基于自回歸移動平均過程的貝葉斯質(zhì)量控制方法研究

摘要:針對自回歸移動平均過程中控制變量的觀測值并不具有相互獨立性，引入貝葉斯分析方法研究過程質(zhì)量控制問題。通過模型結(jié)構(gòu)的貝葉斯分析，利用殘差序列建立了基于自回歸移動平均過程的貝葉斯質(zhì)量控制模型，解決了觀察數(shù)據(jù)相關(guān)條件下的過程質(zhì)量監(jiān)控問題。仿真分析結(jié)果表明:貝葉斯ARMA質(zhì)量控制方法能夠有效地避免了在受控狀態(tài)下使用常規(guī)控制圖造成的漏發(fā)或虛發(fā)報警現(xiàn)象，解決了自回歸移動平均過程情況下的質(zhì)量控制問題。

關(guān)鍵詞:質(zhì)量控制;時間序列分析;ARMA模型;貝葉斯方法;仿真

中圖分類號:O212.8，C931.1 文獻標識碼:A

Bayesian Quality Control for autoregressive moving-average Processes

ZHU Huiming1 +， HUANG Chao1， YU Keming2， LIU Zaihua3， ZHAO Rui3

(1 College of Business Administration， Hunan University， Changsha 410082， China; Department of Mathematical Science， Brunel University， London UB8 3PH， UK; College of Statistics， Hunan University， Changsha 410079， China)

Abstract:To explore the quality control under the condition that the sample data in the autoregressive moving-average processes are not independent， time series models are introduced to fit these data. The Bayesian ARMA control charts are constructed with independent residual series data， and used to monitor the quality in autocorrelative processes. The results from simulation show that Bayesian ARMA quality control charts can effectively carry out quality control autoregressive moving-average processes， and avoid alarming incorrectly when the processes are under statistical control and not alarming when processes are out of control.

Key words: Quality control; Time series analysis; ARMA models; Bayesian methods; Simulation

質(zhì)量控制為世界工業(yè)經(jīng)濟的發(fā)展起到了巨大的推動作用，尤其是隨著生產(chǎn)線的廣泛應(yīng)用，線內(nèi)質(zhì)量管理特別是質(zhì)量控制圖得到了充分應(yīng)用、研究與發(fā)展。目前，隨著世界經(jīng)濟的全球化，產(chǎn)品競爭越來越激烈，如果一個產(chǎn)品沒有過硬的質(zhì)量，就很難在激烈競爭的市場中長久地生存、發(fā)展，這一點可以從日本的工業(yè)產(chǎn)品迅速占領(lǐng)國際市場得到驗證。作為質(zhì)量控制的主要技術(shù)，控制圖被廣泛地應(yīng)用在生產(chǎn)過程監(jiān)控，及時發(fā)現(xiàn)并排除在生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的問題，實現(xiàn)質(zhì)量提升，保證產(chǎn)品的質(zhì)量和經(jīng)濟效益。但是，常規(guī)統(tǒng)計控制圖的基本假設(shè)前提是觀測值獨立同分布，然而在實際生產(chǎn)過程中，許多質(zhì)量特性指標的數(shù)據(jù)生成過程并不滿足這一條件，例如，數(shù)據(jù)生成過程可能具有自相關(guān)性(AR)，自相關(guān)移動平均(ARMA)現(xiàn)象，以及自回歸條件異方差(ARCH)等行為特征，這些現(xiàn)象的出現(xiàn)違背了控制圖中控制變量的獨立性假定。如果利用常規(guī)控制圖分析過程狀態(tài)，則容易出現(xiàn)漏發(fā)或虛發(fā)警報現(xiàn)象。針對這一問題，Woodall[1]，Reynolds和Lu[2-3]，Zhang[4]，Schippe和Schmid[5]，以及Salazar和Moen[6]研究了這些過程的控制分析問題。

從現(xiàn)有質(zhì)量控制方法的構(gòu)建過程來看，它們都是利用經(jīng)典的統(tǒng)計建模技術(shù)，通過其分布不含參數(shù)的統(tǒng)計量建立起來的，其基本假設(shè)之一是參數(shù)不具有隨機性，因此也就沒有考慮模型參數(shù)的不確定性風(fēng)險問題。但是，在產(chǎn)品制造過程中，隨著時間的變化，生產(chǎn)環(huán)境也在不斷變化，質(zhì)量指標的數(shù)據(jù)生成行為并不符合獨立重復(fù)試驗條件，模型參數(shù)具有隨機性的特征，因此，Nenes和Tagaras[7]認為:運用貝葉斯方法研究統(tǒng)計質(zhì)量控制問題更符合產(chǎn)品制造過程中質(zhì)量指標的數(shù)據(jù)生成行為。目前，貝葉斯方法在質(zhì)量控制與診斷領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用[8-11]。本文將引入貝葉斯分析方法，建立基于自回歸移動平均過程過程的貝葉斯質(zhì)量控制模型，解決常規(guī)控制圖中容易出現(xiàn)漏發(fā)或虛發(fā)警報現(xiàn)象的問題。

