各向異性介質(zhì)橢球內(nèi)電場(chǎng)的研究

李應(yīng)樂(lè)，王明軍，董群峰

（咸陽(yáng)師范學(xué)院，陜西 咸陽(yáng) 712000）

研究球類目標(biāo)體系的電磁散射特性及其應(yīng)用受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的普遍關(guān)注。單個(gè)各向同性球體目標(biāo)的內(nèi)外電場(chǎng)問(wèn)題已被很好解決[1—4]，在平面電磁波沿x 方向極化、z 方向傳播時(shí)介質(zhì)球和導(dǎo)體球目標(biāo)散射特性已有詳細(xì)的報(bào)道[3—5]，文獻(xiàn)[6]研究了球體目標(biāo)對(duì)任意入射、任意極化的平面電磁波的散射，文獻(xiàn)[7—9]利用尺度分析法和曲面坐標(biāo)系分別研究了平面電磁波沿x方向極化、z方向傳播時(shí)橢球目標(biāo)的電磁散射。同時(shí)，文獻(xiàn)[10]將高斯波束展為球矢量函數(shù)，利用Mie理論研究了高斯波束對(duì)雙層球形目標(biāo)的輻射俘獲力；文獻(xiàn)[11]采用了與文獻(xiàn)[10]大致相同的方法討論了球形目標(biāo)體系的高斯波束散射特性；Holler等[12—13]研究了球形目標(biāo)群對(duì)高斯激光脈沖的散射、吸收特性；金亞秋等[14—16]研究了分層隨機(jī)球體目標(biāo)群對(duì)平面波和高斯波束的散射等特性。然而有關(guān)各向異性介質(zhì)橢球目標(biāo)體系的電磁散射等研究還不盡人意，主要的困難是在各向同性條件下引入的有關(guān)輔助位函數(shù)在各向異性條件下不能成立，而且描述目標(biāo)的電磁參數(shù)張量因坐標(biāo)系的變化而變化。有研究表明，如果已知任意形體的各向異性目標(biāo)內(nèi)的電場(chǎng)[3]，那么該目標(biāo)的散射問(wèn)題已被確定。基于電磁場(chǎng)的多尺度變換理論，將各向異性橢球目標(biāo)重整為各向同性橢球目標(biāo)，可得出各向異性介質(zhì)橢球內(nèi)電場(chǎng)的解析表達(dá)式；對(duì)其正確性進(jìn)行了檢驗(yàn)，對(duì)介電常數(shù)張量、橢球形狀參數(shù)對(duì)球內(nèi)電場(chǎng)的影響進(jìn)行了仿真計(jì)算，結(jié)果為研究各向異性橢球目標(biāo)的瑞利散射特性提供了理論支持。

1 各向異性介質(zhì)橢球內(nèi)電場(chǎng)的研究

1.1 各向異性橢球的重建

設(shè)一個(gè)半長(zhǎng)軸分別為a，b，c 的各向異性介質(zhì)橢球，球心位于主坐標(biāo)系的原點(diǎn)，介電常數(shù)為：

橢球方程為：

式中：ε1，ε2，ε3為相對(duì)介電常數(shù)，無(wú)量綱。在主坐標(biāo)系中電勢(shì)u滿足方程：

對(duì)式（2）作如下變換：

引入新的尺度坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)參數(shù)為x′，y′，z′，與主坐標(biāo)系的坐標(biāo)參數(shù)的關(guān)系為：

將上式代入式（2）得電勢(shì)在尺度坐標(biāo)系中的微分方程：

在式（3）中利用了尺度坐標(biāo)系中的電勢(shì)u′與主坐標(biāo)系中的電勢(shì)u 相等這一特性（見文獻(xiàn)[8—9]）。式（3）表明：經(jīng)歷多尺度變換后，主坐標(biāo)系中各向異性的介質(zhì)目標(biāo)在尺度坐標(biāo)系中已被重建為各向同性的介質(zhì)目標(biāo)，從而使有關(guān)問(wèn)題的求解簡(jiǎn)化。重建后橢球方程式（1b）變?yōu)椋?/p>

1.2 各向異性介質(zhì)橢球內(nèi)電場(chǎng)的求解

設(shè)外電場(chǎng)強(qiáng)度在主坐標(biāo)系中的大小為E0，方位角為θ0，φ0。該電場(chǎng)在主坐標(biāo)系的主軸分量分別為：

由于在對(duì)目標(biāo)重整的過(guò)程中引入了新的坐標(biāo)，測(cè)量的4 個(gè)基本量之一長(zhǎng)度發(fā)生了變化，定義在主坐標(biāo)系中的電場(chǎng)強(qiáng)度大小在尺度坐標(biāo)系中必然發(fā)生改變；由文獻(xiàn)[8—9]主坐標(biāo)系中電場(chǎng)強(qiáng)度與尺度坐標(biāo)系中電場(chǎng)強(qiáng)度之間的關(guān)系，易求得在尺度坐標(biāo)系中外電場(chǎng)的分量為：

由文獻(xiàn)[2—3]可知，一個(gè)各向同性的相對(duì)介電常數(shù)為εra=εa/ε0的橢球目標(biāo)的內(nèi)電場(chǎng)與外電場(chǎng)的關(guān)系為：

