光學偶極阱中銣原子5S1/2及5P3/2態的AC Stark頻移

成永杰，邱 英，何 軍，張天才，王軍民

（山西大學光電研究所，量子光學與光量子器件國家重點實驗室，山西太原030006）

光學偶極阱中銣原子5S1/2及5P3/2態的AC Stark頻移

成永杰，邱 英，何 軍，張天才，王軍民

（山西大學光電研究所，量子光學與光量子器件國家重點實驗室，山西太原030006）

基于二能級模型和多能級模型，分析計算了由強聚焦高斯光束形成的光學偶極阱中87Rb原子5S1/2態和5P3/2態的AC Stark頻移。基于多能級模型，針對在852 nm高斯激光束強聚焦所形成的87Rb原子遠失諧光學偶極阱中進行偏振梯度冷卻的情形，計算了冷卻循環躍遷（5S1/2F=2-5P3/2F′=3）的頻移量，結果顯示頻移對molasses冷卻過程產生了重要的影響。同時，計算了5S1/2｜F=2，mF=±2〉態和5P3/2｜F′=3，mF=±3〉態的AC Stark頻移隨光學偶極阱激光波長的變化情況，發現在紅失諧情況下，對于87Rb原子5S1/2-5P3/2態躍遷不存在魔數波長。

87Rb；AC Stark頻移；光學偶極阱；遠失諧光學偶極阱；多能級模型

1 引 言

20世紀90年代以來，激光束調諧到低于原子共振躍遷線十幾納米到幾十納米甚至更遠，可形成遠失諧光學偶極阱（FORT）［1～3］，因其可以對激光預冷卻的原子在實現俘獲的同時仍保持極低的光學激發，原子的內態可以保持很長的時間，且可對不同自旋態的原子進行俘獲，所以被廣泛應用于冷原子物理實驗中。光學偶極阱的本質是空間存在光強梯度的光場使中性原子產生感生電偶極矩，光場對原子感生電偶極矩的偶極作用導致原子能態的AC Stark頻移，從而對原子產生吸引或者排斥作用，實現對原子的俘獲。

AC Stark頻移的大小由輻射場的強度以及輻射場與原子躍遷頻率的失諧量決定。如果只是關心光學偶極阱深度，只需要計算基態的AC Stark頻移，無需再關注激發態的AC Stark頻移。然而在量子態工程和精密測量實驗中［4～6］，往往要求將原子有效地俘獲并準確地制備到一個內部和外部自由度都確定的量子態。無論是原子冷卻、原子初態制備還是原子內態操控，都需要光與原子有確定的失諧量或者與原子共振，這就要求確切知道原子基態和激發態在FORT中的AC Stark頻移。1999年Katori等人［5］利用鍶原子的魔數波長（magic wavelength）實現了鍶原子在光學偶極力阱中的有效裝載。所謂魔數波長指的是如果某個波長的FORT光場作用在相應的原子躍遷線上時，使得對應的基態和激發態產生完全相同的頻移，對應的躍遷頻率與在零場時的情形相同，那么該波長就稱為原子的魔數波長。McKeever等人［6］于2003年在光學腔中采用935 nm魔數波長駐波光學偶極阱實現了對單個銫原子長時間的俘獲。2005年Darquie等人［7］在仔細計算了銣原子各能態的AC Stark頻移后，在實驗中實現了基于單原子遠失諧光學偶極阱的觸發式單光子源。由此可見，對原子基態和激發態AC Stark頻移的準確計算是實現對原子的冷卻以及原子初態制備和量子態相干操控的關鍵。

對AC Stark頻移的計算，很多人都做了重要的工作。Zheng等人［8］于2006年計算了銫原子6S1/2態和6P3/2態的AC Stark頻移，并分析了在不同偏振光場下銫原子的魔數波長。Bindiya Arora等人［9］于2007年全面地分析和計算了堿金屬原子的魔數波長。

本文分析計算了在線偏振光作用下87Rb原子5S1/2態和5P3/2態的AC Stark頻移，并用多能級模型和二能級模型做了計算。結果表明，基態5S1/2和激發態5P3/2的AC Stark頻移在兩種模型下有很大差異。通過對FORT中87Rb原子基態和激發態的AC Stark頻移的準確計算，可為后續在FORT中對所俘獲的87Rb原子進行molasses冷卻提供參考，也可為下一步原子初態制備以及原子的內態相干操控，最終實現單光子源提供有益的參考。

