環(huán)上Fpk+uFpk的循環(huán)碼

摘 要:利用Gray映射Φ的性質，研究了交換環(huán)R=Fpk+uFpk上任意長的循環(huán)碼。其中p是素數，k是一給定的正整數。證明了環(huán)R上長為n的碼C是循環(huán)碼當且僅當Φ(C)是Fpk上指標為pk長為npk的準循環(huán)碼。特別地，環(huán)R上長為n的線性循環(huán)碼的Gray像是有限域Fpk上指標為pk長為npk的線性準循環(huán)碼。

關鍵詞:循環(huán)碼; 準循環(huán)碼; 格雷映射

中圖分類號:O236.2;TP391文獻標志碼:A

文章編號:1001-3695(2010)06-2026-02

doi:10.3969/j.issn.1001-3695.2010.06.007

Cyclic codes over ring Fpk+uFpk

LIANG Hua1， TANG Yuan-sheng2

(1.School of Mathematical Science， Huaiyin Teachers College， Huaian Jiangsu 223300，China; 2. School of Mathematical Science， Yangzhou University， Yangzhou Jiangsu 225002， China)

Abstract:Based on the property of Gray map Φ， studied cyclic codes of arbitrary length over the commutative ring R =Fpk+uFpk， where p was a prime and k≥1 was a positive integer. Proved that a code C of length n over R was a cyclic code if and only if its Gray image was a quasi-cyclic code over Fpk of index pk and length npk. In particular， the Gray image of a linear cyclic code of length n over R was a linear quasi-cyclic code over Fpk of index pk and length npk.

Key words:cyclic code; quasi-cyclic code; Gray map

0 引言

隨著信息產業(yè)的飛速發(fā)展，信息的傳輸、變換、壓縮和儲存等信息處理中的有效性、可靠性和安全性等問題已經成為了亟待解決的重要問題，而各種形式的編碼和密碼則是解決上述這些問題的基本理論和方法。

近年來，隨著有限域上糾錯碼理論的成熟，很多從事編碼理論研究的學者將研究興趣從有限域上編碼理論轉移到有限環(huán)上編碼理論上來。Wolfmann在文獻[1]中證明了環(huán)Z4上長為n的線性負循環(huán)碼的Gray像是F2上長為2n的循環(huán)碼;若n為奇數，則環(huán)Z4上長為n的線性循環(huán)碼的Gray像置換等價于F2上的線性循環(huán)碼。文獻[2]中，Ling等人將文獻[1]的結論推廣至環(huán)Zpk+1上。錢建發(fā)等人在文獻[3]中采用同文獻[1]中類似的方法研究了環(huán)F2+uF2上(1+u)-循環(huán)碼以及長度為奇數的循環(huán)碼。文獻[4]的，Amarra等人將文獻[3]的結果推廣到環(huán)Fpk+uFpk上。其中Fpk=GF(pk)。文獻[5]則將文獻[4]的結論進一步推廣到有限鏈環(huán)上。

文獻[1～5]僅討論了相應環(huán)上碼長n與p互素的循環(huán)碼，而對于相應環(huán)上任意長的循環(huán)碼則沒有討論。本文將文獻[4]中的結論作了進一步的推廣，得到了環(huán)Fpk+uFpk上的碼是循環(huán)碼的一個充分必要條件，這里碼長n與p不必互素。

1 基本概念

設p為素數，k是給定正整數。R是指交換環(huán)Fpk+uFpk，其中Fpk=GF(pk)，u2=0 。R是有限鏈環(huán)，其極大理想為uR。

下文中環(huán)R總是指環(huán)Fpk+uFpk。

定義1 Rn上的循環(huán)移位σ定義為σ(r0，r1，…，rn-1)=(rn-1，r0，…，rn-2)。

定義2 Fpknpk到Fpknpk的映射pk定義為pk(a(1)|a(2)|…|a(pk))=((a(1))|(a(2))|…|(a(pk)))。其中:a(1)，a(2)，…，a(pk)∈Fpkn而∶Fnpk→Fnpk表示Fnpk上的循環(huán)移位。

環(huán)R上長為n的線性碼是指R-模Rn的一個加法子模。若Rn的子集C滿足σ(C)=C，則稱C為環(huán)R上長為n的循環(huán)碼;若Fnpkpk的子集滿足pk()=，則稱是Fpk上指標為pk長為npk的準循環(huán)碼。顯然，指標為1的準循環(huán)碼是循環(huán)碼。

