基于子空間逼近的特征空間波束形成算法

摘 要:特征空間波束形成(ESB)算法為了得到信號子空間需要對采樣協方差矩陣進行特征值分解，運算量十分巨大，這大大限制了其應用。為了減低ESB算法的運算量，利用有理子空間逼近的原理，提出一種不需要估計信號源個數的快速ESB算法。該方法利用一個介于信號和噪聲特征值之間的分界值將特征空間分成兩個子空間，并用矩陣冪乘和此分界值的有理式逼近這兩個子空間的投影矩陣，將此投影矩陣代入到ESB算法的權值求解式中，在不降低性能的前提下，可大大提高波束形成的運算速度。計算機仿真驗證了該算法的有效性，并分析了分界值取值方法的不同對子空間劃分及波束形成性能的影響。

關鍵詞:陣列信號處理; 波束形成; 特征空間; 子空間逼近

中圖分類號:TN911.7; TP301.6文獻標志碼:A

文章編號:1001-3695(2010)06-2264-03

doi:10.3969/j.issn.10013695.2010.06.076

Eigenspacebased beamformers based on subspace approximation

NI Shuyan1， CHENG Naiping1， NI Zhengzhong2

(1.Academy of Equipment Command Technology， Beijing 101416， China; 2.Remote Sensing Information Research Institute， Beijing， 100192， China)

Abstract:The eigenspacebased (ESB) beamforming algorithm can be hardly used in realtime application because of its high computational cost of the eigendecomposition to obtain the signal subspace. To reduce the computational cost， this paper proposed a fast ESB algorithm based on subspace approximation. Without estimating the number of impinging signals， the algorithm splited the eigenspace into two subspaces with a threshold between the signal and the noise eigenvalues. Then utilizing the rational functions of the powers of the threshold and the sampling covariance matrix， approximated the projection matrixes of the two subspaces. Calculating the weight vector of the ESB algorithm based on the approximations could save computational loads without degrading the performance. Computer simulations illustrate the performance of the proposed algorithm and analyze the influence of the threshold to the algorithm.

Key words:array signal processing; beamforming; eigenspace; subspace approximation

0 引言

波束形成是陣列信號處理的一個非常重要的任務，其中Capon波束形成，即最小方差無失真響應波束形成(MVDR)是其中最重要的一種。常規Capon波束形成器在導向矢量和噪聲協方差矩陣精確已知的情況下，能夠自動將主波束對準期望信號方向，在干擾方向形成零陷，具有很好的分辨能力與干擾抑制能力。但是在實際系統中通常存在各種誤差，如采用小快拍數據時的協方差矩陣誤差或是由于波達方向估計不準確引起的導向矢量誤差，這些都會導致副瓣電平升高，主瓣偏移，波束畸變，輸出信干噪比(SINR)急劇下降。為了提高波束形成的性能，文獻[1]提出了基于特征空間的波束形成技術(ESB)，它利用對陣列信號相關矩陣的特征值分解，形成信號子空間和噪聲子空間，然后將常規波束形成器的權矢量投影到信號子空間，得到自適應波束形成的權矢量，這種投影運算使權矢量的范數變小，輸出噪聲功率變小，而期望信號和干擾信號的輸出功率不變，從而抑制了噪聲功率輸出，具有較好的收斂速度和較強的穩健性。

ESB算法中求解信號子空間時，需要對數據協方差矩陣進行特征值分解，運算量巨大。波達方向估計和多用戶檢測中出現了一些子空間逼近的方法，如文獻[2]提出的利用信號和噪聲特征值的分界值進行有理近似的方法，文獻[3]提出的在信號子空間維數已知時的Powerlike算法;文獻[4]提出的Power of R(POR)算法。這些方法不需要特征分解，大大減小了子空間求解的運算負擔。文獻[5]將Powerlike算法應用到特征空間算法中，驗證了其良好性能。本文利用文獻[2]中對信號和干擾子空間投影矩陣的有理近似，提出一種不需要估計信號子空間維數的快速ESB算法。該方法利用有理逼近的方法代替特征分解法，求解信號子空間，在不降低性能的前提下，可大大提高波束形成的運算速度。

1 ESB算法

考慮一個期望信號和P個干擾信號入射到陣元數為M、陣元間距為λ/2的均勻線陣上(P+1

x(t)=As(t)+n(t)

A=[a(θd)，a(θ1)，…，a(θP)]s(t)=[sd(t)，s1(t)，…，sP(t)]T(1)

其中:a(θd)和a(θp)(p = 1，2，…，P)分別為期望信號和干擾的方向向量;sd(t)和sp(t)(p=1，2，…，P)分別為期望信號和干擾的復包絡;n(t)為背景噪聲。陣列輸出協方差矩陣為

Rx=E[x(t)xH(t)]=ARsAH+σ2nIM(2)

其中:Rs=E[s(t)sH(t)]是信號協方差矩陣;σ2n是噪聲功率;IM為M階單位矩陣。

MVDR波束形成的基本思想是讓它對感興趣的信號無失真輸出，同時使輸出噪聲方差最小，其權向量可表示為

wMVDR=R-1xa(θd)aH(θd)R-1xa(θd)(3)

