關于推導Black-Scholes公式的債券重組方法的注記

摘要:從債券重組方法的推導過程，我們發現對沖投資組合

中的非零項bt的存在性直接關系到該法的成敗。文章結果得到了肯定的答案，從而使該法更加完善。

關鍵詞:套利，自融資，對沖投資組合。

引言

我們知道，著名的Black-Scholes公式是基于下列假設條件推導出來的(參文[1]):

1)股票價格遵循的隨機過程為

(1)

這里μ和σ是關于時間t的有界非隨機函數，σ非負有界，金融中μ和σ分別稱為股票價格的期望收益率和股票價格的波動率。

2)允許使用全部所得賣空衍生證券。

3)沒有交易費用或稅收。

4)在衍生證券的有效期內沒有紅利支付。

5)不存在無風險套利機會且無風險利率為 (非隨機函數)。

6)證券交易是連續的。

7)看漲期權價格 ，這里 是

一個處處連續，在上關于S和t分別為二階連續可微和一階連續可微的函數。

一般說來，推導Black-Scholes公式有兩種方法——債券重組方法和期權重組方法，下面我們分別用這兩種方法來推導關于單個股票S的歐式看漲期權C所滿足的偏微分方程。

1.債券重組方法

在時刻t，我們構造對沖投資組合 (at和bt均為隨機過程)，使得它在無風險和自融資的意義下重組一份價值為IIt的債券Bt.由自融資條件得

2.期權重組方法

在時刻t，我們構造投資組合(αt和βt均為隨機過程)，使得它在T時刻與看漲期權有相同的收益即

，這里K稱為期權的執行價格。由下面的命題知，對任意的t，有 在這種意義下，重組了看漲期權C.

命題1.若在 內市場無套利，投資組合Φ1與Φ2有

這就得到了Black-Scholes方程(7)。

從上面的推導過程我們不難發現，債券重組方法是通過構造一個對沖投資組合IIt重組一份債券，該投資組合要求既是自融資的又是無風險的。細心的讀者可能會問，使得

是自融資的非零項bt是否存在呢?如果這樣的bt不存在，那么這種推導策略不就失敗了嗎?事實上，當C滿足Black-Scholes方程(7)時，非零項bt是存在的。下面我們來解決這個問題。值得注意的是期權重組方法就不存在這樣的問題。

3.債券重組方法的注記

定理1.我們假定股票價格是一個Ito過程，它滿足

這里和是關于t的有界非隨機函數。而且，關于看漲期權價格，我們作出如下假設:

(i) ，這里是一個處處連續，在 上光滑的函數;

(ii) 對所有成立;

(iii) 使得

如果市場上不存在套利機會，那么函數 在

上必須滿足Black-Scholes方程(7)。并且，滿足條件(i)-(iii)的Black-Scholes方程有唯一解。

定理1的證明

由于直接證明上述定理存在較大的困難，下面我們首先給出證明的思路:我們采取的策略是構造一個投資組合

使得 并且II是對沖的(自融資和無風險的)。無套利條件意味著 解出II，我們得到

因此b不能為零。這樣進一步得到C滿足Black-Scholes方程(7)。但是，因為 ，只有當時這才可能。

也就是說，如果對某個 前面的論證就會失敗。

這樣，只要證明下面的兩個引理，我們的問題就解決了。

引理1.存在唯一的Ito過程S(t)滿足，且初始條件 ，其中S由下式給出

因此對每個t， 幾乎必然成立;而且，對任意非空區間我們有

按照隨機微分方程的基本理論，很容易得到本引理的結論，證明略(參文[3])。

引理2.滿足定理1中條件(i)-(iii)的Black-Scholes方程(7)

存在唯一解。而且，對這個唯一解C，在 上，我們處處有.

因此C必定是滿足方程(7)的唯一解。而且在上處處有 。

至此，我們完成了定理1的證明。這樣我們知道對沖投資組合中的非零項bt是肯定存在的。因此在這個前提下，用債券重組方法來推導Black-Scholes公式也是可行的。這里我們只討論了μ和σ是非隨機函數的情形，事實上，該方法還可以推廣到μ和σ是時間t的隨機函數的情形。

參考文獻:

[1].Black F.，Scholes M: The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy，1973，81:637-654.

[2]. 姜禮尚.期權定價的數學模型和方法.北京:高等教育出版社，2003.p12.

[3].Klebaner F.: Introduction to stochastic calculus with applications. Imperial College Press， London，1998.

注:本論文受南昌大學?；鹳Y助，基金號:00000070。

(作者單位:南昌大學)