2 理論模型

最簡單的光學偶極阱可由一束相對于原子紅失諧（負失諧）的高斯激光束經強聚焦而構成，可將已經過磁光阱預冷卻的原子俘獲在光強最強處，如圖1（a）所示。在實驗中采用一束直徑為19 mm的852 nm高斯激光束通過特殊設計的大數值孔徑的透鏡組，最終將激光束聚焦到腰斑半徑為2.1μm（如圖1（b）所示），構建對于87Rb原子的光學偶極阱。對于經單原子磁光阱冷卻并俘獲的單原子［10］，可通過這個系統將其俘獲在腰斑半徑為2.1μm的光學偶極阱中，實現單原子的空間高度局域化，從而能夠更好地控制單原子的外部和內部自由度；且因為俘獲光的頻率遠失諧于原子的躍遷線，所以抑制了原子的自發輻射，能保持長的退相干時間［11］。

通常計算AC Stark頻移時，將原子簡化成二能級模型［1］，用經典諧振子模型得到偶極勢和散射率的表達式分別為：

事實上，用二能級模型對原子基態和激發態AC Stark頻移的計算是不準確的，如實驗中使用的87Rb原子（如圖2所示），其｜1〉態（5S1/2態），｜2〉態（5P3/2態）和｜3〉態（7S1/2態）在對780 nm的｜1〉-｜2〉躍遷和741 nm的｜2〉-｜3〉躍遷均為負失諧的852 nm俘獲光場作用下的AC Stark頻移。用二能級模型，不考慮｜3〉態時，｜1〉態的AC Stark頻移為負，｜2〉態的AC Stark頻移為正；不考慮｜1〉態時，｜2〉態的AC Stark頻移為負，｜3〉態的AC Stark頻移為正。若綜合考慮二者，｜2〉態的AC Stark頻移可能為正、負甚至為零，具體的情況需要仔細進行分析計算。

對于堿金屬原子基態，均存在D1線（n S1/2-n P1/2躍遷）和D2線（n S1/2-n P3/2躍遷），為更精確地計算基態的AC Stark頻移，Grimm等人［1］提出了修正的二能級模型，考慮了D1線和D2線對俘獲光場的響應，具體的表達式為：

其中p為俘獲光的偏振參數（p=0表示線偏振，p =-1表示左旋圓偏振，p=＋1表示右旋圓偏振），Δ1，F和Δ2，F分別為俘獲激光相對于D1線和D2線的失諧量，gF為Lande因子。

多能級模型是現在所有模型中最準確的。根據二階微擾理論，與頻率為ω/2π、偏振為p、光強為I（r）的擾動場作用的具有能量Ei和塞曼子能級mi的原子態｜i〉的能量改變為：

其中誘導極化率等于所有具有愛因斯坦系數Aki、塞曼能級m′和躍遷頻率vik=ωik/2π的從態｜i〉到態｜k〉的偶極躍遷的和，對于87Rb原子，考慮到它的核自旋I=3/2，所以誘導極化率表示為［8］：

Aki系數和躍遷頻率可以由原子數據庫中獲得［12］。

3 計算結果與分析

3.1 上能態對AC Stark頻移的修正

在輻射場的作用下，原子的能級會產生AC Stark頻移。首先，我們計算了銣原子5S1/2｜F= 2，mF=±2〉基態在腰斑半徑為2.1μm的852 nm線偏振偶極俘獲光作用下分別在二能級、修正二能級和多能級下AC Stark頻移隨俘獲光功率的變化趨勢。對于5S1/2｜F=2，mF=±2〉態，多能級模型計算中考慮的躍遷線如圖3（a）所示。計算結果如圖4（a）所示，曲線1）是二能級模型計算的結果，曲線2）是修正二能級模型計算的結果，曲線3）是多能級模型計算的結果。從圖中可見，二能級模型與多能級存在較大的差別，修正二能級模型與多能級模型差別不大，它們之間的差別隨著偶極俘獲光強的增加而增大。

本文還計算了5P3/2F′=3態各個Zeeman子能級在腰斑半徑為2.1μm的852 nm線偏振俘獲光作用下分別在二能級和多能級下AC Stark頻移隨俘獲光功率的變化趨勢。對于5P3/2超精細態，多能級模型計算中考慮的躍遷線如圖3（b）所示。計算結果如圖4（b）所示，曲線1）是二能級模型計算的結果，曲線2）～5）分別對應5P3/2F′=3的各個Zeeman子能級采用多能級模型計算的結果。從圖中可見，結果中5P3/2｜F′=3，mF=＋1〉和5P3/2｜F′=3，mF=-1〉是相同的，同樣的對5P3/2｜F′=3，mF=±2〉、5P3/2｜F′=3，mF=±3〉也有相同的結論，對激發態利用二能級模型和多能級模型計算出的結果有很大的偏差，當偶極俘獲光功率為15 mW時，二能級和多能級模型相差達到了20 MHz，它們之間的差別隨著偶極俘獲光強的增加而增大。對激發態5P3/2F′=3各個Zeeman子能級，彼此之間的差別很小。

