淺析高中數學思想在高考考查中的滲透

李劍評

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淺析高中數學思想在高考考查中的滲透

李劍評

漳州市南靖一中

數學思想是數學內容與數學方法等反映在人的頭腦中經過思維活動產生的結果，它是數學內容與數學方法的升華與結晶。《數學課程標準》明確指出，“理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法、獲得廣泛的數學活動經驗。”對數學思想、方法的考查始終是高考的重頭戲，在高中數學中，尤其以數形結合思想、分類討論思想、方程函數思想、化歸思想為重點。該文就這幾類數學思想在高考考查中的滲透做簡要介紹。

數學思想 高考 高中數學

1 數形結合思想

所謂數形結合，就是利用數的抽象、嚴謹特點和形的直觀、表意特點，在具體的研究過程中，把抽象思維和形象思維結合起來分析問題，從而解決問題的思想方法。數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合。數與形之間的這一對應關系，往往能使我們盡快找到解題途徑或簡化解題過程。

2 分類討論思想

分類討論思想是對數學對象進行分類以尋求解答的一種思維方法，實質上它是通過分類將原來條件中隱含的因素顯露出來，從而縮短已知條件與結論之間的距離，分清每一個對象找出問題的內在聯系，最終解決問題。在實際教學中，我們常常把一個數學問題按一定的標準分成幾個部分或幾種情況，一一解決，也就是“分而治之，各個擊破”。

例2：（2009四川卷文）2位男生和3位女生共5位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是

A. 60 B. 48 C. 42 D. 36

[答案] B

三類之和為24＋12＋12＝48種。

方程過程是從算術方法到代數方法的一種質的飛躍，函數關系是變量與變量之間一種特殊的對應、映射與變換。方程與函數的思想包括兩個基本方面；一是將具體問題中各變量的數量關系所形成的表達式看作方程，同時運用方程的手段解決問題的思想，即方程思想；二是用運動和變化的觀點，把具體問題中的數量關系用函數的形式表示出來，并用函數的手段加以解決的思想，即函數思想。這種思想的關鍵是選用恰當的數學形式表示問題，就是把問題數學化。

[答案] -8

[命題立意] 本題綜合考查了函數的奇偶性,單調性,對稱性,周期性,以及由函數圖象解答方程問題,運用數形結合的思想和函數與方程的思想解答問題。

4 化歸思想

所謂化歸就是化不熟悉問題為熟悉問題、化復雜問題為簡單問題、化難為易、化未解決為已解決，即把“未知”化歸或轉化為“熟知“從而解決問題；它的關鍵是確定合理、可行的化歸方案。

例4：（2004浙江卷（理）第12題）：若f（x）和g（x）都是定義在實數集R上的函數，且方程x－f［g（x）］＝0有實數解，則g［f（x）］不可能是（）

[解析] 本題直接解不容易，不妨令f（x）＝x，則f［g（x）］＝g（x），g［f（x）］＝g（x），x－f［g（x）］＝0有實數解即x－g（x）＝0有實數解。這樣很明顯得出結論，B使x－g（x）＝0沒有實數解，選B。

這種從抽象到具體再到抽象，使學生從心理上感到非常輕松，此類常見的抽象函數式還有一次函數型f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋m，對數函數型f（xy）＝f（x）＋f（y），冪函數型f（xy）＝f（x）f（y）。

點評：把抽象問題具體化是在數學解題中常有的化歸途徑，它是對抽象問題的理解和再認識，在抽象語言與具體事物間建立聯系，從而實現抽象向具體的化歸。

例5：（2005全國卷Ⅱ第15題）在由數字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數字的四位數中，不能被5整除的數共有個。

[解析] 不能被5整除的數要分類討論，情況較多，這時我們不妨換一個角度，從反面入手考慮。注意到不能被5整除實質上是末位數字不是0，也不是5。用間接法。

∴滿足題意的數共有300－60－48＝192個。

點評：一些數學問題，如果從條件出發，正面考慮較難較繁，不妨調整思考方向，從問題的結論入手，或從問題的條件與結論的反面入手進行思考，迂回地得到解題思路，這叫做“正難則反”。“正難則反”是一種重要的解題策略，靈活用之，能使許多難題、趣題和生活中的問題獲得巧解。

5 結語

不同的數學思想具有各自的優勢與缺陷，不存在一種普遍有效能解決任何問題的數學思想，同時數學之間具有互補性，有時解決一個問題需要運用幾種不同的數學思想，我們應該經常練習和運用，促進數學思想的形成與融合；當然，掌握數學思想光靠練也是不夠的，其中的竅門，更多的是靠學生通過“悟”來把握，因此在做題后一定要做反思和總結，領悟題中的內在聯系，鍛煉自己的大腦，達到觸類旁通的效果。