線性世界與非線性世界的對話

世界是非線性的，但是，人類對它的認識卻是從簡單的線性開始的。早在公元前500年左右，古希臘的畢達哥拉斯學派就發(fā)現(xiàn)了自然數(shù)是按照均勻的線性關系增加的。到了18世紀，法國大數(shù)學家拉普拉斯首先認識到，自然界也許不是一個簡單的線性世界。他曾說，如果世界是線性的，則一旦初始條件確定，則世界就按簡單、均勻的規(guī)則發(fā)展，那么，這個世界也未免太簡單、太單調了。

到了19世紀，隨著力學的發(fā)展，數(shù)學家們首次發(fā)現(xiàn)了非線性的微分方程，這類方程與通常的線性的微分方程相比，方程中多了一個或幾個非線性的項，正是非線性項的存在，使方程由簡單的線性變成了復雜的非線性。當時，這類方程較多地出現(xiàn)在空氣動力學方程與流體力學方程之中。而法國數(shù)學家龐加萊則是最早研究此類方程的人，由此，他得出結論：自然界從廣義上講是由非線性構成的，線性只是一個特例。

由于線性在數(shù)學上處理起來簡單，所以，物理學家、數(shù)學家們在遇到自然界的非線性時，總是設法還原為簡單的線性以便于處理。甚至進一步講，人類的近代數(shù)學都是建立在“線性”的概念上的。

微積分是研究變量關系的一門基礎數(shù)學，它同樣是將概念建立在“線性”的基礎上。“極限”概念是微積分的基石，但是，求極限的過程事實上是一個線性處理的過程。對這一數(shù)學方法做出杰出貢獻的是德國大數(shù)學家韋爾斯特拉斯。韋爾斯特拉斯一生充滿挑戰(zhàn)性，他年輕的時候學的是文科，專攻法律，曾當過一段律師和中學教員，也許是對這種生活感到乏味，后來進入明斯特大學開始研習數(shù)學。1854年，也就是39歲時才獲得哥尼斯堡大學的數(shù)學博士學位。

韋爾斯特拉斯等數(shù)學家將現(xiàn)代函數(shù)，特別是微積分理論建立在“線性”概念的基礎之上，從實用主義的角度看，簡單、易懂。但是，在面對自然界廣泛的非線性時，卻仍然沒有簡便的認識方法，這一困局一直延續(xù)了半個多世紀。

公認的對現(xiàn)代非線性理論做出杰出貢獻的是荷蘭的一位氣象學家，叫洛倫茲，正是他開啟了人類認識非線性世界的大門。1962年前后，洛倫茲作為一位訪問學者在美國馬里蘭州的美國國家氣象中心做長期預報的工作。我們知道描述大氣環(huán)流的方程都是非線性的微分方程，人們解這類方程通常采用數(shù)值解法，編好計算程序，在巨型計算機上計算。

奇跡的出現(xiàn)就在一個上午。洛倫茲輸入初始條件的數(shù)值后考慮計算時間比較長，就到外面的走廊上喝了一會兒咖啡，幾分鐘過后，他返回到計算機旁邊，將初始條件做了小小的改動，又繼續(xù)計算，等他再次回到計算機旁時，發(fā)現(xiàn)計算機輸出的數(shù)據(jù)發(fā)生了巨大變化。他的第一個感覺是，可能電腦出問題了，于是就檢查了電腦，但沒有發(fā)現(xiàn)什么問題，于是又檢查計算程序，也沒有問題，這使他大為困惑，因為按照通常我們對線性世界的理解，一個方程的初始條件改變一丁點，結果是不會出現(xiàn)巨大的差異的，但這次卻完全不同，初始條件只改變了百分之幾，但輸出結果卻改變了成千上萬倍。

接下來的幾天中，洛倫茲反復重復計算，結果都一樣。只要初始條件有百分之一，甚至千分之一的改變，非線性方程的輸出計算結果，變化成百上千倍，真是不可思議，這在線性世界是決然不可能發(fā)生的。半個月過后，思維敏捷的洛倫茲意識到，他得到了一個重大的發(fā)現(xiàn)，非線性的世界和線性的世界有著天壤之別。在非線性世界中，結果對初始條件有著很大的依賴性，只要初始條件有一點微小的變化，隨著時間的推移，結果會越來越發(fā)生質的變化，洛倫茲將非線性世界的這一特征稱為“混沌效應”。

雖然洛倫茲無意之中闖入非線性世界的大門，但是，讓習慣了線性思維的學術界接受這一發(fā)現(xiàn)卻比較困難。所以，他的論文沒有發(fā)表到主流的數(shù)學期刊上，而是發(fā)表到了一份氣象學的刊物上，發(fā)表之后，10年間也沒引起什么注意。

人類開始對非線性世界全面、系統(tǒng)的研究開始于20世紀80年代。那時，計算機的速度更快了，同時，人們發(fā)現(xiàn)的非線性方程也越來越多，這樣，一批有志于揭開非線性世界面紗的年輕數(shù)學家就開始上陣，一時間，“混沌理論”席卷學術界。到現(xiàn)在，近30年的時間過去了，“混沌理論”已由當初的數(shù)學學科擴展到物理學、化學，甚至是經(jīng)濟學、社會科學。如人類行為學的研究就已經(jīng)引入了非線性理論的若干方法。

雖然人類對非線性世界的認識已經(jīng)過去了30多年，但是，只是初步揭開了非線性世界的面紗，非線性世界的復雜性仍然是擺在未來數(shù)學家、物理學家，乃至社會學家面前的一道難題。相信隨著研究的深入，在新的世紀中，非線性的世界會帶給我們更多的驚奇和發(fā)現(xiàn)。