對兩種通信體制誤碼概率計算公式的辨析

高進濤 朱靜波 王元龍 劉力維

摘 要:針對QPSK與BPSK通信體制下信號相干檢測錯誤概率的計算公式和相應的曲線往往互不相同,以及容易使人困惑的問題,為達到正本清源的理解和應用的目的,對各種通信文獻中涉及到的二者公式和相應曲線進行了匯總,結合基本原理和工程應用實踐,對其本質進行了理論闡述,對差異之處進行了對比辨析,指出了二者的區別及其內在統一性,并作了工程應用小結。

關鍵詞:QPSK;BPSK;相干檢測;誤碼率

中圖分類號:TN914 文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2009)21-037-03

Discrimination on Two Communication System Bit Error Probability Formulas

GAO Jintao,ZHU Jingbo,WANG Yuanlong,LIU Liwei

(Unit 63898 of PLA,Jiyuan,454650,China)

Abstract:In allusion to variances of signal coherent detective error probability formulas and its corresponding curves of QPSK and BPSK communication system,so as to clearly understanding and applications,the formulas and its corresponding curves from all kinds of communication documents are gathered,combined with its principle and engineering applications,the essences are academically expatiated,the differentia are analyzed and differentiated,the discrepancy and inherent unification are detailed clarified,and summing-up in engineering application is given.

Keywords:QPSK;BPSK;coherent detection;bit error

在通信系統工程應用中,人們所使用的四相相移鍵控(QPSK)調制體制信號在相干檢測時的誤碼率計算公式與二相相移鍵控(BPSK)信號相干檢測的誤碼率計算公式是一樣的。然而,在相關通信文獻中,常常可以見到這兩種體制的概率計算公式及其對應的曲線有時很不相同,而且各資料中的公式也互不相同。對這些差異該如何理解,它們之間的表觀矛盾其本質何在,它們的應用價值如何等,這些問題很容易使從事通信技術工作的人員困惑不解。本文將對這些問題進行分析,將某些文獻中的闡述、說明加以比較匯總,并給予了詳細分析和解釋,以助于在通信工程中的正確應用。

1 不同計算公式與曲線的匯集對比

1.1 第一種情況

BPSK與QPSK信號相干檢測的錯誤概率計算公式是相同的,同為:

P〆b=12erfc(Eb/N0)(1)

式中:P〆b為信息碼元(bit)的錯誤概率,常稱之為誤碼率;Eb為每個信號碼元的能量;N0為白噪聲的功率譜密度;Eb/N0為歸一化信噪比。式(1)的曲線如圖1所示。

圖1 BPSK與QPSK的誤碼率曲線

1.2 第二種情況

對BPSK,計算公式為:

P〆s=12erfc(Eb/N0)(2)

式中:P〆s為信道中傳輸符號的錯誤概率。

對QPSK,計算公式為:

P〆s靍rfc(Eb/N0)(3)

式(2)、式(3)對應的曲線如圖2所示。

1.3 第三種情況

對BPSK,計算公式為:

P〆s=12erfc(Es/N0)(4)

式中:Es為每個符號的能量;Es/N0為歸一化符號信┰氡取＊

對QPSK,計算公式為:

P〆s靍rfc(Es/N0)(5)

式(4)、式(5)對應的曲線如圖3所示。

圖2 BPSK與QPSK誤符號率

對歸一化信噪比的曲線

圖3 BPSK與QPSK誤符號率

對歸一化符號信噪比的曲線

2 對各公式的分析

2.1 基本概念

QPSK信號相干檢測的基本原理如圖4所示。

圖4 OPSK信號相干檢測基本原理

在輸入端的QPSK信號為:

s(t)=a(t)2Eb/Tbcos ωt+b(t)2Eb/Tbsin ωt(6)

式中:Eb,Tb分別為信號碼元的能量和碼元寬度;a(t),b(t)為調制載頻的視頻碼元脈沖,在Tb寬度內各自獨立取+1值。因此,式(6)中的a(t),b(t)可以產生(+1,+1),(+1,-1),(-1,+1)和(-1,-1)四種組合。每一種碼元組合稱為一個符號,設符號寬度為Ts,在現在的情況下有:

Ts=Tb(7)

每個符號對應于QPSK信號s(t)的一個相位,共有4種相位。因此,式(6)可以改寫為:

s(t)=a2(t)+b2(t)2Eb/Tscos(ωt+φ)

=4Eb/Tscos(ωt+φ)(8)

