具有長時延和丟包的網絡控制系統穩定性分析

摘 要:針對同時出現長網絡誘導時延和丟包的網絡控制系統，研究了帶不確定性的網絡控制系統的穩定性問題。基于一定的數據包丟失率，系統被建模成帶結構事件率約束的異步動態系統。利用李亞普諾夫方法和線性矩陣不等式相關知識，結合異步動態系統的穩定性理論，推出了使不確定網絡控制系統指數穩定的充分條件，并給出了保證系統指數穩定的數據傳輸成功率滿足范圍;最后利用MATLAB仿真的數值例子驗證了此方法的有效性和可行性。

關鍵詞:網絡控制系統; 長網絡誘導時延; 李亞普諾夫方法; 線性矩陣不等式; 不確定性; 異步動態系統; 指數穩定

中圖分類號:TP273;TP393文獻標志碼:A

文章編號:1001-3695(2010)06-2283-04

doi:10.3969/j.issn.10013695.2010.06.082

Analysis of stability for networked control systems withlarge delays and packet losses

JIANG Lianlian1， YANG Guanghong1， DAN Yufang2， WANG Hailang3

(1.School of Information Science Engineering， Northeastern University， Shenyang 110004， China; 2.School of Computer， Chongqing University， Chongqing 400044， China; 3.School of Electrical Engineering， Hunan University， Changsha 410082， China)

Abstract:For network control systems with long networkinduced time delays and packet losses，this paper investigated stability of uncertain networked control systems. Modeled system as an asynchronous system constrained by configuration event rates based on a certain packet loss rate. By using Lyapunov method， linear matrix inequality description and combining asynchronous dynamical stability theory， derived sufficient conditions for exponential stability of uncertain network control system and presented the scope of data transmission success rate ensuring system exponentially stable. Finally， verified a numerical example with MATLAB simulation effectiveness and feasibility of this method.

Key words:networked control systems (NCS); long networkinduced delay; Lyapunov theory; linear matrix inequality (LMI); uncertainty; asynchronous dynamical system; exponentially stable

0 引言

網絡控制系統(networked control systems，NCS)是利用專用或公用數據通信網絡代替傳統的點對點連接構成的閉環控制系統，如圖1所示。與分布式控制系統相比，其在通信網絡上建立閉環控制回路，具有簡單、快捷、連線少、可靠性高、易實現信息共享、易維護和擴展、成本低等優點。正因如此，近年來，以現場總線為代表的網絡控制系統得到了前所未有的快速發展和廣泛應用，為進一步促進國家的以信息化帶動工業化的發展創造了條件。但因為網絡的引入，系統在傳感器與控制器和控制器與執行器之間就會因為網絡的不穩定、節點沖突、帶寬限制等原因導致數據延遲和數據包丟失。網絡誘導時延分為長時延和短時延。大于一個采樣周期的時延叫長時延(τ>nT，n∈(2，3，4，…));反之，則為短時延。而數據包丟失可分為異步丟失和隨機丟失[1]。對異步丟失，Zhang Wei[2]將有數據包丟失的網絡控制系統建模為具有事件速率約束的異步動態系統，推導出了網絡控制系統指數穩定的充分條件。而對于隨機丟失，Nilsson[3]用具有兩個狀態的馬爾可夫鏈描述了數據包丟失的模型，提出了解決數據丟包的兩種方法，即使用舊的控制信號或者利用丟失數據包的估計值計算新的控制信號。對丟包同時存在于反饋通道和前向通道的情形，Xiong等人[4]考慮了丟包過程為任意并服從馬爾可夫鏈[5]分布的NCS建模、分析和綜合方法。Ishii[6]對數據包丟失和有限帶寬情況作了相應研究。但以上研究大部分均局限于時延小于一個周期情況下的網絡控制系統。本文將對具有長時延和丟包的網絡控制系統進行研究。

具有數據包丟失的網絡控制系統的基本結構如圖1所示。其中:τk表示網絡時滯對控制系統的綜合效應;xk表示由傳感器節點采樣后的被控對象的狀態;vk、uk分別為控制器的輸出及其在執行器節點接收端的鏡像;S表示數據傳輸成功事件，即有新的控制量作用于被控對象;表示數據傳輸失敗事件，即無新的控制量作用于被控對象。

1 相關引理

引理[7]1 對于異步動態系統x(k+1)=fs(x(k))。其中s=1，2，…，N。事件1，2，…，N的發生率分別為r1，r2，…，rN。其中0≤rs≤1，且∑Ns=1rs=1。若存在Lyapunov函數V(x(k))，滿足

β1‖x(k)‖2≤V(x(k))≤β2‖x(k)‖2

其中:β1>0，β2>0，且存在標量α>0，αs>0，滿足

V(x(k+1))-V(x(k))≤(α-2i-1)V(x(k))

