平行光管主反射鏡組件的非線性有限元分析

辛雪軍，陳長征，張星祥，許艷軍，任建岳

（1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130033；2.中國科學院研究生院，北京100039）

平行光管主反射鏡組件的非線性有限元分析

辛雪軍1，2，陳長征1，張星祥1，許艷軍1，任建岳1

（1.中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130033；2.中國科學院研究生院，北京100039）

為了提高對光學儀器中光機結構分析的精度，引入了非線性分析方法，用非線性有限元法研究了某平行光管主鏡組件存在的非線性問題。介紹了產生結構非線性的主要來源，并在接觸理論的基礎上對主反射鏡組件進行了合理的有限元建模。采用接觸非線性分析方法對螺釘預緊時反射鏡的響應及在自重和溫度載荷作用下反射鏡的變形進行了分析。將線性和非線性分析結果與實際結果進行了對比，結果表明，采用接觸非線性分析方法對反射鏡組件進行工程分析減小了分析誤差。因此，在工程分析中，對某些接觸部位采用非線性分析方法可以提高分析精度，得到的結果更加符合實際。

平行光管；主反射鏡；接觸；非線性分析；有限元分析

1 引 言

工程分析技術在光學儀器的光機結構設計中發揮著不可替代的作用，分析模型簡化的合理性直接影響最后結果的可信性，分析精度的高低直接影響整個任務的成敗。實踐證明，合理有效的工程分析對于縮短設計的研制周期、降低研制成本等起著至關重要的作用。大型平行光管中，較多使用的是反射系統，其中主反射鏡是光管的關鍵部件，主反射鏡面形的好壞直接影響光管的成像質量。根據瑞利條件，當鏡面的變形量為λ/8時，人眼即可觀察出對光學系統像質的影響，即反射鏡表面有微小的變形都會引起成像質量的變化。在反射鏡結構系統分析過程中會涉及到一些明顯的接觸問題，以往的工程分析常常將這些問題近似地看作線性問題來處理，但工程實驗發現，有些反射鏡的面形精度與工程分析所得到的分析結果差異很大。即使實驗使用相同的支撐結構，環境因素也相同，但反射鏡在同一方向上的兩個不同矢量上面形精度并不相同，有時已經影響到其使用要求。（即重力沿同一坐標軸正、負兩個方向分別作用的工況下，面形精度并不相同，而根據光學儀器的安裝工藝、加工工藝和使用狀態的要求，兩個矢量方向上面形精度應相同或只允許存在極小的誤差）。就目前的線性工程分析而言，所得到的結論通常為兩個矢量方向上面形精度相同，所以工程分析結果與實驗結果存在較大的誤差［1～4］。為了提高分析精度，本文引入了非線性分析方法，針對某平行光管主鏡組件中存在的非線性問題進行了論述，并進行了非線性分析。

2 非線性問題描述

線性分析的基本原理是如果剛度變化足夠小，則可以假定在變形過程中形狀或材料屬性沒有任何變化。這就意味著在線性分析中，結構的柔度矩陣只需計算一次，其他載荷情形下，結構的線性響應可通過將柔度矩陣與新的載荷向量相乘得到。而非線性結構問題［5］是指結構剛度隨其變形而改變的問題。在非線性工程分析中，由于剛度依賴于位移，所以不能夠再用初始的柔度乘以外加載荷的方法來計算任意載荷下的結構變形，結構的剛度陣在整個分析過程中必須進行多次的生成和求逆，這就使得分析求解的成本比線性分析高得多。所以在實際的工程分析中應該采用以線性分析為主，以非線性分析為輔的分析策略。

2.1 結構非線性的來源

在結構力學模擬中有3種非線性的來源。

（1）材料非線性：主要是指應用的材料特性隨溫度、變形等的變化而變化，造成求解的復雜性；

（2）邊界條件非線性：指邊界條件在分析過程發生變化，產生邊界條件非線性問題。如反射鏡組件結構中螺釘預緊及由于重力或溫度載荷作用下而造成接觸條件發生變化的問題就屬于邊界條件非線性問題；

（3）幾何非線性：主要發生在位移的大小影響到結構響應的情形。

平行光管中主反射鏡是一種精密的光學儀器，光學元件要求變形很小且結構中各元（部）件相對位移較小，不會引起材料非線性和幾何非線性的問題，存在的主要問題是由于接觸所帶來的邊界條件的非線性問題。

2.2 接觸理論基礎

接觸理論［6，7］是研究物體之間通過接觸而實現力的傳遞的一種分析方法。接觸模擬的一般目的是在已知初始接觸狀態條件下，對接觸體系施加一定外載荷，確定接觸面積及計算所產生的接觸壓力。在有限元中，接觸條件是一類特殊的不連續約束。因此，分析方法必須能夠判斷什么時候兩個表面是接觸的，并且能應用相應的接觸約束。與此類似，分析方法還必須能判斷什么時候兩個表面是分開的，并能解除其約束。