ESB算法的加權向量是利用協方差矩陣的特征值分解，將自適應權向量投影到協方差矩陣的信號子空間而得到。對接收信號采樣協方差矩陣Rx進行特征值分解:

Rx=∑Mi=1λieieHi=EsΛsEHs+EnΛnEHn(4)

其中:λ1≥λ2≥…≥λP+1≥λP+2=…=λM=σ2n為Rx的M個特征值，其對應的特征向量分別為e1，e2，…，eM;Λn=diag[λP+2，…，λM];Es=[e1，e2，…，eP+1]，En=[eP+2，…，eM]，Es和En的列向量分別張成信號子空間和噪聲子空間。

將MVDR的權向量投影到信號子空間得到ESB算法的權向量為

wESB=EsEHswMVDR(5)

可以看出，ESB法擯棄了權向量在噪聲子空間中的分量，而保留了其在信號子空間的分量，權向量的范數更小，輸出噪聲功率較小，而期望信號和干擾信號的輸出功率不變，所以輸出SINR增大，并且收斂速度較快。

2 基于子空間逼近的ESB算法

ESB算法的主要運算量集中在求解信號子空間的特征值分解上，對于M×M階矩陣，利用GolubReinsch算法[3]進行特征值分解的運算量為21 M3，如此大的運算量，大大限制了其應用。利用矩陣冪乘快速得到信號或噪聲子空間的投影矩陣，是子空間逼近類算法的主要思想。由于先驗知識的不同，各種方法的逼近形式也是不同的。本文研究的利用信號和噪聲特征值的分界值和矩陣冪乘的有理函數逼近子空間的方法，其優點為可以不需要估計子空間的維數，需要先驗已知的分界值也可以通過采樣協方差矩陣的跡近似表示。

取一正數b作為分界值，b滿足λ1≥λ2≥…≥λP+1>b>λP+2=…=λM=σ2n，利用b將特征空間劃分為兩個子空間，其對應的投影矩陣分別定義為

Qs=∑i:λi>beieHi

Qn=∑i:λi

可見，這兩個子空間即為信號子空間和噪聲子空間，即Qs=EsE Hs，Qn=EnEHn。構造函數Q(m)=(bmIM-Rmx)(bmIM+Rmx)-1，將采樣協方差矩陣的特征分解式(4)代入到Q(m)中可以得到

Q(m)=∑Mi=1bm-λmibm+λmieieHi==∑λi>b(bλi)m-1(bλi)m+1eieHi+∑λi

當m趨近于無窮時，如果λi>b，則有(b/λi)m→0，如果λi

limm→∞Q(m)=-∑λi>beieHi+∑λi

又因為:

Qn+Qs=IM=(bmIM+Rmx)(bmIM+Rmx)-1(9)

兩式相加、相減分別可以得出

limm→∞Rmx(bmIM+Rmx)-1=Qslimm→∞bm(bmIM+Rmx)-1=Qn(10)

由于利用式(9)求解Qn的計算量要低于求解Qs的計算量，可以首先計算Qn，再利用Qs=IM-Qn得出Qs，將其代入到ESB算法的權值求解式中可以求出自適應權向量。本文將這種基于子空間有理逼近的ESB算法稱為RAESB算法。

下面分析RAESB算法求解信號子空間的計算量:a)進行矩陣冪乘運算。采用Strassen算法[3]計算兩個M×M階矩陣相乘的運算量為M2.807，如果m是2的r次冪，則計算Rmx需要rM2.807次復乘運算，矩陣加法的運算量可以忽略。b)要進行的是矩陣求逆運算。利用LU分解計算M×M維矩陣的逆，需要M(M-1)(2M-1)/3次復乘運算。c)進行是常數與矩陣的乘法運算。需要M次復乘。因此采用該方法求解信號子空間的運算量為:rM2.807+2M3/3- M2+4M/3。一般來講，有理近似的階數m取3~5即可得到高精度的近似，取m=4時運算量為2M2.807+2M3/3- M2+4M/3，遠遠低于采用特征分解求解子空間的運算量。

實際應用中，分界值b可以通過測量不存在信號時的噪聲功率得到，也可以通過估計數據協方差矩陣的最小特征值得到[2]。文獻[3]給出了一種分界值的近似取法，令b=tr(Rx)/M，由于λi≥σ2n，有tr(Rx)=∑Mi=1λi>Mσ2n，則b滿足b>σ2n。當陣元數目M很大時，信號子空間的維數相對較小時，利用Rx的跡近似表示分界值，可以得到比較滿意的結果。但是在期望信號功率遠低于干擾信號功率，陣元數目又不是足夠大時，估計的b可能會大于期望信號對應的特征值，這樣以b為分界值劃分子空間時就會將期望信號劃到噪聲子空間中，波束形成就會對期望信號進行抑制，造成波束圖的畸變。

