由質量塊、彈性梁、動指和靜指構成。圖1中x軸方向為加速度檢測方向，彈性梁、動指和靜指為非設計域，質量塊為設計域。微加速度計由室溫情況下進入較高溫度的工作環境時，由于材料的熱膨脹而產生熱負荷，結構在熱負荷的作用下產生變形和位移。設結構的溫度變化范圍為0~300℃，要求解在70%體積約束下，微電容加速度計質量塊受熱膨脹后，在加速度檢測方向的最大形變小于某一給定值，硅的熱傳導系數2.3×10-6/℃，楊氏模量為1.9×1011N/m2，泊松比為0.3，彈性梁的剛度為150 N/m，結構離散為100×40的四節點四邊形單元。

圖1 叉指式微加速度計的基本結構

質量塊結構熱固耦合拓撲優化模型可寫為：

式中，?*為結構受熱時加速度檢測方向最大形變的限制值，在本算例中，設其為25 nm。

目前用于連續體拓撲優化中的數值算法，包括優化準則法和數學規劃法。由于優化準則法推導過程簡單直觀，收斂速度快[5]，本文采用優化準則法，進行拓撲優化設計變量的更新和求解。結構熱固耦合拓撲優化的計算流程如圖2所示。

圖2 結構熱固耦合拓撲優化的計算流程

4.2 優化結果與分析

圖3 拓撲優化結果

圖3為叉指式微電容加速度計質量塊結構熱固耦合拓撲優化結果，圖4為目標函數迭代收斂曲線圖。可見，微加速度計在0~300℃環境溫度下工作時，其質量塊結構若采用圖3所示的拓撲形式，則質量塊在加速度檢測方向的最大形變僅為23.9 nm，小于最大形變的限制值(25 nm)。

圖4 目標函數迭代收斂曲線圖

5 結束語

計算結果表明，通過對熱固耦合結構拓撲優化中的耦合場結構有限元控制方程和敏度分析的深入研究和算法實現，基于連續體拓撲優化的SIMP材料插值模型，對叉指式微電容加速度計的質量塊結構進行熱固耦合場拓撲優化設計。在0~300℃環境溫度變化范圍和70%體積約束條件下，得到了叉指式微電容加速度計質量塊的最優拓撲形式。該拓撲形式的質量塊，在加速度檢測方向的最大形變僅為23.9 nm，小于該方向的最大形變限制值(25 nm)。從而在微加速度計概念設計階段，就考慮了溫度變化對結構拓撲的影響，為后續的結構形狀優化和尺寸優化設計提供可靠的依據。同時也為微電容加速度計結構的創新設計，提供一種有效的方法。

[1]王壽榮.硅微型慣性器件理論及應用[M].南京：東南大學出版社，2000.

[2]左孔天，錢 勤，趙雨東，等.熱固耦合結構的拓撲優化設計研究[J].固體力學學報，2005，26(4)：447-452.

[3]Bendsoe M P,Sigmund O.Topology optimization:theory,methods and applications[M].New York:Springer,2003.

[4]Sigmund O.Design of material structures using topology optimization:[PhD thesis].Denmark:Department of Solid Mechanics,Technical University of Denmark,1994.

[5]左孔天，陳立平，鐘毅芳，等.基于人工材料密度的新型拓撲優化理論和算法研究[J].機械工程學報，2004，40(12)：31-37.