利用交換群研究群在集合上的作用的像集

高 茜,楊 凡,葛榮會

(成都理工大學信息管理學院,四川成都 610059)

0 引 言

從同態映射與同構映射是一種包含關系可知,同態映射的原像集與像集有很多性質并不像同構映射那樣完全等價[1].而群在集合上的作用本質上僅是一個同態映射,而并不一定是同構映射.交換群是一類特殊群,群在集合上的作用是否能使得其原像集與像集是交換群的這一性質相互等價,是我們在本文中將討論的問題.進一步考慮群在集合上的作用與其逆作用既有區別又有聯系,故群在集合上的作用的像集是否為交換群,與群在集合上的該作用是否是其逆作用之間應存在某種聯系,本文對此也進行了討論.

1 預備知識

定義1[2]設α:G→H是群同態映射,則,

稱為同態α的像集.

定義2[3]Hamilton四元數的單位,±1、±i、± j、±k,在乘法下組成一個8階群,稱為四元數群,記為Q8,且 Q8中元素的乘法滿足,

定義3[4]一個群,假如它的結合法還滿足交換律,

該群就稱為交換群或Abel(阿貝爾)群,否則稱為非交換群.

定義4[2]設Ω ={α,β,γ…}是一個非空集合,其元素稱為點.SΩ表示Ω上的對稱群.所謂群 G在Ω上的一個作用φ,是指 G到SΩ內的一個同態.即對每個元素x∈G,對應Ω上的一個變換φ(x):α |→αx,并且滿足,

或者,

定義5[5]設Ω ={α,β,γ…}是一個非空集合,其元素稱為點.SΩ表示Ω上的對稱群.所謂群 G在Ω上的一個逆作用φ,是指G到SΩ內的一個逆同態[6].即對每個元素 x∈G,對應Ω上的一個變換φ(x):α|→αx,并且滿足,

或者,

2 主要結論

下述命題均是在φ是群G在集合Ω上的一個作用的前提下進行討論的.

命題1 如果群 G是交換群,則群 Gφ是交換群.

證明 ?φ(x),φ(y)∈Gφ,有x,y∈G.由群G是交換群,有 xy=yx,則,φ(xy)=φ(yx).又由φ是群G在集合Ω上的一個作用可知,

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注意到φ(x),φ(y)的任意性,故Gφ是交換群.

命題2 如果群Gφ是交換群,則群G不一定是交換群.

對此命題可舉反例進行說明.

群 Gφ是交換群,群 G可能出現以下兩種情況:第一種,群 G是非交換群(見例1);第二種,群 G是交換群(見例2).

例1 取群G=Q8,集合Ω={1,2,3}.規定群Q8在 S3上的作用φ滿足,

顯然,群Gφ={(1),(12)}.這里,群Gφ={(1), (12)}是交換群,但群 Q8卻是非交換群.

例2 取群G={±1,±i},集合Ω={1,2,3}.規定群 G={±1,±i}在S3上的作用φ滿足,

命題3 若Gφ群是交換群,則群在集合上的作用φ即為其逆作用.

證明 φ是群G在集合Ω上的作用,即對每個元素x∈G,對應Ω上的一個變換φ(x):α|→αx,并且滿足,

又 Gφ是交換群,有φ(x)φ(y)=φ(y)φ(x), φ(y),φ(x)∈Gφ,則,

故對每個元素 x∈G,對應Ω上的一個變換φ(x):α|→αx,并且滿足,

即,φ是群G在集合Ω上的一個逆作用.

命題4 若群Gφ是非交換群,則群在集合上的作用φ必不是其逆作用.

證明 采用反證法.設結論不真,則群在集合上的作用φ是其逆作用,此時有,

故群 Gφ是交換群,與題設矛盾.

結合命題3和命題4,可得出群 Gφ是交換群與群在集合上的作用φ即為其逆作用之間是充要條件.顯然,當群Gφ是非交換群時,群在集合上的作用φ也不是其逆作用,在這種情況下,情況將變得復雜.如何利用已知的群在集合上的作用去找到它的逆作用,以及群 G除了是交換群外,還有哪些情況可以共同構成使得群Gφ是交換群的必要條件,是值得進一步研究的問題.

[1]熊全淹.近世代數[M].武漢:武漢大學出版社,2004.

[2]徐明曜.有限群導引(上)[M].北京:科學出版社,2007.

[3]王世民.Hamilton群[J].西北師范大學學報(自然科學版),1985,21(1):1-4.

[4]魏貴民.現代數學基礎[M].北京:高等教育出版社,2007. [5]高 茜.群在集合上的逆作用[J].重慶文理學院學報(自然科學版),2009,28(5):15-17.

[6]任禎琴,張 良,郭繼東.群上的逆同態[J].伊犁師范學院學報(自然科學版),2009,3(4):13-15.

[7]李世榮,史江濤,何宣麗.交換群和循環群的若干充分必要條件[J].廣西科學,2006,13(1):1-3.

[8]劉 靜.關于Abel群同態的擴張[J].山東大學學報(理學版),2010,45(6):39-42.