1模型結(jié)構(gòu)的貝葉斯分析

ARMA(p，q)模型最初是由美國統(tǒng)計學(xué)家Box和Jenkins提出的，它由自回歸和移動平均兩部分構(gòu)成，其數(shù)學(xué)模型形式為

或

此處 ， ( )為模型自回歸系數(shù)， 為自回歸階數(shù); 為差分算子，即 ; ， ( )為移動平均系數(shù)， 為移動平均階數(shù);隨機誤差項 相互獨立，并且均服從正態(tài)分布 ， 為模型誤差項 的精度，它是方差 的逆，即 。

若模型(1)中自回歸階數(shù) 和移動平均階數(shù) 均是已知的，則該模型參數(shù)由三部分構(gòu)成:自回歸系數(shù)、移動平均系數(shù)和精度，相應(yīng)的參數(shù)空間為 。稱p維子集 的 個單位根均在單位圓 外}為ARMA(p，q)模型的平穩(wěn)域;而q維子集 的 個單位根均在單位圓 外}為模型的可逆域。進一步，若 ，則模型可以簡化為

，(3)

這就是ARMA(1，1)模型，它是質(zhì)量控制領(lǐng)域中常用的時間序列模型之一，本文將構(gòu)建基于該模型的貝葉斯質(zhì)量控制圖。顯然，當 和 時，則模型為平穩(wěn)可逆的。

為了研究ARMA(1，1)模型似然函數(shù)的具體形式，令

，(4)

此處 。首先，研究 的聯(lián)合分布密度函數(shù)，為此記 ， ，并設(shè) 是一個如下的 矩陣

(5)

則 ， ， ，并且

(6)

于是， 的概率密度函數(shù)為

(7)

由于 為 對稱陣，因此存在正交向量 ，使得 為一個對角陣;同時， 是一個三對角的Toeplitz矩陣，根據(jù)三對角Toeplitz矩陣的性質(zhì)，可以得到 的對角線元素

，(8)

由于 是一個正交陣，由 可得 ，因此矩陣 的逆矩陣為 ，即 ，據(jù)此可將 的概率密度函數(shù)簡化為

(9)

記

， (10)

則由(3)式，有 ，可以得到 的密度函數(shù)

因此，模型似然函數(shù)為

根據(jù)Broemeling的觀點，參數(shù) ， 及 的先驗分布密度函數(shù)設(shè)置如下

(13)

其中

此處 。根據(jù)貝葉斯定理，參數(shù)的聯(lián)合后驗分布與參數(shù)先驗分布、模型似然函數(shù)的乘積成正比，即

(14)

由 對 在 上進行積分運算，可求得 的邊緣后驗分布密度函數(shù)為

，

(15)

其中

于是，在給定 參數(shù)的條件下，參數(shù) 的后驗條件分布密度函數(shù)為

(16)

顯然，上式的右邊項是自由度 、位置參數(shù) 和尺度參數(shù) 的 分布密度函數(shù)的核;因此，在給定參數(shù) 的條件下， 的條件后驗分布為 分布，即

(17)

同樣地，在給定 參數(shù)的條件下，參數(shù) 的后驗條件分布密度函數(shù)為

，(18)

它是形狀參數(shù) ，尺度參數(shù) 的伽瑪分布密度函數(shù)的核;因此，在給定 參數(shù)下 的條件后驗分布為伽瑪分布，即

(19)

雖然在給定參數(shù) 的條件下，參數(shù) 和 的后驗條件分布屬于現(xiàn)有統(tǒng)計分布范疇，但是參數(shù) ， 和 的后驗邊緣分布的具體形式并不具有此性質(zhì)，因此，我們利用MCMC方法估計參數(shù)的取值。設(shè) ， 是參數(shù) ， 的估計，則擬合模型可以寫成如下形式:

， (20)

于是，模型殘差序列為 ， ，以及殘差均值 ，因而可以據(jù)此計算控制圖的控制限UCL 、CL和LCL的具體值:

(21)

其中平均移動極差 ，移動極差 ， 。

2 仿真分析

參數(shù)為了說明基于ARMA模型的貝葉斯質(zhì)量控制圖的構(gòu)建過程，利用WinBUGS軟件進行模擬仿真分析。在WinBUGS中要實現(xiàn)ARMA模型的貝葉斯分析，需從觀測值分解出其方差，引入一個測度誤差項 ，原估計方程改寫為:

(22)