圖1所示為平面應變狀態的兩個物體Ω1和Ω2在單一方向外載荷P（法向表面載荷）的作用下產生法向接觸應力的情況。首先做如下假設：

（1）兩物體材料均為各向同性；

（2）接觸表面光滑，忽略切向摩擦；

（3）小變形，且在變形過程中接觸點對始終一一對應；

（4）單調加載，即加載過程中無卸載情況。

在初始接觸區及其周圍將Ω1和Ω2離散成接觸點對，如圖1中的1，2，……，n。這樣處理可以用離散的接觸節點接觸力來代替外載荷作用下的分布壓力。接觸區的任一點k在變形后必須滿足彈塑性變形與初始距離之和大于或等于剛體位移量。其數學表達式為：式中：ε0k是k點對的初始間距；u1k和u2k分別是兩物體在k點的彈塑性位移；α是剛體的位移量；εk是物體剛體位移和彈塑性變形后k點對的間距。

將可能接觸的點對加載后的間距寫成矩陣形式，即：

式中｛e｝為單位列矢量。

由矩陣位移法原理可知，｛u1｝=［F1］｛R1｝，｛u2｝=［F2］｛R2｝。其中［F1］和［F2］分別為物體Ω1和Ω2對應于可能接觸的點的柔度矩陣，它們是由材料的性質決定的，可以從表征材料應力水平的相當總剛度求逆得出；｛R1｝和｛R2｝為接觸點應力，并有｛R1｝=-｛R2｝。若以Ω1為基準，記｛R1｝=｛R｝，［F1］＋［F2］=［F］，則可得到典型的接觸問題的位移協調方程，即｛ε｝=｛ε0｝＋［F］｛R｝-α｛e｝。

由于作用在各分散點上的力Fk的和必須等于法向外載荷P，所以平衡條件可寫作。同時，對可能接觸區的各節點來說，只有接觸時才存在接觸力，即：

式（3）稱為接觸準則。這樣，接觸問題就是求一組解，使它滿足上述條件。

在分析螺釘聯接的結構時（如在重力的作用下變形問題），線性與非線性分析方式的處理方法是不同的，在通常線性模擬中一般可以用MPC（多點約束）模擬螺釘聯接方法來處理，這就忽略了各個接觸面之間可能存在的相對滑移和分離的可能，同時也忽略了螺釘聯結所存在的預緊力載荷。這種算法除相互聯接的節點以外，其他的節點并沒有參與兩體之間的直接關系，因而也無法考慮接觸應力問題。對于熱彈性問題，采用線性分析時，接觸面不能分離，而在實際狀態是可能存在的，這就造成不真實的模擬，從而產生分析誤差。在復雜結構受熱載荷作用下，線性簡化的分析精度就更低。因此，對于精度要求較高的反射鏡組件，應采用非線性方法來提高分析精度。

3 系統分析

本文以平行光管主反射鏡組件為研究對象，對其在重力載荷和溫度載荷作用下進行非線性有限元分析，并將分析結果與采用線性分析方法得到的結果進行對比。根據以往工程實踐經驗，采用非線性分析方法得到的結果誤差較小。

3.1 模型的建立

圖2是主反射鏡組件的裝配圖。反射鏡支撐方式采用圓周支撐，反射鏡安裝在鏡框中，并用壓板將反射鏡上端邊緣固定，用螺釘將鏡框與平行光管主體連在一起。反射鏡材料采用的是SiC并經過輕量化設計，輕化率在65％以上，主鏡框采用了高體份Al/SiC，壓板和螺釘材料采用了TC4，其特性參數如表1所示。

在圖2的基礎上建立主反射鏡組件的有限元模型如圖3所示，對其中固定壓板的6處螺釘聯接部位采用接觸非線性算法進行分析。模型主要采用一階減縮積分單元，只在重點受力部位采用二次減縮積分單元，同時對一階減縮積分單元引入一個小量的人工“沙漏剛度”以限制沙漏模式的擴展。對主反射鏡進行分析時，盡可能地采用六面體單元，模型復雜部位適當地采用了楔形單元，以增加過渡的連續性和協調性。螺釘網格細致劃分，進行接觸分析時采用非協調單元，并細化網格，使其扭曲減至最小。

3.2 非線性有限元分析

非線性分析的邊界條件如下：

1）鏡框與外界的接口處采用固定連接。

2）接觸面屬性定義。支撐方案考慮了在外力作用下零件會產生彎曲和相互滑移或傾斜的傾向，因此采用罰函數的形式。

3）確定分析步驟時，可以分4步進行，以便增加收斂速度，分別對每一步進行最大變形分析和反射鏡的面形精度分析，再將各步耦合分析，確定所有載荷作用下的最大變形和反射鏡的面形精度。分析結果：

1）如圖4、圖5所示，對6個螺釘全部施加3 000 N的預緊力后可以看到，螺釘伸長，壓板和鏡框在局部集中載荷作用下產生微小的局部變形，同時反射鏡局部受到擠壓，產生變形，導致反射鏡局部面形精度下降。

