非飽和土粘彈性地基一維固結特性分析

秦愛芳, 羅 坤, 孫德安

(上海大學土木工程系,上海 200072)

國外研究學者從 20世紀 60年代開始研究非飽和土固結問題,典型的有 Blight[1],Scott[2], Barden[3],Fredlund[4-5]等提出的固結方程.20世紀90年代,非飽和土固結問題是國內非飽和土力學研究的熱點,楊代泉[6]、陳正漢[7-9]、沈珠江[10]、殷宗澤[11]等先后研究了非飽和土的固結理論,并提出各自的見解.在非飽和土固結理論中比較完善的、具有權威性的是 Fredlund固結理論[4-5].

流變性作為土的重要工程性質之一,引起了人們的高度重視.一些學者如陳宗基[12]、門福錄[13]、趙維柄[14]、李冰河[15-16]等將粘彈性模型如Maxwell, Kelvin及Merchant等模型引入到固結理論中,相應的固結理論也得到了發展.但他們的研究都是針對飽和土,前面所介紹的非飽和土固結理論又都是針對彈性地基,目前對于粘彈性非飽和土地基固結的研究還很少.

如果已有線彈性解,引入柔度系數的 Laplace變換式V(s)來代替線彈性模型中的常數 1/E,便可解決粘彈性情況的同一問題,這個思想首先是由 E. H.Lee提出,被稱為李氏比擬法.錢家歡在求解固結問題時擴展了李氏比擬法的適應范圍.本研究在粘彈性非飽和土固結問題求解中采用李氏比擬法.

秦愛芳等[17]首次基于 Fredlund的非飽和土一維固結理論得到一個有限厚度,且在大面積均布瞬時加載下,表面為透氣透水面、底面為不滲透面的線彈性非飽和土層一維固結的解析解.此方法可向多種邊界條件拓展.本研究在此基礎上采用李氏比擬法研究表面排氣不排水、底面不滲透的粘彈性非飽和土層的一維固結問題,得到了超孔隙水壓力、超孔隙氣壓力及土層沉降的半解析解;給出了一個典型算例,探討該邊界下不同氣、水滲透系數比 ka/kw下,Kelvin體中彈性模量 E1和粘滯系數η等對非飽和土粘彈性地基的固結規律的影響,得到相關的固結曲線,揭示了非飽和土粘彈性地基的固結特性;最后,通過擬彈性情況下 (非飽和土粘彈性地基的粘滯系數為零)半解析解與彈性地基解析解的對比,從而驗證了半解析解的正確性.

1 計算簡圖和本構模型

非飽和土層如圖 1所示,土層厚度為 H,地表作用有大面積均布瞬時荷載 q,坐標原點設在地表,深度方向 z向下為正,取底面積為 1、高度為 dz的單元體V0=1×1×dz為研究對象.

圖1 非飽和土層一維固結計算模型Fig.1 S implified model for one-d imensional consolidation in unsaturated soil

本研究采用Merchant模型 (三單元模型)為粘彈性地基模型,它由一個彈性體和一個 Kelvin體串聯而成,其中 Kelvin體由一個彈性體并聯一個粘性體而成.模型結構如圖 2所示,其本構方程為

對式(1)作關于時間 t的Laplace變換,得

圖2 M erchant模型Fig.2 M erchantmodel

2 半解析解推導

本研究基于 Fredlund的非飽和土的一維固結理論進行假設[17],針對Merchant粘彈性地基模型,應用李氏比擬法,由得到的液相及氣相的控制方程、Darcy定律及 Fick定律,采用文獻[17]的方法,得到Laplace變換下 4個微分方程：

式中,

其中 s為 Laplace變量;ua,uw為超孔隙氣、水壓力;,為初始超孔隙氣、水壓力;,為超孔隙氣、水壓力的Laplace變換;Ja為 z方向上單位面積土體內氣體的質量流動速率及其 Laplace變換; vw,為非飽和土中的水在 z方向的流速及其Laplace變換;ka為非飽和土中的氣體滲透系數(m/s),假定為常數;g為重力加速度;kw為非飽和土中的液體滲透系數 (m/s),假定為常數;γw為液相的重度;Va為氣體的體積;R=8.314 J/(mol·K)為通用氣體常數;M為氣體的平均摩爾質量;T為絕對溫度;n0為負載前的初始孔隙率;Sr0為負載前的初始飽和度;,為 K加荷條件下相應于凈法0向應力變化 d(σ-ua)的水體積、氣體體積變化系數的Laplace變換;,為 K0加荷條件下相應于基質吸力變化 d(ua-uw)的水體積、氣體體積變化系數的Laplace變換;E為相應的彈性模量;η為相應的粘滯系數.

由式(3)～(6)得到矩陣形式的常微分方程為

式中,

矩陣常微分方程(7)的一般解為

根據 Cayley-Hamilton理論[18],可求得矩陣 T (z,s),S(s).

土層頂面為排氣不排水面,底面為不滲透面,所以邊界條件為

初始條件為

可解得Laplace變換下任意深度處的超孔隙氣壓力和超孔隙水壓力為

進一步可求得

對于簡單的 Laplace逆變換問題,可直接利用Laplace逆變換的數學表達式解決.而對于本研究,(z,s),(z,s)及(z,s)都極其復雜,且無法用解析式表示,需通過數值法進行逆變換.本研究采用精確度較高、較常用的Drubin和 Crump[19]方法編制程序對式(11)～(13)進行 Laplace逆變換,得到時間域內土層內任意深度、任意時間的超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力及任意時刻地表沉降量.