此處 ，并記 。仿真的ARMA(1，1)模型為:

(23)

此處 。利用R軟件生成一個上述模型的隨機序列，它包括200個數(shù)據(jù)，應(yīng)用Mintab建立質(zhì)量shewart控制圖(圖1)。從圖中可以看出:7點已經(jīng)超出控制限;根據(jù)判異準則，該過程處于非平穩(wěn)狀態(tài);但是，實際上這是一個平穩(wěn)過程;因此，該控制圖發(fā)出了錯誤警報。為了避免此類現(xiàn)象的發(fā)生，構(gòu)造基于ARMA模型的貝葉斯質(zhì)量控制圖。

運用WinBUGS進行ARMA(1，1)模型貝葉斯分析，對最初的預(yù)迭代進行退火，再進行10000次Gibbs迭代。表1列出了迭代從第1001次開始至10000的WinBUGS運行結(jié)果，圖2和圖3給出了模型參數(shù)的馬爾可夫鏈軌跡及其后驗分布仿真結(jié)果。

從以上的結(jié)果可以看出:貝葉斯方法很好地模擬了模型參數(shù)。根據(jù)該參數(shù)，得到該序列的貝葉斯殘差序列，構(gòu)建ARMA模型貝葉斯質(zhì)量控制圖(圖4)。可以看出ARMA模型貝葉斯質(zhì)量控制圖有效的避免了常規(guī)控制圖虛發(fā)警報的情況。

同樣地，我們可以構(gòu)造基于ARMA模型的質(zhì)量控制圖，同樣存在虛發(fā)警報的情況(圖5);但是，基于貝葉斯殘差序列構(gòu)造的的貝葉斯EWMA控制圖，有效地避免了虛發(fā)警報的情況(圖6)。

3結(jié)束語

控制圖在質(zhì)量控制工作中應(yīng)用廣泛，具有十分重要的作用。但是傳統(tǒng)的控制圖不能對自回歸移動平均過程的受控狀態(tài)進行準確的判斷，經(jīng)常誤發(fā)或漏發(fā)警報。本文利用基于Gibbs抽樣的MCMC方法，運用WinBUGS軟件，使模型參數(shù)的貝葉斯推斷擺脫了繁瑣的高維積分計算，動態(tài)模擬出了參數(shù)后驗分布的馬爾可夫鏈，構(gòu)建了自回歸移動平均過程的貝葉斯質(zhì)量控制模型，解決了自相關(guān)情況下質(zhì)量控制問題，進一步堅定了廣大質(zhì)量管理工作者運用控制圖的信心。同時，本文也為構(gòu)造GARCH等時間序列數(shù)據(jù)生成過程的貝葉斯控制方法提供了參考。

參考文獻

[1]Jiang W， Tsui KL， Woodall WH. A New SPC Monitoring Method: The ARMA Chart [J]， Technometrics， 2000，42 (4)， 399-410

[2]Lu CW， Reynold MR. Contro l charts for monitoring the mean and variance of autoco rrelated processes [J]. Journal of Q uality Techno logy， 1999， 31: 259-274

[3]Reynolds MR，Lu CW. Control charts for monitoring processes with autocorrelated data [J]. Nonlinear Analysis， 1997，30(7):4059-4067

[4]Zhang NF. A Statistical Control Chart for Stationary Process Data [J]. Technometrics， 1998，40(1): 24-38

[5]Schipper S， Schmid W. Control charts for GARCH processes [J]. Nonlinear Analysis， 2001，47(3):2049-2060

[6]Salazar D， Moen DH. Bayesian inferences for several autoregressive processes [J]. European Joural of Operation Research， 1998， (105): 113-117

[7]Nenes G， Tagaras G. The economically designed two-sided Bayesian control chart [J]. European Journal of Operational Research， 2007， 183(1): 263-277

[8]Bayarri， M.J，García DG. A Bayesian Sequential Look at u Control Charts [J]. Technometrics， 2005，47(2):142–151

[9]Viliam Makis，Multivariate Bayesian Control Chart [J]. Operations Research. 2008， 56(2):487-496

[10]Wu， CW. Assessing process capability based on Bayesian approach with subsamples[J]. European Journal of Operational Research. 2008， 184(1): 207-228

[11]朱慧明， 韓玉啟，吳正剛. 基于隨機參數(shù)的貝葉斯過程能力指數(shù)評價模型[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)， 2004， 31(6): 105-109

ZHU HM， HAN YQ， WU ZG. Bayesian Evaluation Model of Process Capability Indices Based on the Random Parameters[J]. Journal of Hunan University: Natural Science， 2004， 31(6): 105-109

[12]Congdon P. Bayesian Statistical Modelling [M]. New York: John WileySons Ltd， 2002， 275-366.