操作風險損失的廣義帕累托分布參數估計及其應用

譚德俊,鄒敏燁

(湖南大學金融與統計學院,湖南長沙 410079)＊

操作風險損失的廣義帕累托分布參數估計及其應用

譚德俊,鄒敏燁

(湖南大學金融與統計學院,湖南長沙 410079)＊

極值理論表明大于某一閥值的樣本服從廣義帕累托分布,該結論在金融風險計量和保險精算中有著廣泛的應用。然而,由于其參數沒有可接受的估計方法,致使其應用受到限制。論文在推導出廣義帕累托分布的條件矩的基礎上,研究了基于操作風險損失的廣義帕累托分布的參數估計問題。并且基于我國商業銀行1994～2008年的操作風險損失數據對經濟資本配置進行了算例分析。

極值定理;廣義帕累托分布;參數估計;操作風險損失;經濟資本

一、引言

極值理論是研究序列極端值分布特征的理論。Fisher和 Tippett(1928)證明了若獨立同分布的序列的標準極大值收斂于某分布,則其極限分布就是廣義帕累托分布。Gnedenko(1943)證明了序列極端值分布區域應用的極端損失尾部準則。Gumbel (1958)將上述研究成果進行了系統的總結,形成了以第一極值定理為重要結論的極值理論。Pickands,Balkema-De Haan證明了第二極值定理,得到了來自同一總體的簡單隨機樣本,只要選擇的臨界值u足夠大,超過該臨界值的樣本點近似地服從參數為ξ,μ,σ的廣義帕累托分布[1,2]。自Jenkinson (1955)把極值理論應用于風險研究以來[3],極值理論開始逐步在保險和金融領域中廣泛應用。Bekiros(2005),Brooks等針對股票市場、期貨市場等的研究表明:極值理論方法比其他方法更準確地描述序列分布的尾部特征,是一種比較準確的分位數預測工具,尤其是僅采用較少的樣本便能計算出比較準確的VaR值[4,5]。國內不少學者對風險計量以及利用極值理論進行風險計量作了有益的研究。彭建剛等利用有序多分類Logistic模型測量違約概率[6],周好文等對應用極值理論度量金融風險進行了實證研究[7],宋加山等對極值理論中閾值選取進行了研究[8],高洪忠對廣義極值理論和它對金融風險的尾部分布進行了研究[9]。

國內外學者的研究都得到了一些有用的結論,然而,實際應用的研究中,由于超過臨界值的樣本并非所有的樣本,盡管它們近似服從廣義帕累托分布,但由于很難獲得其參數的估計值,這使得極值理論的應用受到了嚴重的制約。就目前已有的國內外文獻看,對形狀參數ξ估計的研究取得了比較好的成果,平均余值函數法和Hill估計法是廣泛接受的方法。而位置參數μ和尺度參數σ的估計尚未有可以廣泛認可的結論,甚至在具體應用中對參數的估計方法是錯誤的。鑒于極值理論的應用日益廣泛,以下試從分析廣義帕累托分布的條件矩入手,研究廣義帕累托分布的參數估計問題,并基于所搜集的中國商業銀行操作風險損失數據,研究防范商業銀行操作風險損失所需要配置的經濟資本數量。

二、操作風險損失的尾部分布和參數的確定

設 X1,X2,…Xn是操作風險損失樣本數據,用u表示閥值,假設超過閥值 u的樣本個數為nu,用X1,X2,…Xnu表示超過閥值的樣本觀測值,設樣本X1,X2,…Xnu獨立同分布,分布函數為F(x),令:

定義 X相對u的超額值的分布函數為:

顯然

由定理 (Pickands(1975),Balkema-de Haan (1974))得,對充分大的閥值 u,超額值的分布函數近似地服從廣義帕累托分布 Fξ,μ,σ(x)。其中:

由 F(x)=[1-F(u)]Fu(y)+F(u)得出:

其中,ξ是重要的形狀參數,μ是位置參數,而σ是分布的尺度參數。

從理論上講,閥值應比較大。但閥值越大,用來估計尾部分布函數的樣本觀察值的數量就越少,估計的參數變化比較大,所以需要找到合適的閥值。在此先研究隨機變量 X服從形狀參數ξ>0的帕累托分布時的條件期望e(u)=E(X-u|X>u)。

由于 X的分布函數為:

下面考慮樣本平均余值函數:

下面來研究操作風險損失的尾部分布的其它參數估計,為此先考慮條件一階矩 E(X-u|X>u)和條件二階矩 E[(X-u)2|X>u]。可以證明:

解得:

解得:

這樣便得到基于條件樣本的廣義帕累托分布的參數估計值,即操作風險損失超出閥值 u的樣本值的極端損失分布函數為:

三、操作風險損失分布及其應用的算例分析

(一)操作風險損失分布的算例分析

算例部分所用的數據來源于中國人民銀行銀監會網站和國內幾大網站的財經新聞專欄及其他相關文獻論文中收集到的中國商業銀行1994～2008年間的各類操作風險的損失金額數據共計305個。雖然有國有商業銀行和股份制商業銀行的區別,但是他們的客戶群體具有相似性,又處于同樣的社會、文化、政治、法律與政策環境下,因此,這些商業銀行可視為本質上是同質的,故把它們假設為同一個商業銀行的數據,運用其作為案例分析,具有一定的合理性。為研究的方便,假設不同年度以及同一年度各類操作風險損失相互獨立并有相同的分布。

根據前面的分析,可以用樣本數據得出的平均余值散點圖在超過某一特定臨界值 u0時基本呈一條直線(或至少具有正斜率)來判定超過臨界值 u0的損失值服從廣義帕累托分布并據此估計 u0值。平均余值散點圖(u,^e(u))見圖1。