αr11αr22…αrNN>α>1

則該系統的指數是穩定的。

引理[8]2 對α>1，如果狀態軌跡滿足以下條件

limk→∞αk‖xk‖=0

其中α為系統的衰減率，則異步動態系統的指數是穩定的。

引理[9]3 給定適當維數的矩陣Y、D和E。其中Y是對稱的，則

Y+DFE+ETFTDT<0

對所有滿足FTF≤I的矩陣F成立，當且僅當存在一個常數ε>0，使得

Y+εDDT+ε-1ETE<0

2 系統建模

考慮被控對象方程為

x#8226;(t)=Ax(t)+Bu(t)(1)

其中:x∈Rn為狀態向量，u∈Rp為控制向量，A和B是適當維數的常量矩陣。

當事件S發生時，vk成功傳輸到執行器，此時考慮網絡傳輸過程中的時滯的影響，則有

u(t)=uk-1，tk-1+τk-1

對于(m-1)h<τk≤mh(m=1，2，…，M)，令τ′k=τk-(m-1)h，則由式(1)和(2)，可得系統離散時間模型為

x(k+1)=Gx(k)+H0(τk)v(k-m+1)+H1(τk)u(k-m)u(k)=v(k)G=eAh，H0(τk)=∫h-τ′k0eAtdtB， H1(τk)=∫hh-τ′keAtdtB(3)

當事件發生時，vk未能傳輸到執行器，則

u(t)=u(k-1)，tk-1+τk-1

x(k+1)=Gx(k)+Hu(k-1)u(k)=u(k-1)(5)其中:H=∫h0eAtdtB。

為了將兩種情況的模型歸一化，在此定義增廣向量

ξk=[x(k)u(k-1)u(k-2) … u(k-m)]T

由式(3)和(5)可得

ξ(k+1)=(μ(∏1-∏2)+∏2)ξ(k)+

(μ(Γ1-Γ2)+Γ2)u(k)(6)

μ=0 當事件發生時1 當事件S發生時

∏1=G+DF(τk)E10…H0(τk)H1(k)00…000I 00 00…I0

∏2=GH0…00I0…000I0000…0I，Γ1=0I00，Γ2=0000

則具有數據包丟失的網絡控制系統可以等效為如圖1所示的異步動態系統。

由于τk為時變不確定的，則H0(τk)，H1(τk)也是時變不確定矩陣。其具有如下形式:

H0(τk)=∫h-τ′k0eAtdtBH1(τk)=∫hh-τ′keAtdtBH0(τk)=0+DF(τk)E H1(τk)=1-DF(τk)E

當τk為時變參數時，式(6)的系數矩陣可以描述為

∏1=G+DF(τk)E10…0+DF(τk)E1-DF(τk)E00…000I 0000…I0(7)

因此，式(6)可以看做具有不確定參數的異步動態系統。

對式(6)，選取無記憶的狀態反饋控制器:

u(k)=Kx(k)(8)

其中:K∈Rp×n為控制器的增益。將控制器方程帶入式(10)，可得系統閉環系統方程為

ξ-(k+1)=(μ(Ψ1-Ψ2)+Ψ2)ξ-(k)(9)

ξ-(k)=x(k)x(k-1)x(k-2)x(k-m)

Ψ1=G+DF(τk)E10…H0(τk)H1(τk)KI0…00

0I 00 00…I0

Ψ2=G+DF(τk)E1HK0…00I0…000I0000…0I

當τk為時變不確定時，則有

Ψ1=Ψ-1+F(τk)，Ψ2=Ψ-2+F(τk)1

其中Ψ-1=G0…0K1KI0…000I 00 00…I0

Ψ-2=GHK0…00I0…000I0000…0I，=D000

=[E1 0 … EK -EK]

1=[E1 0 … 0 0]

3 穩定性分析

為了討論方便，在此考慮如圖1所示的只在控制器與執行器之間存在數據包丟失和時延的網絡控制系統模型。而對于兩個通道均存在丟包和時延的系統，也可以通過類似的方法將系統建模成含有四個模態的異步動態系統，然后再利用異步動態系統的穩定性理論對系統的穩定性進行分析。

假設事件S的發生率為r，則事件的發生率為1-r，此時系統可被看做是具有兩個事件的異步動態系統。

定理1 對于由式(9)所描述的網絡控制系統，設事件S、的發生率分別為r，1-r。其中，0

V(ξ-(K))=ξ-T(K)X-1ξ-(K)(10)

其中:X為對稱正定矩陣，以及標量α1>1，0<α2<1，α>0，ε1>0，ε2>0使得下列不等式成立

αr1…α1-r2>α>1(11)

