對一道高考理綜試題的多種解法分析

林榕 方戈亮

(沈陽師范大學物理科學與技術學院 遼寧 沈陽110034)

【題目】(2009年遼寧、廣西高考理綜卷第24題)冰壺比賽是在水平冰面上進行的體育項目，比賽場地如圖1所示.比賽時，運動員從起滑架處推著冰壺出發，在投擲線AB處放手讓冰壺以一定的速度滑出，使冰壺的停止位置盡量靠近圓心O.為使冰壺滑行得更遠，運動員可以用毛刷擦冰壺運行前方的冰面，使冰壺與冰面間的動摩擦因數減小.設冰壺與冰面間的動摩擦因數為μ1=0.008 ，用毛刷擦冰面后動摩擦因數減小至μ2=0.004.在某次比賽中，運動員使冰壺C在投擲線中點處以2 m/s的速度沿虛線滑出.為使冰壺C能夠沿虛線恰好到達圓心O點，運動員用毛刷擦冰面的長度應為多少？(g取10 m/s2)

圖1

由題意可設冰壺在投擲線處的速度為v=2

m/s，v0=0 ，μ1=0.008 ，μ2=0.004 ，g=10 m/s2.同時設冰壺在未被毛刷擦過的冰面上滑過的距離為s1，冰壺在被毛刷擦過的冰面上滑過的距離為s2，投擲線到圓心O的距離為s=30 m，如圖2所示.

圖2

方案1根據動能定理

解法1.1：如圖2，由A到O全程應用動能定理，有

由題意有

s1+s2=s

聯立以上二式，解得s2=10 m

即冰壺首先在未被擦過的冰面滑行20 m距離，然后再在用毛刷擦過的冰面滑行10 m恰好到達O點停止.

解法1.2：如圖2，由A到O分段應用動能定理，有

AB段

BO段

s1+s2=s

聯立以上三式，解得s2=10 m

解法1.3：如圖2，由A到O分段應用動能定理，但是與上面不同的是，也可以假設冰壺首先以vA=2 m/s的初速度在被毛刷擦過的冰面上滑行s1，然后再在未被毛刷擦過的冰面上滑行s2，則有

AB段

BO段

s1+s2=s

聯立以上三式，解得s2=10 m

即冰壺首先在被毛刷擦過的冰面滑行10 m距離，然后再在未被毛刷擦過的冰面滑行20 m恰好到達O點停止.

方案2根據牛頓第二定律和勻變速直線運動規律

解法2.1：如圖2，由A到O冰壺經歷兩段勻減速直線運動，有

AB段

f1=μ1mg=ma1

vB2-vA2=-2a1s1

BO段

f2=μ2mg=ma2

0-vB2=-2a2s2

s1+s2=s

聯立以上五式，解得s2=10 m

解法2.2：如圖2，由A到O冰壺經歷兩段勻減速直線運動，有

AB段

f1=μ1mg=ma1

vB=vA-a1t1

BO段

f2=μ2mg=ma2

vB=a2t2

s1+s2=s

聯立以上七式，解得s2=10 m

解法2.3：冰壺由A到O的兩段勻減速直線運動過程，也可以等效為由O到A的兩段勻加速運動過程，則有

OB段

f2=μ2mg=ma2

vB=a2t2

BA段

f1=μ1mg=ma1

vA=vB+a1t1

s1+s2=s

聯立以上七式，解得s2=10 m

方案3根據動量定理和勻變速直線運動規律

解法3.1：如圖2，由A到O，有

μ1mgt1+μ2mgt2=mvA

AB段

a1=μ1g

BO段

a2=μ2g

μ2mgt2=mvB

s1+s2=s

聯立以上七式，解得s2=10 m

解法3.2：根據動量定理和平均速度公式，有

AO段

μ1mgt1+μ2mgt2=mvA

BO段

μ2mgt2=mvB

聯立以上四式，解得s2=10 m

解法3.3：分兩段應用動量定理和平均速度公式

AB段

BO段

聯立以上二式，解得s2=10 m

方案4根據功的概念和勻變速直線運動規律

解法4.1：在冰壺的兩段運動過程中，兩個摩擦力所做的功之和可以等效為某一個力F=ma在整個路程s上所做的功，即

μ1mgs1+μ2mgs2=mas

并且有

-vA2=-2as

s1+s2=s

聯立以上三式，解得s2=10 m

解法4.2：如果不用毛刷擦冰面，冰壺以速度vA=2 m/s出發，將滑行l后停止.而l滿足

并且有

0=vA-a1t

a1=μ1g

聯立以上三式，解得l=25 m

可見，如果不用毛刷擦冰面，冰壺以vA=2 m/s速度出發將只能滑行l=25 m，距終點還有30 m-25 m=5 m .所以，冰壺要到達O點，必須用毛刷擦一段冰面s2，則摩擦力f2=μ2mg在s2路程上所做的功應該等于摩擦力f1=μ1mg在5 m路程上所做的功，即

μ2mgs2=μ1mg·(s-l)

由此解得s2=10 m

即需要冰壺在毛刷擦過的冰面上滑行s2=10 m后停止在O點.

方案5平均速度方法

AB段

vA=vB+a1t1=vB+μ1gt1

BO段

vB=a2t2=μ2gt2

s1+s2=s

聯立以上五式，解得s2=10 m

方案6幾何方法——利用v-t圖像方法

如圖3所示，可得

圖3

vB=vA-a1t1=vA-μ1gt1

vB=a2t2=μ2gt2

聯立以上三式，解得s2=10 m

方案7比例分配法

α+β=1

又設等效摩擦因數

μ3=αμ1+βμ2

則有

聯立以上四式，解得s2=10 m

解法7.2：由方法案4的結果可知，如果不用毛刷擦冰面，冰壺以vA=2 m/s速度出發將只能滑行l=25 m，如圖4所示，所以必須在C點前B處開始用毛刷擦冰面，擦能保證冰壺最終到達O點停止.若設同是從B點以vB為初速度出發，分別在摩擦因數為μ1和μ2的兩種冰面上滑行的距離為x1和x2，則有

圖4

所以可得

代入l數值，解得s2=10 m

小結以上七個方案15種解法中，方案1、4、7較為簡單.試題的信息及考查結果啟示我們，在平時的物理教學和備考復習中，應該強化物理概念的意義建構，突出物理過程、物理情境的分析，正確建立物理模型及相關物理方程，應是廣大物理教師努力的重點.加強基礎訓練，培養學生理解能力、推理能力、分析綜合能力和應用數學解決物理問題能力，也是物理教學的重要任務.鑒于此，我們要有意識地創設一些物理問題，引發學生深層思維實際物理情境，指導學生進行分析建模，要細化物理基本概念基本規律和基本思維方法的教育；要重視應用數學工具解決物理問題的基本運算訓練.