隨從力作用下熱彈耦合軸向運動梁的穩定性*

郭旭俠，王忠民

（1.西安理工大學理學院，陜西 西安 710054；

2.寶雞文理學院機電工程系，陜西 寶雞 721007）

隨從力作用下熱彈耦合軸向運動梁的穩定性*

郭旭俠1，2，王忠民1

（1.西安理工大學理學院，陜西 西安 710054；

2.寶雞文理學院機電工程系，陜西 寶雞 721007）

研究了切向均布隨從力作用下熱彈耦合軸向運動梁的穩定性問題。建立了熱彈耦合軸向運動梁在隨從力作用下的運動微分方程，采用歸一化冪級數法，推導出了2種邊界條件下熱彈耦合軸向運動梁在隨從力作用下的特征方程。計算了系統的前3階量綱一復頻率，分析了量綱一運動速度、量綱一熱彈耦合系數和量綱一隨從力等參數對梁的穩定性的影響。

固體力學；穩定性；隨從力；軸向運動梁；熱彈耦合；冪級數法

1 引 言

非保守力對工程系統中構件的穩定性影響很大，空中飛行的飛機、導彈受到的氣體摩擦力、輸流管道中流體的粘滯阻力等都屬于非保守力。對隨從力（非保守力）作用下構件的動力穩定性問題已有很多研究：趙鳳群等［1］用積分方程法研究了具有多個點彈性支承的Kelvin型粘彈性簡支桿在切向均布隨從力作用下的動力特性和穩定性問題；M.A.Langthjem等［2］研究了隨從力作用下粘彈性桿件的動力穩定性；禚瑞花等［3］采用冪級數法得到了三參量模型粘彈性非保守梁的特征方程，分析了不同邊界條件下粘彈性梁的穩定性；R.F.Fung等［4］采用Galerkin法研究了同時受到隨時間變化的軸向和橫向載荷作用的三參量模型粘彈性梁的動力穩定性。但是，這些研究均沒有考慮溫度改變對系統穩定性的影響。F.L.Guo等［5］用蒙特卡羅方法計算了兩端固支耦合熱彈梁的振動頻率；Y.X.Sun等［6］研究了考慮耦合熱彈阻尼時微型梁的振動特性，結果表明考慮耦合效應時的振動頻率大于非耦合時的振動頻率。軸向運動梁作為工程實際中的構件之一，熱彈耦合條件下在切向均布隨從力作用下的穩定性問題卻少有報道。

本文中試圖采用歸一化冪級數法，得到不同邊界條件下熱彈耦合軸向運動梁的特征方程，分析量綱一運動速度、量綱一熱彈耦合系數和量綱一隨從力等參數對梁的穩定性的影響。

2 運動微分方程

圖1所示為彈性矩形截面梁，沿x方向的運動速度為v，受到切向均布隨從力q0的作用。梁的跨度為L，寬度為b，高度為h，材料密度為ρ，彈性模量為E。設梁的初始溫度為τ0，任一瞬時t梁的溫度改變為T＝T（z，t）。

切向均布隨從力作用下熱彈耦合軸向運動梁的運動微分方程為［1，7］

式中：梁在z方向的位移w＝w（x，t）；熱彎矩MT＝bEαT∫h／2－h／2Tzdz，其中αT為線熱脹系數；梁的橫截面面積A＝bh；橫截面慣性矩I＝bh3／12。

梁的熱傳導方程為［8］

式中：導溫系數a＝k／（ρcV），k為導熱系數，cV為比定容熱容。

求解方程（5b），得

梁的兩端恒溫時，邊界條件為

3 冪級數法及特征方程

設式（7）的解為

式中：Bn是待定常數，Vn（ξ）為基本解，即

式中：ωo、ωd分別表示ω的實部和虛部。

由于f、g 中含有待定系數dn，i＋2、en，i＋2、dn，i＋1、en，i＋1、dn，i、en，i，式（12）被稱為待定系數的遞推公式。

由冪級數解的歸一化條件可知［9］

式（15a）中B2、B4不全為0，式（15b）中B3、B4不全為0，因此式（15a）和（15b）的系數行列式為0，得

分別求解方程（16a）和（16b），即可得到2種邊界條件下，受切向均布隨從力作用時熱彈耦合軸向運動梁的復頻率。從而分析量綱一運動速度、量綱一熱彈耦合系數和隨從力等參數對梁的穩定性的影響。