綜上所述，對光頻移的計算有二能級、修正二能級和多能級3種模型，在修正二能級模型下對基態的計算與多能級模型差別不大，但二能級和多能級模型對激發態和激發態的計算結果則有較大的差別。

3.2 852 nm光學偶極阱中對87Rb原子進行molasses冷卻時的失諧量被俘獲在光學偶極阱中的原子，在近共振激光的作用下以及與背景氣體碰撞時，原子必然會被加熱，嚴重時可能逃脫光學偶極阱的束縛。這個問題的一個可能的解決方案就是對光學偶極阱中俘獲的冷原子進行molasses冷卻，以期降低光學偶極阱中俘獲的冷原子的溫度［7］。這種方法對在基于單原子光學操控的單光子源以及基于一維光學晶格中的原子鏈的量子寄存器等研究都有重要意義［13］。由于存在AC Stark頻移，原子的共振頻率發生變化。因此，本文計算了功率為15 mW的852 nm線偏振高斯光束聚焦到腰斑半徑為2.1μm的偶極阱中，87Rb原子5S1/2｜F=2，mF=±2〉和5P3/2｜F′=3，mF=±3〉態的AC Stark頻移。計算中考慮的躍遷線如圖3所示，計算結果如圖5所示。圖中ωL為molasses冷卻光的頻率，負失諧于5S1/2｜F=2，mF=±2〉-5P3/2｜F′=3，mF=±3〉冷卻循環躍遷；左邊為零場時的情形，右邊為存在光學偶極阱的情形；因為Udip=kBT= hν，所以圖 5中基態的阱深用溫度表示為1.0 mK，此時偶極力阱對應的徑向的捕獲頻率為29.5 kHz，軸向的捕獲頻率為2.7 kHz。由于AC Stark頻移的存在，導致molasses冷卻光對于冷卻循環躍遷的負失諧量明顯發生變化。在優化molasses冷卻過程時，需考慮AC Stark頻移。

3.3 光學偶極阱的激光波長變化時87Rb原子5S1/2態和5P3/2態的AC Stark頻移

圖6（a）表示的是當功率為15 mW的線偏振高斯光束強聚焦到腰斑半徑為2.1μm，激光波長在500～1 000 nm變化時，87Rb原子5S1/2｜F=2，mF=±2〉態的AC Stark頻移的計算結果。圖6（b）表示的是在相同條件下87Rb原子5P3/2｜F′= 3，mF=±3〉態的AC Stark頻移的計算結果。計算中考慮的躍遷線如圖3所示。圖中每一個躍遷線處都是一個奇點，對應的頻移量是發散的。因為計算時選取波長為500～1 000 nm，所以圖6（a）中只對應5S1/2｜F=2，mF=±2〉態的兩個發散點，780.24 nm對應5S1/2-5P3/2躍遷，794.98 nm對應5S1/2-5P1/2躍遷。因為計算時波長取為500～1 000 nm，且6S1/2、7S1/2、8S1/2、9S1/2與5P3/2｜F′= 3，mF=±3〉態之間的躍遷為禁戒躍遷，所以圖6（b）中只對應5P3/2｜F′=3，mF=±3〉態的6個發散點，572.57和572.62 nm分別對應5P3/2-7D5/2和5P3/2-7D3/2躍遷（圖中二者靠得很近，幾乎不可分辨），630.01和630.10 nm分別對應5P3/2-6D5/2和5P3/2-6D3/2躍遷（圖中二者靠得很近，幾乎不可分辨），775.98和776.16 nm分別對應5P3/2-5D5/2和5P3/2-5D3/2躍遷（圖中二者靠得很近，幾乎不可分辨）。圖6中的圓點對應852 nm光學偶極的情況，對基態和激發態，其結果與圖5中的結果是相符合的。

4 結 論

本文中介紹了采用多能級模型計算87Rb原子5S1/2和5P3/2態的AC Stark頻移的方法和計算結果，計算結果表明，多個上能態的存在對頻移量的影響不可忽略。此外，還計算了在光學偶極阱中對所俘獲的87Rb原子進行molasses冷卻時，由于5S1/2和5P3/2態的AC Stark頻移所導致的冷卻光失諧的變化量。同時發現，在紅失諧情況下，對于87Rb原子5S1/2-5P3/2態躍遷不存在魔數波長。

對于單光子源、光與原子強相互作用、量子態工程和精密測量等方面的研究工作，都需要對原子在光學偶極阱中的AC Stark頻移進行精確計算。因此，本文對于深入理解AC Stark頻移和指導下一步基于單原子操控的單光子源的實驗研究工作是很有意義的。

［1］GRIMM R，WEIDEMULLER M，OVCHINNIKOV Y B.Optical dipole traps for neutral atoms［J］.Adv.At.Mol.Opt.Phys.，2000，42：95-170.