由于將螺釘定義為變形體，其在不同預緊力作用下會對反射鏡面形精度產生一定的影響，但線性工程分析方法卻不能分析出預緊力對反射鏡面形精度的影響。

2）沿光軸正負兩個矢量方向分別施加1 g的重力載荷，同時計算反射鏡面形精度。結果發現，第一步施加預緊力時反射鏡面形精度雖然降低了，但變化并不明顯，在施加重力載荷作用后，反射鏡面形精度在局部發生劇烈變化。圖6是在重力沿光軸正向單獨作用下采用線性與非線性分析所得的變形云圖。

3）沿光軸正負兩個矢量方向分別施加1 g的重力載荷的同時，再整體施加4℃均勻溫升載荷，計算重力與溫度耦合時的鏡面變形，發現反射鏡面形精度也隨之發生變化。圖7是在重力沿光軸正向與4℃溫升耦合作用下采用線性與非線性分析所得的變形云圖。

以上各載荷工況下的非線性分析和線性分析結果如表2所示。

3.3 結果分析

從表2中結果可以看出，在線性分析中，螺釘聯接部位采用的是MPC剛性聯接，不能模擬接觸作用。由于沿同一坐標軸的不同矢量方向施加的足1 g的重力載荷，結構剛度不變，所以反射鏡最大變形相同。但在非線性分析中，當沿光軸的正負兩個方向分別施加1 g的重力載荷時，得到的光學元件的面形精度和均方根值不相同，表現為沿光軸負方向的PV值和RMS值較小，而沿光軸正方向的PV值和RMS值較大，分析其原因是由于接觸的非線性導致的。當螺釘在預緊力的作用下產生伸長時，兩個連接板的接觸面相互擠壓，當系統達到穩定狀態時可以將這種情形視為力學平衡環境。當重力分別沿光軸的正負兩個方向作用時，兩個連接板接觸面相互擠壓的程度將有所增加或減弱，這時的兩種力學平衡環境不同，連接板的變形量也不同。當這種力的變化傳到主反射鏡時，導致沿兩個矢量方向所計算的主反射鏡的面形精度和均方根值有所不同。這種變化通常是局部的，但由于反射鏡的支撐方式不同，這種局部性變化會影響到全局。與此同時，反射鏡的剛體位移具有全局性。當光學系統對局部PV值的變化、RMS值的變化和剛體位移的變化具有嚴格限制時，這些變化將使成像質量沿正負兩個矢量方向發生變化，特別是在熱載荷作用下這種變化將更明顯。此外，由非線性分析所得到的反射鏡的最大變形值和面形值均大于由線性分析所得到的結果，這主要是由于考慮了螺釘預緊作用的緣故。

4 結 論

本文采用接觸非線性分析方法對螺釘預緊時反射鏡的響應及在自重和溫度載何作用下反射鏡的變形進行了分析，對線性和非線性分析結果進行了對比。結果顯示，采用線性分析主鏡沿光軸正向自重狀態下PV值為25.80 nm，RMS值為4.01 nm，采用非線性分析時PV值為60.52 nm，RMS值為12.46 nm；而實際要求主反射鏡面形精度PV值為62.38 nm，均方根RMS值為12.66 nm。上述結果表明，采用接觸非線性分析方法對反射鏡組件進行工程分析確實減小了分析誤差。

在對光機結構系統進行工程分析時，為使分析結果更符合實際，進而為結構的設計優化提供更全面可靠的分析數據，可在系統中選擇精度要求較高的元（部）件，采用非線性分析方法進行分析。本文的分析結果證明，將非線性分析方法引入工程分析中，可最大限度地模擬結構的真實狀態，對于提高工程分析精度，縮短整個光機結構的研制周期、降低研制成本都具有重要意義。

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Nonlinear analysis of primary m irror subassembly for collimator based on finite elementmethod

XIN Xue-jun1，2，CHEN Chang-zheng1，ZHANG Xing-xiang1，XU Yan-jun1，REN Jian-yue1
（1.Changchun Institute of Optics，Fine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033，China；2.Graduate University of Chinese Academy of Sciences，Beijing 100039，China）

To improve the analysis accuracy for the opticalmechanical structure of a optical system，a nonlinear analysismethod is introduced and then a nonlinear Finite Element（FE）analysis is applied to analysis of themechanicalmodel of a primarymirror subassembly.Themain source for structural nonlinearity is summarized，and a FEmodel for the primarymirror subassembly of a collimator is established on the basis of contact theory.Themirror response based on bolt contact and themirror deviation based on gravity and temperature loads are analyzed by contactnonlinear analysismethod.Using a practicalmesuring result，the linear and nonlinear methods are compared，and it is included that the contactnonlinear analysis indeed reduces the analysis error.Therefore，nonlinear analysis can improve the analysis accuracy and obtain the resultswhich are close tothat in real system of engineering analysis.

collimator；primarymirror；contact；nonlinear analysis；finite element analysis

TH741.14

：A

1674-2915（2010）02-0170-07

辛雪軍（1984—），男，吉林人，碩士研究生，主要從事空間光學儀器CAD/CAE方面的研究。 E-mail：cat1921＠tom.com

2010-01-17；

2010-03-13

國家863高技術研究發展計劃資助項目（863-2-5-1-13B）