3 計算與分析

設一水平方向無限的土層,層表面排氣不排水,層底不排氣不排水,主要土層參數如下：

圖3～圖 5表現了不同 ka/kw條件下超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力及土層沉降隨時間的變化規律.從圖 3可以看出：超孔隙氣壓力的消散是在相對較短的時間內完成的;ka/kw越大,超孔隙氣壓力越早開始消散;在對數坐標下,各種 ka/kw情況下,超孔隙氣壓力消散曲線的切線斜率 (消散率)幾乎相同.從圖 4可以看出：ka/kw越大,超孔隙水壓力越早開始消散,與超孔隙氣壓力的消散規律類似;當超孔隙氣壓力消散結束后,由于不排水,超孔隙水壓力將停止消散.從圖 5可以看出：當 ka＜kw時,土層沉降隨時間變化曲線呈反 S形,類似于飽和粘彈性土固結沉降曲線;當 ka≥kw時,土層沉降隨時間變化曲線呈雙 S形.從圖 5中還可以看出,前期 ka/kw越大,土層沉降開始越早,且當 ka≥kw時,中間有一段相對平緩的階段;后期不論 ka/kw值是多少,沉降曲線均趨于一致.這是由于后期超孔隙氣壓力消散完成后,不排水導致超孔隙水壓力也不消散.此外,當超孔隙氣壓力、超孔隙水壓力均完成消散后,粘彈性地基土層并沒有完成固結,還有較大的沉降量發生,這是由于土的粘滯性造成的.

圖3 不同 ka/kw條件下土中超孔隙氣壓力 ua/q隨時間的變化規律Fig.3 Change in excess pore gas pressureua/qin soil with t ime under differentka/kw

圖4 不同 ka/kw條件下土中超孔隙水壓力 uw/q隨時間的變化規律Fig.4 Change in excess pore water pressureuw/qin soil with t ime under differentka/kw

圖6為不同粘滯系數η下,土層沉降隨時間變化規律.可以看出：在擬彈性情況下,土的固結速度比其他情況都要快,且固結曲線呈反 S形;當粘滯系數η較大時,固結曲線呈雙 S形.前期(超孔隙氣壓力消散結束前)固結曲線趨于一致,且均比擬彈性情況下固結沉降稍小;后期 (超孔隙氣壓力消散結束后),粘滯系數越大,土的固結越緩慢,并且完成固結所需要的時間越長,這說明粘滯系數對土的固結的影響主要體現在固結過程的后期.

圖5 不同 ka/kw下沉降隨時間的變化規律Fig.5 Change in soil layer settlement with t ime under differentka/kw

圖6 ka/kw=1時不同粘滯系數η下沉降隨時間的變化規律Fig.6 Change in soil layer settlement with t ime under different coefficient of viscosityηwhenka/kw=1

圖7 ka/kw=1時不同彈性模量 E1下沉降隨時間的變化規律Fig.7 Change in soil layer settlement with t ime under different elastic ratioE1whenka/kw=1

圖7為不同彈性系數 E1下沉降隨時間的變化規律.從圖中可明顯看出,隨著 E1的減小,土的固結沉降增大,前期土的固結沉降量基本不變.這說明Kelvin體中彈性模量E1對土的固結的影響,也是主要體現在固結過程的后期.

圖8～圖 10對比了非飽和土彈性地基一維固結的解析解與擬彈性情況下的半解析解的超孔隙氣壓力、水壓力及沉降隨時間的變化規律.從圖 8可以看出,兩條曲線呈相同規律,且曲線趨于一致.從圖9可以看出,兩條曲線呈相同規律,但彈性情況下,最終超孔隙水壓力消散比擬彈性情況快一些.從圖10可以看出,彈性情況與擬彈性情況固結曲線趨于一致,這也說明半解析方法是正確的.

圖8 彈性和擬彈性情況下土中超孔隙氣壓力 ua/ua0隨時間的變化規律Fig.8 Change in excess pore gas pressureua/ua0in soil with t ime under the elastic situation and the elastic s imulation situation

圖9 彈性和擬彈性情況下土中超孔隙水壓力 uw/uw0隨時間的變化規律Fig.9 Change in excess pore water pressureuw/uw0in soil with t ime under the elastic situation and the elastic s imulation situation

4 結 論

本研究采用李氏比擬法,針對Merchant粘彈性地基模型,采用Laplace變換等數學方法,建立求解非飽和土粘彈性地基的一維固結的半解析方法,所解的問題考慮有限厚度的粘彈性非飽和土層,處于一維受荷狀態,土層表面為排氣不排水面,底面為不滲透面,取得以下結論：

(1)非飽和土粘彈性地基的固結過程中,超孔隙氣壓力、水壓力的消散呈相同規律,ka/kw越小,超孔隙氣壓力、水壓力越早開始消散,且均在較短時間內完成.超孔隙氣壓力消散完成后,由于不排水,超孔隙水壓力也停止消散.

(2)當 ka＜kw(即 ka/kw=0.1)時,初期沉降較緩慢,沉降隨時間變化曲線呈反 S形,類似于飽和土固結沉降曲線;而當 ka≥kw時,沉降隨時間變化曲線呈雙 S形.

(3)Merchant模型中,Kelvin體的彈性模量 E1和粘滯系數η對非飽和土粘彈性地基的固結規律的影響主要體現在固結過程的后期,數值越大,后期土的固結越緩慢.

(4)對比了非飽和土彈性地基一維固結的解析解與擬彈性情況下的半解析解的超孔隙氣壓力、水壓力及沉降隨時間的變化規律,它們均呈相同的規律,曲線趨于一致,證實了半解析解的正確性.

圖10 彈性和擬彈性情況下沉降隨時間的變化規律Fig.10 Change in soil layer settlement with t ime under the elastic situation and the elastic s imulation situation

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