數學分析教學中的軟件應用實驗設計

閆 峰，張艷霞

（邯鄲學院 數學系，河北 邯鄲 056005）

1 引言

在傳統的數學分析教學中，基本上采用教師主要講解的灌輸式教學方法，學生的積極性不高，對一些知識點也缺乏直觀的認識。現行的一種較先進的教學手段——計算機輔助教學（Computer Assisted Instruction）簡稱CAI，是教師將計算機用作教學媒體，學生通過與計算機的交互作用進行學習的一種教學形式，它能充分利用計算機存儲量大，快速處理圖象、聲音、動畫等功能，產生出圖文并茂，聲色俱全的視聽效果，達到改善學習環境、優化教學效果的目的，完成傳統教學方式難以實現的教學任務。如何在數學分析的教學和學習中，正確使用CAI技術手段（尤其是數學軟件）是教師迫切需要考慮的一個問題。

鑒于《數學實驗》課程的一些成功經驗，作者在數學分析的部分授課過程中嘗試引入《數學實驗》的教學思想，借助于CAI系統，主要利用MATLAB數學軟件對某些內容設計不同的實驗方案，每個實驗圍繞可引起學生興趣的問題展開，教學生使用若干方法來解決問題，在解決問題中熟悉這些方法，得出相應的結論。這些嘗試使學生對抽象數學有了一個直觀的了解，激發了學生的學習積極性，提高了他們的動手能力和探索的興趣，并對MATLAB數學軟件也有了初步的了解和掌握。下面僅介紹教學中的幾個方面。

2 利用MATLAB軟件的數據可視化加強學生的空間想象力

數學分析教學過程中，經常會見到一些復雜的圖像、圖形，比如螺旋線、空間中的二次曲面、一些極坐標表示的曲線、以及一些物體運動的軌跡等，一般數學課堂要求學生發揮“空間想象力”。實踐證明，多數學生一學期下來后，對什么是馬鞍面，什么是橢圓雙曲面等仍有讀天書的感覺，讓數學軟件直觀地演示一下這些圖形，將“空間想象力”變為“直觀觀察力”則更為現實有效，教學效果也更明顯。

實驗1.空間中二次曲面的圖形。

1）提出問題：根據空間解析幾何的知識考慮二元函數 z=xy,(x,y )∈R2[1]91的圖形（盡管函數表達式很簡單，但圖形不好想象）。

2）利用MATLAB軟件繪出它的圖形：

[x,y]=meshgrid(-4:0.125:4); >> z=x.*y;>> mesh(x,y,z)

使學生對此函數的圖形有一個直觀的認識。（如圖1）

3）利用MATLAB軟件繪制更為復雜的函數圖形。

圖1

并在重積分部分，也通過作圖觀察變量的取值范圍，教學效果非常好。

3 MATLAB軟件在積分運算方面的應用

由數學分析的知識：有理函數都能積分，相關理論已經很完備，但其計算往往非常復雜，耗費學生很多時間。可否將這些繁瑣計算留給計算機完成？這些問題的解決有待于我們對現行課程教材體系進行新的思考和創新。

實驗2.簡化有理函數積分的計算過程。

2）利用MATLAB軟件計算上述積分：syms x；>> int((-x^2-2)/(x^2+x+1)^2)

執行上述命令后，馬上顯示結果：

1/3*(-3*x-3)/(x^2+x+1)-4/3*3^(1/2)*atan(1/3*(2*x+1)*3^(1/2))，說明軟件的快捷和方便；

3）后繼內容中進一步探討MATLAB在定積分、數值積分中的應用。

4 泰勒級數逼近分析器的應用

我們知道：若一元函數f(x)在點x0具有任意階導數，且 ?x:|x ?x0|＜r，f(x)在點x0的泰勒公式的余項Rn(x)當n→∞時極限為0，則f(x)在給定區間 (x0? r, x0+ r )內等于它的泰勒級數的和函數。[1]53那么泰勒多項式是如何逼近函數f(x)的？利用MATLAB軟件提供的一個進行數學分析的可視化界面：泰勒級數逼近分析界面，可方便地觀察函數f(x)在給定區間上被n階泰勒多項式逼近的情況，使學生對級數理論的認識更加深刻。

實驗3.函數的泰勒級數展開。

2）通過圖形觀察這些多項式函數與正弦函數y=sinx有什么關系？得出結論：上述多項式函數分別是正弦函數的3階、5階、7階泰勒多項式。

3）進而觀察泰勒多項式逼近正弦曲線的情況。

4）利用泰勒級數逼近分析界面說明問題（如圖2）。

5）任意改變被逼近函數表達式、區間范圍或泰勒多項式的階數均可得到類似結果。

5 二元函數極限存在性的判別

相比一元函數在某點極限的存在性，二元函數重極限和累次極限的存在性就復雜多了，這也是教學中的難點所在。可通過圖形猜測二元函數重極限是否存在。

圖2

1）提出問題：猜測極限的存在性。

2）繪制二元函數的圖形（圖3）。

3）通過觀察圖3，利用旋轉按鈕可以看出：當(x，y)充分接近于原點時，函數值充分接近于0即函數在（0，0）點的極限存在。

4）理論上嚴格證明。

6 函數列一致收斂的直觀演示

函數列的一致收斂是數學分析教學中的難點，也是重點，學生理解較為困難，往往很難分清函數列收斂和一致收斂的本質區別。

圖3

實驗5.分別討論函數列 {f (x)}={nx2e?nx},x∈[0,5]和{g(x)}={n2xe?n2x2},x ∈[0,1]的收斂性和一致nn收斂性。

2）學生總結函數列在給定區間一致收斂時的圖形顯示情形。

3）利用 MATLAB軟件編程分別繪制{fn(x )}和{gn(x)}當n分別取1，2，3，…，8時的函數圖形，以說明函數列的變化趨勢。

圖4 {f(x)} n 的圖形

圖5 {g(x)} n 的圖形

本文僅討論了利用MATLAB軟件在數學分析課程教學中進行的CAI教學的幾個方面，在實際教學中還在不斷探索，課下學生可自己動手做數學實驗，效果較好。

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]李尚志.數學實驗[M].北京：高等教育出版社，2008.