對一道競賽題的深入探究

田陽陽

(儀征市第二中學 江蘇 揚州 211400)

1 原題及參考解答

1.1 題目(第22屆全國中學生物理競賽復賽題)

兩輛汽車A與B，在t=0時從十字路口O處分別以速度vA和vB沿水平的、相互正交的公路勻速前進，如圖1所示.汽車A持續地以固定的頻率ν0鳴笛，求在任意時刻t汽車B的司機所檢測到的笛聲頻率.已知聲速為u，且當然有u大于vA和vB.

圖1

1.2 參考解答

如圖2所示，t時刻汽車B位于B(t)處，距O點的距離為vBt.此時傳播到汽車B的笛聲不是t時刻而是較早時刻t1由A車發出的.汽車A發出此笛聲時位于A(t1)處，距O點的距離為vAt1.此笛聲由發出點到接收點(t時刻B車所在點)所傳播的路程為u(t-t1)，由幾何關系可知

圖2

(1)

即

(u2-vA2)t12-2u2tt1+(u2-vB2)t2=0

這是以t1為變量的一元二次方程，其解為

由于u2>u2-vA2，且t1

(2)

所以

(3)

令

(4)

(5)

在t1時刻，位于A(t1)處的汽車A發出的笛聲沿直線(即波線)A(t1)B(t)在t時刻傳到B(t)處，以θA(t1)、θB(t)分別表示車速與笛聲傳播方向的夾角，有

(6)

(7)

令ν′表示B車司機接收到的笛聲的頻率，由多普勒效應可知

(8)

由式(6)、(7)、(8)，得

其中

(9)

2 創造性解答及討論

2.1 創造性解答

如圖3所示，取另一輛從坐標原點O出發以速度v0勻速運動的汽車C為參照系.當汽車A在A0點時，汽車C在C0點，當汽車A行駛到A(t)點時，汽車C行駛到C(t)點，并收到汽車A在A0點發出的笛聲.設θ為v0與x軸正方向之間的夾角，α為A(t)C(t)與x軸正方向之間的夾角，β為選汽車C為參照系時，笛聲速度u′與汽車C運動方向之間的夾角，γ為u與u′之間的夾角.易知u′與A0C0及A(t)C(t)平行.由

圖3

得

u=u′+v0(取v0>vA)

則汽車C的司機所接收到的笛聲頻率為

下面分別計算u′與λ′.為計算所需，先做一些準備工作.

由圖3可知

β=α-θ

所以

sinβ=sin(α-θ)=

由sin2β+cos2β=1

得

cosβ=cos(α-θ)=

cosγ=

cosα=-cos(180°-α)=

參照圖3有

u′=ucosγ-v0cosβ

關于λ′參照圖4有

圖4

所以

(10)

當θ=-90°，v0=vB時，上式化為

其中

應當指出以上結果與參考解答的結果(9)式是相等的，因為

2.2 討論

取vA=18 m/s，v0=20 m/s，u=340 m/s，

θ∈[-π，π]用Mathematica軟件作圖，如圖5所示.

圖5

3 拓展

圖6

討論：取vA=18 m/s，u=340 m/s，a=1 m/s，θ=45°

t∈[0，1000]用Mathematica軟件作圖如圖7所示.

圖7

參考文獻

1 田陽陽，葉清，李明躍.一道競賽題的四種解法探討.物理教師，2009(1)：58