一類延時積分方程的外推算法

肖繼紅,王李會,呂 濤

(1.四川大學錦江學院,四川彭山 620860;2.四川瀘縣第六中學,四川瀘州 646107; 3.四川大學數學學院,四川成都 610064)

0 引 言

對積分方程的處理中,有很大一部分是積分限帶有延遲項的延時積分方程.本文研究了下述的延時積分方程,

對于延時積分方程(1),其既不同于Fredholm方程,也不同于Volterra積分方程.目前,延時方程在隨機過程、生態學、生物數學等方面有重要的應用, Brunner[1,12,14]對此有詳細的闡述.Andreoli[2]通過Picard迭代核的方法揭示了方程(1)的解非常復雜. Chambers[3]對方程(1)的解采用級數解,且只是理論上的一個解.目前,學者在延時積分方程的算法的研究中,取得了大量的研究成果,如從穩定性方面考慮可參閱徐道義[11]、匡蛟勛[5,15]的相關研究.

本文用數值方法分析方程(1)的算法,通過對該方程的算法分析并與文獻[10]進行對比,文獻[10]中收斂階只達到 O(h),本文收斂階能達到O(h2),同時,通過外推技術,可使收斂的誤差達到更高的精度.理論和算例表明,外推技術具有節約存儲量、減少計算量、降低計算復雜度等優點.

1 方程的離散算法

利用Banach不動點原理證明延時積分方程(1)的存在性和唯一性.首先引入Lipschitz條件:假設核K(t,s′,·)連續,且對固定的s,t,存在0＜L＜1滿足Lipschitz條件,

定理1 設 u∈C3[0,T],核 K(t,s′,u)關于變量t,s連續,且對u滿足Lipschitz條件,則方程(1)存在唯一解.

證 令,

則有,

取ρ(u,v)表示距離,則有,

存在唯一解.

下面對方程(1)采用中矩形公式[4]離散.

式中,[qi]表示不超過 qi的最大整數.

然后,對積分 I1、I2進行離散化.在[0,t[qi]], [t[qi],qti]上均采用中矩形公式,可得到,

定理2 設 u∈C3[0,T],β∈[0,1],x,y∈[0,T],且有 z=βx+(1-β)y.則成立,

方程(9)是一個非線性方程,uj,j=0,1,…,N,可通過下面的迭代算法計算,其計算步驟為:

步驟1 置充分小的ε＞0,u0=g(t0),i:=1.

步驟2 置u0i= ui-1,m:=0,um+1i(i≤N)通過下面的簡單迭代計算,

步驟3 假設有|umi+1-umi|≤ε,置 ui:= umi+1,且i:=i+1,繼續步驟2;否則,置m:=m+ 1,進行步驟2.

2 收斂性分析,漸進展開式和外推技術

先給出Euler-Maclaurin求和展開式[6,7],其也是外推和后驗誤差估計的基礎.

定理4 設核 K(t,s′,·)∈C3[0,T]×[0,T],且滿足Lipschitz條件(2).記ei=u(ti)-ui為算法的誤差,則存在不依賴于 h的常數CM＞0,使得,

證 分別對 I1、I2用中矩形公式漸進展開,I1, I2分別有漸進誤差 EI1、EI2,由引理3,可知,

式中

由定理2可知,

由Taylor展開式可以得到下面的式子,

式中:

用(13)式減去(9)式,可以得到誤差{ei}滿足的方程組:

兩邊取絕對值,由Lipschitz條件,可以得到{ei}所滿足的不等式組:

取,

則有,

由離散Gronwall不等式[8,9]可得,

對于某個不依賴于 h的常數CM＞0,得到,

即得到定理的證明.

下面進一步考慮外推和后驗誤差估計.

對已知的 u(t),首先考慮下面的輔助問題,設Q∧k(t),k=1,2,滿足下述的延時積分方程,

并且Q∧k(ti)滿足它的近似方程,

用與定理4相類似的方法,可得到,

把式(20)代入式(14)中,可以得到,

由離散Gronwall不等式,存在常數 C滿足,

由此可以得到,

由上面的討論,我們可以得到下面的定理.

定理5 設方程(1)的解u=C3[0,T],且 K,g∈C3[0,T],K(t,s′,u(s))對 u滿足Lipschitz條件,則存在不依賴于步長 h的函數滿足漸進展開式Q∧(t)滿足式(24).

式(24)意味著對于算法可以采用Richardson-h2外推技術,并可得到更高的精度,有,

式中,uhi/2與uih是在式(13)中分別用h/2與h算出來的.由式(25),uei-u(ti)有精度 O(h3).因此,可以得到后驗誤差估計,

3 數值算例

為了說明本算法的有效性,考慮下面的延時積分方程

該方程有精確解 u(t)=t.采用數值算法算出h=0.05和 h=0.025時的數值結果與誤差如表1所示.

從表1看出,最小誤差比為3.67,與理論值4= 22接近,這說明算法的代數精度是2,與定理2吻合.同時,通過外推,精度能得到大大的提升,這充分說明外推在提高精度方面是非常有效的.

表1 方程數值解的結果與誤差

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