-X+ε1TΨ-1X0*-α-21XXT**-ε1I<0(12)

-X+ε2TΨ-2X0*-α-22XXT1**-ε2I<0(13)

則式(9)是指數穩定的，且

r>-logα2logα1-logα2(14)

證明 在此取Lyapunov函數為

V(ξ-(K))=ξ-T(K)X-1ξ-(K)(15)

則為了滿足條件

V(ξ-(k+1))-V(ξ-(k))≤(α-2i-1)V(ξ-(k))(16)

即

V(ξ-(k+1))≤α-2iV(ξ-(k))(17)

由式(10)和(17)可得:

ξ-T(k)ΨTiX-1Ψiξ-(k)≤α-2iξ-T(k)X-1ξ-(k)(18)

上式成立的充分條件是

ΨTiX-1Ψi≤α-2iX-1(19)

由Schur補，上式等價于:

-XΨi*-α-2iX-1<0(20)

對其分別左乘、右乘diag(I，X)，上式等價于

-XΨiX*-α-2iX<0(21)

則

-XΨ-iX+F(τk)jX*-α-2iX<0，j={，1}(22)

即

-XΨ-iX*-α-2iX+0F(τk)[0 jX]+[0 jX]TF(τk)0T<0j={，1}(23)

由引理3，可將式(23)化為

當i=1時，

-XΨ-1X*-α-21X+ε10[T 0]+ε-110XT[0 X]<0(24)

當i=2時，

-XΨ-2X*-α-22X+ε20[T 0]+ε-120XT1

[0 E1X]<0(25)

則式(24)和(25)分別等價于式(12)(13)。可得引理1的兩個條件都成立，則閉環系統式(9)是指數穩定的。由式(19)可以得到，λ2max(Ψi)<α-2i，i=1，2。已知數據傳輸無數據包丟失時，系統是穩定的，則α1>1。在考慮數據傳輸中存在數據包丟失現象時，系統的穩定性是未知的，在此，令0<α2<1。對式(11)取對數，即可得到系統指數穩定時數據傳輸成功率應滿足的范圍。

4 實驗仿真與分析

假定系統被控對象的連續狀態方程如下:

x#8226;(t)=0.15-0.75-1.20.3x(t)+-11u(t)

取采樣周期為h=0.1 s，對系統進行離散化，即可得新的狀態方程參數:

G=1.02-0.07682-0.12291.035，H=-0.10470.10780=0.5263-1.2281，1=-0.63101.3358D=0.82660.66570.8933-0.7912，E=0.1276-1.6533

根據已知數據傳輸無數據包丟失時系統是穩定的，狀態反饋控制器增益為

K=[-0.231 -4.65]

取M=2，α1=1.013，α2=0.8，在此可求得r>0.8699，然后利用LMI工具箱中的feasp求解器，可得

X=0.0300-0.01000.0000-0.01000.0012-0.00030.00000.0012-0.0003-0.00000.0000-1.9240-0.0002-0.00000.11910.00010.0000-0.0913

-0.0000-0.00000.00010.0000-0.00000.0000-1.92400.1191-0.09131.4750-0.09130.0700-0.09735.2166-3.99940.0700-3.99943.0662

由圖2~4的仿真曲線可以看出，對于存在不確定性和數據包丟失的系統，在一些參數給定的情況下，只要數據包傳輸成功率滿足一定的條件，整個閉環系統可以實現指數穩定;當數據包傳輸成功率不滿足定理給定范圍時，整個閉環系統就表現出不穩定。要判定有通信時延和數據包丟失的NCS的指數穩定性，可先給定滿足定理1的一組αi，通過MATLAB的LMI工具箱求得滿足定理1的正定矩陣P，如果有可行解，則系統的指數是穩定的，但定理1是系統指數穩定的充分條件，如果無可行解，系統的指數不一定穩定。

5 結束語

本文對存在大于一個采樣周期時延和丟包的網絡控制系統作了研究。其中還將隨機時滯對系統的影響轉換為未知有界不確定項，在此基礎上，通過利用異步動態系統的穩定性理論和線性矩陣不等式方法的相關理論，分析了存在不確定性的網絡控制系統的指數穩定性條件，并得到了一些性能指標。

對網絡控制系統，現有的研究成果雖然在研究方法、分析角度及策略上展現了豐富的多樣性，卻更多的是單層次、單目標的研究、且為分析方便，對網絡承載能力、網絡運行性能和控制系統性能三者之間耦合關系進行了不同程度的簡化。由于網絡的引入現有的理論還不能直接應用到該系統中，整體性能的優化和提高還有待進一步深入，網絡控制系統本身是一個非常復雜的系統，NCS的研究又是一個復雜龐大的新穎課題，新的控制策略有待形成系統性的理論。

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