式中:Е杖∩鮮4種相位之一,4Eb/Ts代表QPSK信號的幅度,與式(6)右端兩項幅度2Eb/Tb比較可知,QPSK信號中的符號能量為信號碼元能量的2倍,設符號能量為Es,有:

Es=2Eb(9)

區分符號與信息碼元以及它們能量之間的差異,對理解相干檢測錯誤概率的不同公式區別及其內在統一性是十分重要的。

2.2 式(3)與式(5)的差異分析

式(3)與式(5)本質上是相同的,其差異僅在于前者用碼元能量Eb表示,后者用符號能量Es表示。利用公式(9)即可把式(3)變換為式(5),或者反之。與此對應的圖2與圖3曲線的差異也僅僅是橫坐標的不同(見┩2與圖3)。只要根據式(9)把橫坐標換成同一個量,兩圖中的曲線將完全相同。

2.3 式(1)與式(3)的差異分析

式(1)是圖4中I支路或Q支路上信息碼元的檢測錯誤概率計算公式,它不涉及式(8)所示在信道中傳輸的符號。所以,公式(1)中決定P〆b的信號能量是碼元能量Eb,與符號能量Es無關。I,Q支路是相互獨立的,每一條支路都是一個BPSK信號通道,所以每條支路誤碼率P〆b的計算方法都與BPSK的相同,如式(1)及圖1曲線所示。

式(3)是計算符號錯誤概率的公式,它是由BPSK的計算公式推導出來的,其推導思路如下:符號由I,Q兩支路的碼元組合而成,所以符號發生錯誤的概率P〆s等于I支路碼元發生錯誤而Q支路碼元正確和Q支路碼元發生錯誤而I支路碼元正確以及二支路同時發生錯誤這三種情況的錯誤概率之和。每一支路發生錯誤的概率為P〆b,不發生錯誤的概率為1-P〆b,故前兩種情況的錯誤概率為P〆b(1-P〆b),后一種情況的錯誤概率為P〆b2。故符號錯誤概率為:

P〆s=2P〆b(1-P〆b)+P〆b2

=P〆b-P〆b2=2P〆b=erfc(Eb/N0)(10)

式(10)給出了符號錯誤概率與碼元錯誤概率的聯系。

2.4 式(1)應用的不同情況

因此,所有分析都是在式(7)給出的Ts=Tb條件下進行的。在此條件下,QPSK與BPSK雖用同一式(1)或式(2)計算誤碼率,但對于相同的Eb,QPSK與BPSK的符號能量Es卻不相同。對ZPSK,有Es=Eb;對QPSK,則有Es=2Eb,即為了在相同的傳輸帶寬條件下,用QPSK把BPSK的碼元傳輸率提高一倍,對相同的誤碼率要求,需要把傳輸功率Es/Ts提高一倍。

而在工程實用中,通常用QPSK系統傳送一個統一的數據流,該數據流經串/并轉換而成為I,Q兩支并行數據流,于是:

Ts=2Tb(11)

因此,兩支路的碼元能量將增加一倍,從而使Eb達到:

Es=Eb(12)

在這種情況下,對相同的傳輸帶寬和誤碼率要求,用QPSK把碼元傳輸率提高一倍,無需增加傳輸功率。

3 結 語

(1) 為正確理解QPSK信號相干檢測的各個錯誤概率計算公式的差異及其本質上的統一性,必須清楚區分“信號碼元”及“符號”這兩個概念以及它們的能量Eb,Es和它們的錯誤概率P〆b,P〆s的差異。

(2) 為表示QPSK傳輸體制的總體性能,應當用符號錯誤概率。因此用式(3)或式(5)及其相應的圖2或圖3的曲線是合理的。其中,式(5)及圖3曲線,用符號信噪比Es/N0表達符號錯誤概率似乎更合理。但是,碼元的歸一化信噪比Eb/N0遠比Es/N0用得廣泛,這也許是在大多數文獻中都用式(3)與圖2曲線的原因。

(3) 在工程實際應用中,人們更關心的不是系統的整體性能,而是傳輸的信息數據的誤碼率。所以,┦(1)及圖1曲線更具有實際價值。在運用式(1)與圖1曲線時,應注意區分符號與碼元寬度(Ts與Tb)異同的兩種情況,二者的發送功率相差一倍。

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作者簡介

高進濤 男,1981年出生,63898部隊工程師。主要從事電子信息裝備試驗與評估。

朱靜波 男,1981年出生,63898部隊工程師。主要從事虛擬仿真與Core Draw制圖。

王元龍 男,1981年出生,63898部隊工程師。主要從事電子信息裝備試驗與評估。