［2］MILLER JD，CLINE R A，HEINZEN D J.Far-off-resonance optical trapping of atoms［J］.Phys.Rev.A，1993，47（6）：4567-4570.

［3］KUPPENSS JM，CORWIN K L，MILLER KW，et al..Loading an optical dipole trap［J］.Phys.Rev.A，2000，62（1）：013406.

［4］YE J，KIMBLE H J，KATORIH.Quantum state engineering and precisionmetrology using state insensitive light traps［J］.Science，2008，320（5884）：1734-1738.

［5］KATORIH，IDO T，KUWATA-GONOKAMIM.Optimal design of dipole potentials for efficient loading of Sr atoms［J］.J.Phys.Soc.Jpn.，1999，68（8）：2479-2482.

［6］MCKEEVER J，BUCK JR，BOOZER A D，etal..State-insensitive cooling and trapping of single atoms in an optical cavity［J］.Phys.Rev.Lett.，2003，90（13）：133602.

［7］DARQUIE B，JONESM P A，DINGJAN J，et al..Controlled single-photon emission from a single trapped two-level atom［J］.Science，2005，309（5733）：454-456.

［8］ZHENG Y N，ZHOU X J，CHEN JB，et al..Magic wavelength for caesium transition line 6S1/2-6P3/2［J］.Chinese Phys.Lett.，2006，23（7）：1687-1690.

［9］ARORA B，SAFRONOVA M S，CLARK CW.Magic wavelengths for the np-ns transitions in alkali-metal atoms［J］.Phys.Rev.A，2007，76（5）：052509.

［10］WANG J，HE J，QIU Y，et al..Observation of single neutral atoms in a large-magnetic-gradient vapor-cellmagneto-optical trap［J］.Chinese Phys.B，2008，17（6）：2062-2065.

［11］HE J，WANG J，YANG BD，etal..Single atoms transferring between amagneto-optical trap and a far-off-resonance optical dipole trap［J］.Chinese Phys.B，2009，18（8）：3404-3408.

［12］KURUCZ R L，BELL B.Atomic line data［EB/OL］.（2001-01-01）［2010-01-11］http：//www.cfa.harvard.edu/amp/ampdata/kurucz23/sekur.htm l.

［13］邱英.光學晶格中原子的冷卻及原子能態的光頻移研究［D］.太原：山西大學，2008.QIU Y.Investigation of cooling of cesium atoms in 3D optical lattice and light shift of atomic energy level［D］.Taiyuan：Shanxi University，2008.（in Chinese）

Calculation of AC Stark shift of 5S1/2and 5P3/2states of Rb atom s in optical dipole trap

CHENG Yong-jie，QIU Ying，HE Jun，ZHANG Tian-cai，WANG Jun-min
（State Key Laboratory of Quantum Optics and Quantum Optics Devices，Institute of Opto-electronics，Shanxi University，Taiyuan 030006，China）

Based on the two-level and multi-levelmodels，the AC Stark shift of the 5S1/2and 5P3/2states of87Rb atoms in an Optical Dipole Trap（ODT）formed by a strongly-focused single Gaussian laser beam is analyzed and calculated.For performance ofmolasses cooling of87Rb atoms in the Far-off-resonance Trap（FORT）by 852 nm Gaussian laser beam，the AC Stark shift of 5S1/2F=2-5P3/2F′=3 cycling transition for cooling is also calculated，results show that the frequency shift has an important impact on themolasses cooling process.Furthermore，the AC Stark shift of87Rb 5S1/2｜F=2，mF=±2〉and 5P3/2｜F′=3，mF=±3〉states versus the wavelength of the ODT laser is analyzed，which shows that there is no magic wavelength for 5S1/2-5P3/2transition of87Rb atoms in the red-off-resonance condition.

87Rb；AC Stark shift；Optical Dipole Trap（ODT）；Far-Off-Resonance Trap（FORT）；multi-level model

O431.2；O562.1

：A

1674-2915（2010）02-0119-07

成永杰（1985—），男，山西高平人，碩士研究生，主要從事冷原子與光場相互作用方面的研究。

E-mail：cyj229＠163.com

2010-01-11；

2010-03-13

國家重大研究計劃資助項目（2006CB921102）；教育部新世紀優秀人才支持計劃資助項目（NCET-07-0524）；國家自然科學基金資助項目（60978017，10974125，60821004）；高等學校博士點專項科研經費資助項目（20070108003）

王軍民（1967—），男，山西河曲人，博士生導師，主要從事量子光學、冷原子物理、激光技術、光物理等方面的研

究和教學工作。E-mail：wwjjmm＠sxu.edu.cn