4 計算結果與分析

當λ＝0，c＝0，q＝0時，方程（7）退化為彈性梁自由振動的振型方程。首先計算彈性梁自由振動時的前3階固有頻率和1階臨界載荷，計算結果與文獻的比較見表1。計算時i＝50。

表1 彈性梁前3階固有頻率和1階發散載荷的本文解與文獻中解的比較Table 1 Comparison of the first three orders natural frequencies and the divergence load of the first order for elastic beams with those in reference

4.1 兩端簡支梁

圖2～4分別表示不同條件下梁的量綱一復頻率與量綱一運動速度之間的關系。圖2中量綱一熱彈耦合因子λ＝0，量綱一隨從力q＝10；圖3中λ＝0.2；圖4中q＝15。比較圖2～4可知，其他參數相同，q＝10，當λ從0增大到0.2時，第1階模態的發散臨界速度c由2.20變為2.63；當λ＝0.2時，q由10增大到15，此時，第1階模態的發散臨界速度c由2.63減小到2.06。圖2～4中的第2階模態都出現了單一模態顫振失穩，只是條件不同產生顫振失穩時的臨界速度不同。其他參數相同時，第2階模態顫振失穩時的臨界速度隨量綱一熱彈耦合因子的增大而增大，隨量綱一隨從力的增大而減小。

圖2 量綱一復頻率隨量綱一運動速度的變化曲線Fig.2 Dimensionless complex frequencies versus dimensionless moving speeds

圖3 量綱一復頻率隨量綱一運動速度的變化曲線Fig.3 Dimensionless complex frequencies versus dimensionless moving speeds

圖4 量綱一復頻率隨量綱一運動速度的變化曲線Fig.4 Dimensionless complex frequencies versus dimensionless moving speeds

圖5、6分別表示不同條件下，量綱一復頻率與量綱一隨從力之間的關系曲線。圖5中量綱一運動速度c＝1，可以看出隨著熱彈耦合因子的增大，第1、2階模態的發散載荷也增大；圖6中量綱一運動速度c＝3。比較圖5、6可知，其他參數相同的條件下，隨著量綱一運動速度的增大，第1階模態的發散載荷減小。由于參數的改變，圖6中第2階模態出現了單一模態顫振失穩。

圖5 量綱一復頻率隨量綱一隨從力的變化曲線Fig.5 Dimensionless complex frequencies versus dimensionless follower forces

圖6 量綱一復頻率隨量綱一隨從力的變化曲線Fig.6 Dimensionless complex frequencies versus dimensionless follower forces

4.2 兩端固支梁

圖7、8分別表示不同條件下，量綱一復頻率與量綱一運動速度之間的關系曲線。圖7中量綱一隨從力q＝40，從圖中可以看出隨著量綱一熱彈耦合因子的增大，第1階模態的臨界速度增大。圖8與圖7相比，q增大到60，其他參數相同條件下，隨著量綱一隨從力的增大，第1階模態的臨界速度減小。圖7、8中的第2階模態也出現了單一模態顫振失穩，而且產生顫振失穩時的臨界速度隨著參數的改變而變化。

圖7 量綱一復頻率隨量綱一運動速度的變化曲線Fig.7 Dimensionless complex frequencies versus dimensionless moving speeds

圖8 量綱一復頻率隨量綱一運動速度的變化曲線Fig.8 Dimensionless complex frequencies versus dimensionless moving speeds

圖9、10分別表示不同條件下，量綱一復頻率與量綱一隨從力之間的關系曲線。圖9中量綱一運動速度c＝1，隨著量綱一熱彈耦合因子的增大，第1階模態的臨界載荷q由78.5增大到93.1，第2階模態沒有出現發散失穩。圖10中量綱一運動速度c＝3，隨著量綱一熱彈耦合因子的增大，第1階模態的臨界載荷也增大。圖9與圖10相比，其他參數相同的條件下，隨著量綱一運動速度的增大，第1階模態的臨界載荷減小。