通過余值散點圖(u,^e(u))可以看出,當 u0值取150 000萬元左右時,除兩點外其余所有的點均呈現明顯的正斜率線性變化趨勢。因此,選取閥值為150 000萬元。從而易得 nu=7,(x299)+=17 920, (x300)+=27 000,(x301)+=50 000,(x302)+= 110 000,(x303)+=120 000,(x304)+=249 400, (x305)+=7 160 640。

圖1 平均余值散點圖

將以上樣本數據代入式(8)、(11)、(12)就可以得到廣義帕累托分布各參數的估計值:^ξ=0.4002, ^μ=-861649.70,^σ=257919.02。將以上參數估計值代入式(13)便得到基于條件樣本的廣義帕累托分布的參數估計值,即操作風險損失超出閥值 u= 150000的樣本值的極端損失分布函數為:

(二)操作風險的經濟資本配置

經濟資本是指在一定的置信度下,用來吸收或緩沖風險帶來的損失的資本。VaR是指在正常的市場環境下,在一定的置信水平和期間內,最大損失的度量。若一定時間內,風險造成的損失為X,則置信水平 p下的VaR值VaRp由P{X VaRp}=p確定。因此,置信度 PF的經濟資本便為V aRp,于是,如果風險損失 X的分布函數為 F(x),則VaRp= F-1(p)。

對于給定的置信度 p,VaR值可以由式(14)進行計算得出:

將超出VaRp的極端損失的期望值記為ESp, ESp和VaR的關系如下:

由于ESp是在VaR基礎上衍生出來的風險度量方法,與VaR相比,它更能揭示尾部風險的極端情形,更穩定、準確。因此,對操作風險損失事件計算經濟資本,選用ESp值比VaR值更為適合。

選取一年作為時間間隔,置信度99.9%來確定經濟資本,即取 p=99.9%。根據式(15)即可計算操作風險在99.9%置信度下的最大損失,得:

根據式(16),超過99.9%置信水平的操作風險VaR的期望值為:

于是,在99.9%的置信度下,一年內抵御操作風險需要配置的經濟資本約為2 409 102.852萬元。

四、結語

極值理論不研究序列的整體分布,只關心序列的極端值分布,不用事先假設樣本所來自的總體的分布類型,而是基于同一總體的樣本數據本身得到樣本極值的變化性質,因此,具有超越總體分布函數類型的估計能力,可廣泛應用于信用風險、市場風險、操作風險損失的尾部分布近似,由于其參數沒有有效的估計方法,其應用受到了嚴重的制約。以上在研究廣義帕累托分布的條件期望與條件方差的基礎上,提出了一種基于條件矩與誤差最小相結合的綜合估計方法,在利用極值理論分析極端事件損失的概率分布方面有著比較重要的應用,并且通過算例分析為利用廣義帕累托分布計量金融風險和配置經濟資本提供了一種可行的途徑。

[1]Pickands,J..Statistical inference using extreme order statistics[R].Annals of Statistics,1975,3:119-131.

[2]Balkema,A.,and Laurens de Haan.Residual life time at great age[R].Annals of Probability,1974,2:792-804.

[3]Jenkinson A.F.The frequency distribution of the annual maximum(or minimum)values of meteorological elements[J]. Quarterly Journal of the Royal Meteorological Scoiety,1955, (87):158-171.

[4]Stelios Bekiros D,Dimitris Georgoutsos A.Estimation of value at risk by extreme value and conventional methods:a comparative evaluation of their predictive performance[J].International Financial Markets,Institutes and Money,2005,(7):209-228.

[5]Brooks C,Clare A D,Dalle Molle J W,Persand G.A comparison of extreme value teory approaches for determining value at risk[J].Empirical Finance,2005,(3):339-350.

[6]彭建剛,屠海波,何婧,周穎輝.有序多分類logistic模型在違約概率測算中的應用[J].財經理論與實踐,2009,(4):2-7.

[7]周好文,楊旭,聶磊.銀行操作風險度量的實證分析[J].統計研究,2006,(6):47-51.

[8]宋加山,李勇,彭誠,王彪,方兆本.極值理論中閥值選取的Hill估計方法改進[J].中國科學技術大學學報,2008,38(9):1104-1108.

[9]高洪忠.用POT方法估計損失分布尾部的效應分析[J].數理統計與管理,2004,(7):64-69.

Research on the Parameters Estimation and Application of Generalized Pareto Distribution:Based on Operational Risk Loss

TAN De-Jun,ZOU Min-ye

(College of Finance and Statistics,Hunan University,Changsha,Hunan 410079,China)

Extreme value theory(EV T)shows that the limiting distributions for the maximum of a very large collection of random observations which peak over threshold(POT)and from the same arbitrary distribution are distributed generalized Pareto distribution(GPD).The POT approach has been developed largely in financial risk measurement and actuarial insurance.But its application subjects to the parameters estimation.In this paper,after inferring the condition moments,the parameters estimation of GPD have been researched based on operational risk loss. With the operational risk loss data of Chinese commercial banks from 1994 to 2008,empirical research into economic capital allocation have been carried out.

Extreme Value Theory;Generalized Pareto Distribution;Parameter Estimation; Operational Risk Loss;Economic Capital

F830 文獻標識碼: A 文章編號:1003-7217(2010)06-0022-04

2010-06-10

教育部博士點基金項目(2006053211);湖南省研究生科研創新項目(CX2009B062)

譚德俊(1964-),男,湖南攸縣人,湖南大學金融與統計學院副教授,金融管理與金融工程博士生,研究方向:數理金融與計量金融、數理統計。

(責任編輯:寧曉青)