為了改善以上問題，令bm=mtr(Rmx)/M，可以證明b>bm>σ2n，因此，在b=tr(Rx)/M滿足λp>bm>σ2n時，bm一定也滿足λp>bm>σ2n。即使b大于了某一信號對應的特征值，由于bm

3 計算機仿真分析

下面對幾種不同情況作計算機仿真和分析，將RAESB與ESB算法進行比較，以驗證其有效性。假設一個期望信號和兩個干擾信號從遠場入射到陣元間距為半波長等距線陣，期望信號和干擾信號兩兩互不相關;期望信號方向為0°，觀察波束方向2°;兩個干擾信號的入射角分別為40°、-30°，干擾噪聲比(INR)分別為10 dB、5 dB;采樣快拍數取500次，每一個仿真結果都是由100次獨立實驗結果平均得到。

實驗1 設陣元數為10，為了觀察RAESB算法在理想狀態下的性能，在仿真中取分界值為(λp+1+λp+2)/2。圖1(a)畫出了不同冪乘次數時，RAESB算法的輸出SINR隨輸入SNR變化的曲線。可以看出，在分界值b滿足λp+1>b>λp+2的理想狀態下，RAESB算法的性能在m≥2時已經與ESB算法的性能基本一致。圖1(b)為SNR=0dB時兩種方法的波束圖，冪乘次數取m=3，從波束圖中也可以看出，兩種方法都能克服指向誤差的影響，將主瓣指向了期望信號方向，旁瓣水平和零陷深度也基本一致。

實驗2 觀察分界值近似獲得時RAESB算法的輸出性能。其中圖2(a)中為陣元數為10，分界值分別取b=tr(Rx)/M和bm=mtr(Rmx)/M時，RAESB算法的輸出SINR隨輸入SNR變化的曲線。從圖2中可以看出:兩種取值所對應的曲線走勢相似，但后者的性能明顯優于前者;兩者都與ESB算法的曲線相差很大，這是由于陣元數目有限，近似獲得的分界值誤差較大造成的。在SNR相對于INR比較低時，所取的分界值會大于期望信號對應的特征值，這樣以此分界值劃分子空間時就會將期望信號劃到噪聲子空間中，隨著m值的增大，這種子空間的劃分越來越精確，信號子空間中所含期望信號的成分越來越少，因此輸出性能會越來越差。而在SNR相對于INR比較高時，所取分界值就可能大于某一干擾信號對應的特征值，以此劃分子空間時會將這一干擾信號劃到噪聲子空間中，這對于輸出SINR是有利的，是ESB算法中不具備的優點，因此其輸出SINR比ESB算法要高，并且隨著m值的增大，信號子空間中所含的這一干擾信號的成分越少，輸出性能越好。

本文將陣元數目M增加到30，分界值仍然取兩種近似值，觀察RAESB算法的輸出性能如圖2(b)。因為M值相對于信號源個數越多，對分界值估計的成功率越高，所以增加了陣元數后，在SNR相對INR比較低時，分界值也降到了小于期望信號特征值的范圍內，這樣就能夠成功地劃分信號和噪聲子空間。從圖2(b)中也可以看出在SNR<15時，RAESB算法的性能與ESB算法基本一致;而在SNR>15時，其輸出性能要優于ESB算法，這是由于RAESB算法將某一個或多個干擾信號抑制到了信號子空間以外的原因。

實驗3 設陣元數為10，分界值分別取b=tr(Rx)/M和bm=mtr(Rmx)/M，冪乘次數m=3，觀察輸入SNR分別為0 dB和15 dB時各種方法的波束圖，如圖3所示。從圖3中可以看出，在輸入SNR=0時，ESB算法在兩個干擾處都形成了零陷，而RAESB算法在40°的大干擾值處形成了零陷，但在-30°的小干擾值處出現了一個旁瓣，在分界值為b時這個旁瓣很大，但在分界值為bm時這個旁瓣很小， 更接近于ESB算法中的零陷水平，因此分界值取bm的性能要優于分界值為b時。在輸入SNR=15 dB時，RAESB的性能明顯優于ESB算法，此時SNR比兩個INR都要高，ESB算法沒在干擾方向形成零陷，而RAESB算法在大干擾方向的增益與ESB算法基本相同，而在小干擾方向的增益遠低于ESB算法，這由于分界值介于小干擾特征值和大干擾特征值之間，將小干擾信號抑制到了信號子空間以外。

4 結束語

針對ESB算法中利用特征值分解求解信號子空間運算量巨大的缺點，利用子空間逼近的原理，提出了一種不需要估計信號源個數的快速ESB算法，在不降低性能的前提下，大大提高了波束形成的運算速度。本文分析了分界值的近似取值對空間劃分以及波束形成輸出性能的影響，提出一種更為合理的近似方式，提高了子空間劃分的成功率。仿真實驗證明，在分界值估計正確時，RAESB算法的性能與ESB算法一致;在分界值取近似值時，改進的取值方法能夠提高子空間劃分的成功率，使其性能接近于ESB算法;在陣元數相對于信號源數比較多，或是期望信號功率相對于干擾功率不是很低時，分界值取文中的近似值也能達同ESB相當的性能。

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