本文中，循環(huán)碼以及準循環(huán)碼不必是線性碼。

2 Gray映射及其性質

集合{0，1，2，…，pk-1}中任一元素ε都可以惟一標志為

ε=r0(ε)+r1(ε)p+…+rk-1(ε)pk-1

其中:r0(ε)，r1(ε)，…，rk-1(ε)∈{0，1，2，…，p-1}。

設α是Fpk的一個本原元，則對任意的ε∈{0，1，2，…，pk-1}，Fpk中有相應的元αε=r0(ε)+r1(ε)α+…+rk-1(ε)αk-1。

定義3[4] 環(huán)Rn到Fnpkpk的Gray映射定義為

Φ(r)=(y，α1xy，…，αpk-1xy)

這里r=x+uy∈Rn，x，y∈Fnpk，而表示Fpk和Fnpk中元素的加法。

當p=2，k=1時，得到(F2+uF2)n→Fn22的Gray映射[3]。

根據定義3，容易得到如下命題:

命題1 設r，r′∈Rn，則有

a)Φ(r+r′)=Φ(r)Φ(r′);

b)Φ(βr)=βΦ(r)。其中β∈Fpk。

從現在起，用(l)n表示l模n的最小非負剩余，這里l∈Z。

集合{0，1，…，npk-1}(Z)中任一元素N均可惟一標志成N=εn+j。其中j=(N)n，ε∈{0，1，2，…，pk-1}。

命題2 Φσ=pkΦ。

證明 設r=(r0，…，rn-1)=x+uy∈Rn。

其中x=(x0，…，xn-1)，y=(y0，…，yn-1)∈Fnpk。

設Φ(r)=(a0，a1，…，anpk-1)，對任意的N=εn+j∈{0，1，…，npk-1}Z。其中j=(N)n，ε∈{0，1，2，…，pk-1}。根據定義3和2得

aN=aεn+j=∑k-1i=0ri(ε)αixjyj

pk(Φ(r))=((a0，a1，…，an-1)|(an，an+1，…，a2n-1)|…|(an(pk-1)，an(pk-1)+1，…，anpk-1))=(an-1，a0，…，an-2|a2n-1，an，…，a2n-2|…|anpk-1，an(pk-1)，…，anpk-2)

另一方面，設Φ(σ(r))=Φ(rn-1，r0，…，rn-2)=(b0，b1，…，bnpk-1)。由定義3得

bN=(∑k-1i=0ri(ε)αi)xn-1yn-1，j=0(∑k-1i=0ri(ε)αi)xj-1yj-1，j≥1=aεn+(n-1)=aN+n-1，j=0aεn+(j-1)=aN-1， j≥1

故有pk(Φ(r))=Φσ(r)，命題得證。

3 環(huán)R上循環(huán)碼的Gray像

定理1 環(huán)R上長為n的碼C是循環(huán)碼當且僅當它的Gray像Φ(C)是有限域Fpk上指標為pk長為npk的準循環(huán)碼。

證明 必要性。設C為環(huán)R上長為n的循環(huán)碼，則有Φ(C)=C。由命題2得

pk(Φ(C))=Φ(σ(C))=Φ(C)

故Φ(C)是有限域Fpk上指標為pk長為npk的準循環(huán)碼。

充分性。設Φ(C)是有限域Fpk上指標為pk長為npk的準循環(huán)碼，由命題2得

Φ(σ(C))=pk(Φ(C))=Φ(C)

又Φ是單射，故有Φ(C)=C，即C為環(huán)R上長為n的循環(huán)碼。

推論1 環(huán)R上長為n的線性循環(huán)碼的Gray像是有限域Fpk上指標為pk長為npk的線性準循環(huán)碼。

證明 設C為環(huán)R上長為n的線性循環(huán)碼，則由定理1得，Φ(C)是Fpk上指標為pk長為npk的準循環(huán)碼。

再由命題1知，Φ(C)是有限域Fpk上指標為pk長為npk的線性準循環(huán)碼。

4 結束語

本文刻畫了環(huán)R上循環(huán)碼的Gray像的特征，解決了文獻[3]和[5]的conclusion中提出的問題。本文結果可以推廣到有限鏈環(huán)文獻[5]中去，這將有助于進一步研究有限鏈環(huán)上的循環(huán)碼。

參考文獻:

[1]WOLFMANN J. Negacyclic and cyclic codes over Z4[J]. IEEE Trans on Information Theory，1999，45(7):2527-2532.

[2]LING S，BLACKFORD J.Zpk+1-linear codes[J]. IEEE Trans on Information Theory，2002，48(9):2592-2605.

[3]QIAN Jian-fa， ZHANG Li-na， ZHU Shi-xin.(1+u)-cyclic and cyclic codes over F2+uF2[J]. Applied Mathematics Letters，2006，19:820-823.

[4]AMARRA M C V， NEMENZO F R. On (1-u)-cyclic codes over Fpk+uF2[J]. Applied Mathematics Letters，2008，21(11):1129-1133.

[5]QIAN Jian-fa， MA Wen-ping. Constacyclic and cyclic codes over finite chain rings[J].Journal of China Universities of Posts and Telecommunications，2009，16(3):122-125.