“反證法”檢驗問題

為了說明某一結論是正確的，不從正面直接說明，而是通過證明它的反面是錯誤的，從而判定它本身是正確的，這種方法叫“反證法”。采用反證法常常能收到出奇制勝的效果。

例1 有10只鴿子飛進了甲、乙、丙三個籠子，那么至少有一個籠子飛進4只或者更多的鴿子。這結論正確嗎?

分析：假設結論不正確，也就是說，假設一個籠子里最多飛進3只鴿子，那么3個籠子里的鴿子總數最多是9只，這與題中條件“有10只鴿子飛進了3個籠子”矛盾。因此，假設是錯的，原題結論“至少有一個籠子飛進4只或更多的鴿子”是正確的。

例2 有27位同學參加中國象棋比賽。在預賽階段，每人都比賽了3場，這樣做可能嗎?

分析：假設這樣做可能，即每人都比賽了3場，則比賽的總場數是：27×3÷2=40.5(場)，其結果不是整數，這與比賽的場數必須是整數相矛盾。因此，這種假設不成立。故預賽階段每人不可能都比賽3場。

例3 A、B、C、D、E五人在一次滿分為100分的測試中，得分都是大于91的整數。如果A、B、C的平均分為95分，B、C、D的平均分為94分，A是第一名，E是第三名且得分是96分，那么D的得分是多少?

分析：首先要確定D的得分名次。假設B是第二名，B至少得97分，A至少得98分。由于A+B+C=95×3=285，A+B≥98+97=195，C=285-(A+B)≤285-195=90，即，這與題中“得分都是大于91的整數”相矛盾，故B不是第二名。

同理可證：C也不是第二名。故只有D是第二名。由已知得：

A+B+C=95×3=285……(1)

B+C+D=94×3=282……(2)

(1)(2)兩式兩邊分別相減，可得出A比D多3分，由D是第二名且知D的得分必大于96可知，D為97分。