圖9 量綱一復頻率隨量綱一隨從力的變化曲線Fig.9 Dimensionless complex frequencies versus dimensionless follower forces

圖10 量綱一復頻率隨量綱一隨從力的變化曲線Fig.10 Dimensionless complex frequencies versus dimensionless follower forces

5 結 論

計算結果表明：其他參數相同的條件下，隨著熱彈耦合因子的增大，第1階模態的臨界速度和臨界載荷都增大；增大量綱一運動速度，第1階模態的臨界載荷減小；第1階模態的臨界速度隨著量綱一隨從力的增大而減小。

［1］趙鳳群，王忠民.點彈性支承下非保守粘彈性桿的穩定性分析［J］.西安理工大學學報，2003，19（3）：230-234.

ZHAO Feng－qun，WANG Zhong-min.Stability analysis of viscoelastic rod with elastic point supports subjected to nonconservative forces［J］.Journal of Xi’an University of Technology，2003，19（3）：230-234.

［2］Langthjem M A，Sugiyama Y.Dynamic stability of viscoelastic beam under follower forces［J］.Journal of Sound and Vibration，2000，238（5）：809-851.

［3］禚瑞花，馮叔忠.粘彈性梁在隨從力作用下的動力穩定性［J］.工程力學，2005，22（3）：26-30.

ZHUO Rui-hua，FENG Shu-zhong.Dynamic stability of viscoelastic beam under follower forces［J］.Engineering Mechanics，2005，22（3）：26-30.

［4］Fung R F，Huang J S，Chen W H.Dynamic stability of viscoelastic beam subjected to harmonic and parametric excitations simultaneously［J］.Journal of Sound and Vibration，1996，198（1）：1-16.

［5］Guo F L，Rogerson G A.Thermoelastic coupling effect on a micro-machined beam resonator［J］.Mechanics Research Communications，2003，30（6）：513-518.

［6］Sun Y X，Fang D N，Ai K S.Thermoelastic damping in micro-beam resonators［J］.International Journal of Solids and Structures，2006，43（10）：3213-3229.

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［8］嚴宗達，王洪禮.熱應力［M］.北京：高等教育出版社，1993.

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ZHOU Yin-feng，WANG Zhong-min，WANG Yan.Dynamic stability of moving viscoelastic plate subjected to follower forces［J］.Engineering Mechanics，2009，26（1）：25-30.

［10］倪振華.振動力學［M］.西安：西安交通大學出版社，1990.

Thermoelastic coupling stability of the axially moving beam subjected to follower force＊

GUO Xu-xia1，2，WANG Zhong-min1
（1.School of Sciences，Xi’an University of Technology，Xi’an710054，Shaanxi，China；
2.Mechanical and Electrical Engineering Department，Baoji University of Arts and Sciences，Baoji 721007，Shaanxi，China）

The thermoelastic coupling stability of the axially moving beam under the action of uniformly distributed tangential follower forces was investigated.The differential equation of motion for the axially moving beam under the action of uniformly distributed tangential follower forces was established，and the eigenequation for the axially moving beam with two kinds of boundary conditions subjected to follower forces was derived by a normalized power series method.The first three orders dimensionless complex frequencies of the system were calculated，and the effects of the dimensionless moving speed，the dimensionless thermoelastic coupling factor，the dimensionless follower forces on the stability of the axially moving beam in the thermoelastic coupling case were analyzed.

solid mechanics；stability；follower force；axially moving beam；thermoelastic coupling；power series method

23July 2009；Revised 14December 2009

GUO Xu-xia，gxx5432106＠sina.com

（責任編輯 曾月蓉）

O347.2 國標學科代碼：130·15

A

1001-1455（2010）06-0614-08

2009-07-23；

2009-12-14

國家自然科學基金項目（10872163）；陜西省教育廳科學研究計劃項目（08JK394）；寶雞文理學院重點項目（ZK09147）

郭旭俠（1976— ），女，博士研究生，講師。

圖1隨從力作用下的熱彈耦合軸向運動梁

Fig.1An axially moving beam in the thermoelastic coupling case subjected to follower force

Supported by the National Natural Science Foundation of China（10872163）