基于模式匹配法的布拉格光柵仿真研究

陳 歡 ,湯 斐

(孝感學院物理與電子信息工程學院,湖北孝感432000)

模式匹配法是一種利用傳輸矩陣、散射矩陣和完全匹配層直接求解電磁場邊值問題的方法。它不同于時域有限差分法的網格分析模式,對橫向結構相同的光波導,在每個層面上用同一個矩陣進行描述,因此計算速度快,尤其適合于大型光波導集成器件的計算,是一種非常有前景的數值模擬方法。在周期性結構和多層介質材料、變折射率光學集成器件中得到了廣泛的應用。

用模式匹配法求解一個復雜光波導器件中的光場分布時,可以將光波導器件沿縱向方向把它分割成很多小段,每小段內光波導的橫向結構和折射率分布近似不變,因此其內部的光場分布可以用其本征解的疊加來表示。而在兩段光波導連接處,根據光場的連續性可以從一側的本征模系數推導出另一側的本征模系數,此即模式匹配法的核心思想[1]。

1 模式匹配法

圖1表示相鄰兩段波導Ⅰ和Ⅱ的分界面。在介質 Ⅰ中沿方向有一個p階入射模,該入射模式在波導 Ⅰ和 Ⅱ的分界面發生反射,在介質 Ⅰ中形成一個反射場,同時在介質 Ⅱ中形成一個透射場。我們將反射場和透射場分別用介質 Ⅰ和 Ⅱ中的本征模展開來表示[2],根據光場的切向分量連續性得到如下方程:

圖1 相鄰兩段波導的分界面

磁場 H中的負號是根據本征解相對應的反向傳輸本征解而得到的。式中的展開系數 Rj,p和Tj,p分別稱為反射系數和透射系數。將(1)式右邊叉乘,將(2)式左邊叉乘。這里,i表示介質Ⅰ或介質 Ⅱ。再記重疊積分為:

可以得到:

進一步可利用正交關系式

將(4)式和(5)式化簡為:

加減這些場方程得到:

在(8)式和(9)式中,列出 p從1→N的所有方程,最后得到:

在上述兩個表達式中 TⅠ,Ⅱ和RⅠ,Ⅱ稱為透射矩陣和反射矩陣,角標 T表示轉置矩陣。如果用列向量Ainc表示任意一個入射波的本征模展開系數Ainc,則反射場和透射場可以寫為:

這樣就得到了從介質 Ⅰ到介質 Ⅱ的反射矩陣 RⅠ,Ⅱ和透射矩陣 TⅠ,Ⅱ,利用同樣的辦法可以得到從介質 Ⅱ到介質 Ⅰ的反射矩陣RⅡ,Ⅰ和透射矩陣 TⅡ,Ⅰ。綜合這四個矩陣就可以描述相鄰兩斷波導界面處的光場分布情況。在采用模式匹配法的計算過程中所取用的本征模的個數越多,計算結果就越精確,但隨之而來的計算量也越大。

2 布拉格光柵仿真研究

圖2 布拉格光柵結構圖

根據上述討論,對布拉格光柵來進行仿真模擬。根據布拉格光柵的結構圖(見圖2),設入射光λ=1.5102μm,n1=1.53,n2=1.52。計算在 d1段對應的光波導中的第一個導模的值β1=6.2811302878867;同樣計算在 d2段對應的光波導中的第一個導模的值β2=6.31177186060469。取 d1=2.5π/β1=1.2504,d2=2.5π/β2=1.2443,用512個周期進行計算布拉格光柵的反射率和透射率,得到圖3。其中實線代表反射率,虛線代表透射率。從圖3中可以看出,該布拉格光柵的反射帶寬為1.3 nm。

圖3 布拉格光柵的反射率與透射率特性

記Δn=|n1-n2|,對比計算兩個布拉格光柵,第一個布拉格光柵的折射率分別為 n1=1.52和 n2=1.53,Δn=0.001;第二個布拉格光柵的折射率分別為n1=1.52和n2=1.521,Δn=0.001。設定好布拉格光柵的周期和長度,使其反射率都接近1,分別在其中心波長附近進行計算,得到圖4,我們看到,Δn=0.001的布拉格光柵的反射帶寬為1.3 nm,而Δn=0.001的布拉格光柵的反射帶寬僅為0.4 nm。當折射率差增大時布拉格光柵的反射帶寬增大。

為了分析布拉格光柵中周期數對反射率的影響,設入射光λ=1.5μm,n1=1.53,n1=1.52,d1=1.2504,d2=1.2443。采用模式匹配法取256個周期和512個周期在中心波長附近進行計算,得到圖5。這時取256個周期時,布拉格光柵的反射率最大也只有70.34%,當取512個周期時,布拉格光柵的反射率近似為1。也就是說,當布拉格光柵的周期長度增加時反射峰值增大。

圖4 折射率差對布拉格光柵反射率的影響

圖5 布拉格光柵的周期數目對反射率的影響

根據圖2,設入射光λ=1.5102μm,n1=1.53,n1=1.52,d1=1.2504,d2=1.2443,用512個周期計算反射率接近1的光場分布見圖6。

改變入射光的波長λ=1.5102μm,其他條件不變得到圖7的光場分布圖。此時透射率接近1。可看到從右至左,反射光時大時小,無法有效的累積疊加,因此總反射光很弱(最大約0.5)而透射很強(大約10)。

圖6 布拉格反射器中的光場分布

圖7 布拉格濾波器中的光場分布

3 結論

本文討論了模式匹配法的基本理論框架,并利用MA TLAB編程對不同結構參數的布拉格光柵進行了仿真模擬,發現當折射率差增大時布拉格光柵的反射帶寬增大,而當布拉格光柵的周期長度增加時反射峰值增大,這些行為特征與傳統耦合波理論分析相一致。我們相信這些結論對布拉格光柵的設計具有一定的幫助。

[1] Bienstman P,Baets R.Waveguide and resonator modeling based on ectorial eigenmode expension and perfectly matched layer boundery conditions[Z].Progress In Electromagnetics Research Symposium-PIERS 2000.United States,2000.

[2] Berenger J P.A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves[J].Journal of Computational Physics,1994(2):185-200.