簡化曲面積分的若干種方法

周 彬，吳軍優

（黃淮學院 數學科學系，河南 駐馬店 463000）

眾所周知，積分的運算并不似微分具有構造性，而曲面積分的計算更是繁瑣。

在進行曲面積分的計算時，利用積分的性質和被積函數的特征，可以使問題快速得到解決。

1 曲面積分的奇偶對稱性和若干結論

定理1：設分段光滑的空間曲面∑關于xoy面對稱，∑1為曲面在xoy面的上半部分，∑1：z=z（x，y）≧0，那么：

證明：設∑=∑1+∑2，其中∑2為與∑1關于xoy面對稱的曲面，∑1：z=-z（x，y）。

定理2：設分段光滑的空間曲面∑關于yoz面對稱，∑1為曲面在yoz面的前半部分，∑1：x=x（y，z）≥0，那么：

2 利用向量計算形式簡化第二型曲面積分

3 結語

第二型曲面的計算，首先觀察其積分區域是否對稱和被積函數的特征，如果具備上述條件，就可以利用結論大大的簡化了計算。當然也可以考慮向量計算形式，向量的計算公式在高斯公式失效的情況（P，Q，R不具有連續的一階偏導數）下，作用更大。

［1］華東師范大學數學系.數學分析第三版（下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［2］裴禮文.數學分析中的典型問題與方法［M］.北京：高等教育出版社，1993.