用Riccati方程方法解Burgers方程

范夢慧,龔倫訓

(1.貴州民族學院物理與電子信息科學學院,貴州貴陽 550025; 2.貴州師范大學物理與電子科學學院,貴州貴陽 550001)

0 引 言

非線性物理現象越來越受到廣大學者的關注,利用光纖研究許多非線性物理現象,尋求非線性方程的解,是一個重要的研究方向.一些新方法不斷被學者們提出來,如漸進法、格林函數法、Jacobi橢圓函數展開法、特殊函數求解法等[1-4].

Burgers方程是非線性的耗散方程,其也被許多文獻選為典型范例[5,6],一些學者對非線性Burgers方程的精確解做了研究[7].本文利用Riccati方程方法[8],并用數學軟件Mathematica求解Burgers方程,得到了Burgers方程的沖擊波解及相應的孤立波解,并利用Matlab作圖對其加以說明.

1 方法簡介

對于有兩個變量 x和t的非線性波動方程,

當波沿正x方向以速度c傳播時,可做如下行波變換,

式中,c是波速.

將方程(2)代入方程(1)得到非線性常微分方程,

設方程(3)的形式解為,

式中,Ai為待定常數,N由f(ζ)的非線性項和最高階導數項平衡而得,并同時滿足,

這里,“′”是d/dζ,r、p、q是待定常數,它們的取值確定函數f(ζ)的具體形式.

(1)當 p2-4rq＞0,且 pq≠0(或qr≠0),

(2)當 p2-4rq＜0,且 pq≠0(或qr≠0),

當然,r、p、q還可取其他不同的值,相應的f(ζ)也有其他形式的解,具體可參閱文獻[7].

將式(4)、(5)代入式(3),然后合并 fi(ζ)的同類項,并令系數為零,得到系數Ai的代數方程組,解這個代數方程組可確定此系數.

2 構造Burgers方程的解

Burgers方程是非線性的耗散方程,其一般形式為[5,6],

式中,v＞0為耗散系數.

設式(7)有如下形式的行波解,

把式(8)代入式(7)得,

式(9)的非線性項為,

最高階導數項為,

根據非線性項與最高階導數項平衡得N=1.所以式(9)的解可以表示為

把式(12)和式(5)代入式(9),再合并fi的同類項,且令前面系數為零,得到如下代數方程組,

利用計算軟件Mathematica求出方程組(13)的解如下,

將式(14)代入式(12),再選擇合適的參數 r、p、q來確定f(ζ)的具體形式,可得到式(9)的一些行波精確解.其中,當 p-4rq＞0,且 pq≠0(或 qr≠0),A0=c+pv,A1=2qv,有,

當取r=1,p=1,q=0.2,c=2,v=20,-30≤ζ≤30,用數學軟件Matlab對式(15)作圖,結果如圖1所示.此時,圖1顯示式(15)是一個沖擊波解.

如將 u對ζ求導數一次,得

圖1

圖2

3 結 論

本文采用Riccati方程方法,利用數學軟件求解Burgers方程,得到Burgers方程的沖擊波解和相應的孤立波解,方法簡便,并繪圖說明其解.此外,r、p、q還可取其他不同的值,便還能得到一些精確解,這里不一一列舉.

[1]葉曉林.非線性單擺的三級近似解[J].大學物理,1993,12 (1):26-27.

[2]孫春峰.非線性單擺的格林函數解法[J].大學物理, 2004,23(1):9-11.

[3]佘守憲.非線性振動、非線性波與Jacobi橢圓函數[J].大學物理,2004,23(1):3-8.

[4]夏清華.含項非線性振子運動的研究[J].大學物理, 2005,24(4):6-7.

[5]劉式適,劉式達.物理學中的非線性方程[M].北京:北京大學出版社,2007:168-169.

[6]郭玉翠.非線性偏微分方程引論[M].北京:清華大學出版社,2008:40-43.

[7]賀 鋒,趙 凡.用三角級數和Maple軟件求Burgers方程的精確解[J].大學物理,2009,28 (3):8-9.

[8]Xie F D,Yuan Z T.Computer Algebra and Solutions to the Karamoto-sivashinsky Equation[J].Commun Theor Phys,2005,43(1):39-44.