適當(dāng)?shù)卣{(diào)換a′，b′，c′就可以得到E′y，E′z分量的表達(dá)式，形狀因子Ly，Lz，Lx，滿足Ly+Lx+Lz= ；式（8）是尺度坐標(biāo)系中橢球目標(biāo)內(nèi)部電場(chǎng)的表達(dá)式，在主坐標(biāo)系中橢球內(nèi)部的電場(chǎng)為：

同理可得：

式（11）和式（10）分別是各向異性橢球目標(biāo)內(nèi)部電場(chǎng)在不同方向的表達(dá)式，由此可得橢球內(nèi)部的總電場(chǎng)與外電場(chǎng)之間夾角β的余弦函數(shù)為：

當(dāng)橢球?yàn)楦飨蛲詸E球時(shí)，即ε1=ε2=ε3=εr，由εa的定義及式（5）可知：

εra=εr， a′=a， b′=b， c′=c

此時(shí)，式（11）和式（10）分別變?yōu)楦飨蛲詸E球目標(biāo)內(nèi)部電場(chǎng)在不同方向的表達(dá)式，與文獻(xiàn)[2—3]結(jié)果完全一致，以x分量為例，即：

當(dāng)a =b=c=R時(shí)，橢球?qū)⒆優(yōu)榍蛐文繕?biāo)，Lx變?yōu)椋?/p>

式（14）與現(xiàn)有文獻(xiàn)結(jié)果也完全一致。選擇橢球形體參數(shù)a=1 m，b=1.5 m 和c=2 m，部分仿真結(jié)果如下：圖1是外場(chǎng)方位角為θ0=π/6，φ0=π/4時(shí)總電場(chǎng)的大小隨介電常數(shù)張量的變化。介電常數(shù)張量元素越大，內(nèi)場(chǎng)越小。由于各向異性橢球的內(nèi)電場(chǎng)是外電場(chǎng)與附加電場(chǎng)的疊加，附加電場(chǎng)與外電場(chǎng)的方向相反，正比于極化強(qiáng)度矢量的大小，而極化強(qiáng)度矢量的大小正比于介電常數(shù)的大小。圖2所示為電場(chǎng)強(qiáng)度的大小隨入射角的變化，在φ0一定的條件下，總場(chǎng)隨θ0的變化呈現(xiàn)出非線性，在θ0=π/2 時(shí)達(dá)最大值。在θ0一定的條件下，隨φ0的增大而減小，這是由于當(dāng)方位角θ0=π/2，φ0=0外電場(chǎng)在坐標(biāo)軸z方向上的分量最小，而該方向的介電常數(shù)又最大，從而導(dǎo)致總的極化強(qiáng)度矢量最小。由此可以推出：當(dāng)外電場(chǎng)與某一坐標(biāo)軸重合時(shí)，各向異性橢球的內(nèi)場(chǎng)將達(dá)到極值分布。圖3為各向異性橢球內(nèi)部電場(chǎng)的方向與外電場(chǎng)方向之間的夾角隨介電常數(shù)張量的變化。顯然，介電常數(shù)越大，它們之間的夾角也越大，但最大值不會(huì)超過(guò)2°；由于介質(zhì)是各向異性介質(zhì)，介電常數(shù)越大，介質(zhì)極化后產(chǎn)生的電偶極矩越大，產(chǎn)生的附加電場(chǎng)越大，從而對(duì)總場(chǎng)方向的改變也越大。圖4表明：夾角β隨外電場(chǎng)方位角的變化而變化，但變化范圍較小，在近似計(jì)算中可以認(rèn)為夾角β不隨外電場(chǎng)方位角的變化而變化。但是夾角β隨外電場(chǎng)方位角的變化而變化也表明了目標(biāo)的電磁各向異性特性。

2 結(jié)論

圖1 電場(chǎng)強(qiáng)度隨介電常數(shù)張量的變化Fig.1 The change of electric field with dielectric constant tensor

圖2 電場(chǎng)強(qiáng)度隨入射角的變化Fig.2 The change of electric field with incident angle

圖3 夾角β隨介電常數(shù)張量的變化Fig.3 The change of angle β with dielectric constant tensor

圖4 夾角β隨入射角的變化Fig.4 The change of angle β with incident angle

研究了外電場(chǎng)中一個(gè)各向異性的介質(zhì)橢球目標(biāo)內(nèi)電場(chǎng)的分布規(guī)律；從電磁場(chǎng)的多尺度變換理論出發(fā)，對(duì)各向異性橢球目標(biāo)的電磁參數(shù)和形體進(jìn)行重整，得出了各向異性介質(zhì)橢球內(nèi)電場(chǎng)的解析表達(dá)式，將所得結(jié)果退化到各向同性介質(zhì)中時(shí)，與文獻(xiàn)所得結(jié)果完全一致。計(jì)算了橢球內(nèi)電場(chǎng)方向與外電場(chǎng)方向的夾角，仿真計(jì)算了入射場(chǎng)方位角、各向異性介質(zhì)電參數(shù)對(duì)橢球內(nèi)電場(chǎng)方向與大小的影響，結(jié)果表明：入射電場(chǎng)的方向?qū)E球內(nèi)電場(chǎng)的大小和方向影響不大，介電常數(shù)對(duì)橢球內(nèi)電場(chǎng)的方向和大小有較大的影響。由于許多目標(biāo)都呈現(xiàn)出電磁各向異性，因此所得結(jié)果為研究目標(biāo)Rayleigh 電磁散射等奠定了理論基礎(chǔ)。

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