帶擴散系數的擬線性時滯脈沖現象的振動性

摘 要:研究了一類帶擴散系數的擬線性脈沖時滯拋物型方程組的振動性， 利用振動的定義、Green公式和Newmann邊值條件將這類脈沖時滯拋物方程組的振動問題轉化為脈沖時滯微分不等式正解的不存在性問題， 并利用最終正解的定義和脈沖時滯微分不等式， 獲得了該類方程組所有解(強)振動的充分條件.

關鍵詞: 振動性; 脈沖; 時滯; 擬線性擴散系數; 拋物型方程組

中圖分類號:O175.26文獻標識碼:A

Oscillations in Systems of Impulsive Delay Parabolic Equations

with Quasilinear Diffusion Coefficient

LIAO Ji-ding1，2，LIU Zai-ming1

(1.School of Mathematical Science and Computing Technology， Central South Univ，

Changsha， Hunan 410075， China;

2. School of Mathematics and Science， Univ of South China， Hengyang， Hunan 421001， China)

Abstract:The oscillation and strong oscillation of the systems of a class of impulsive delay parabolic equations with quasilinear diffusion coefficient were studied. By using the oscillatory definition， Green’s formula and Newmann boundary condition， the oscillatory problem of solution to the systems of impulsive delay parabolic equations was reduced to the nonexistence of position solution of impulsive delay differential inequality， and some sufficient conditions were obtained for the oscillation and strong oscillation of all solutions of such systems through the definition of eventual position solution and delay impulsive neutral differential inequality.

Key words: oscillations; impulse; delay; quasilinear diffusion coefficient; systems of parabolic equations

脈沖現象作為一種瞬時突變現象， 在現代科技諸領域的許多實際問題中普遍存在， 且往往對實際問題的規律產生本質的影響. 因此， 在建立數學模型對這些實際問題進行研究時， 必須充分考慮脈沖現象的作用， 這類現象的數學模型往往可表示為脈沖偏微分方程. 最新研究成果表明，脈沖偏微分方程在混沌控制、機密通訊、航天技術、風險管理、信息科學、生命科學、醫學、經濟等領域中均有重要應用\\[1\\]. 脈沖偏微分方程作為偏微分方程的一個新分支， 它是20世紀90年代初形成和發展起來的， 1991年Erbe等\\[2\\]在研究單一物種生長模型時給出了脈沖拋物方程穩定性的比較準則， 這是為國際數學界真正了解有關脈沖偏微分方程研究的最早成果. 之后， 對其研究日益受到重視. 人們之所以對脈沖偏微分方程的研究有濃厚的興趣，是因為脈沖偏微分方程能夠成功地應用于力學、理論物理、化學及人口動力學、生物工程、最優控制和經濟學等方面的數學模擬. 脈沖偏微分方程的振動理論作為其中的一個重要研究領域， 對其研究僅是近十年的事情， 見文獻[3-12]. 但有關脈沖偏微分方程組解的強振動性研究還很少見， 目前僅見文獻\\[13\\]. 本文的目的是研究一類具擴散系數的擬線性脈沖時滯拋物偏微分方程組在Neumann邊值條件下解的振動性及強振動性.

1現象的描述

很多脈沖現象可以用如下帶擴散系數的擬線性脈沖時滯拋物偏微分方程組來描述解的振動性



ui(t，x)t=∑mj=1aij(t，uj(t，x))Δuj(t，x)+

∑mj=1bij(t，uj(t-λ，x))Δuj(t-λ，x)-

qi(t，x)ui(t-σ，x)-ci(t，x，(uj(t，x))mj=1，

(uj(t-ρ，x))mj=1)，t≠tk，

ui(t+k，x)-ui(t-k，x)=bi(tk，x，ui(tk，x))，

i∈Im， k∈I∞， (t，x)∈R+×Ω≡G(1)

其中Im={1，2，…，m}，I∞={1，2，…}，R+=[0，∞)，ΩRn是具有逐片光滑邊界Ω的有界區域，Δ是Rn中的n維Laplace算子， λ，σ，ρ是正常數， 0

ui(t，x)N=0，(t，x)∈R+×Ω， t≠tk，i∈Im， k∈I∞(2)

和初始條件:

ui(t，x)=φi(t，x)， (t，x)∈[-δ，0]×Ω，

i∈Im.(3)

其中N表示Ω的單位外法向量， δ=max {λ，σ，ρ}， φi∈C2([-δ，0]×Ω;R)， i∈Im.

湖南大學學報(自然科學版)2010年

第2期廖基定等:帶擴散系數的擬線性時滯脈沖現象的振動性

在本文中， 我們總假定下列條件成立:

(H1) qi∈PC(G-;R+)，qi(t)=min x∈Ω{qi(t，x)}，i∈Im. 這里PC表示具有如下性質的分片連續函數

類: 僅在t=tk， k∈I∞為第一類間斷點， 但在t=tk， k∈I∞左連續.

(H2)aij， bij∈PC(R+×R;(0，∞))且uiaii(t，ui)ui≥0，uibii(t，ui)ui≥0，i，j∈Im;aij(t，uj)uj=0，bij(t，uj)uj=0， i≠j; i，j∈Im.

(H3)ci∈PC(×R2m;R)， 并且

ci(x，t，ξ1，…，ξi，…，ξm，η1，…，ηi，…，ηm)

≥0，當ξi，ηi∈(0，∞)時，<0，當ξi，ηi∈(-∞，0)時.

ci(x，t，ξ1，…，-ξi，…，ξm，η1，…，-ηi，…，ηm)=

-ci(x，t，ξ1，…，ξi，…，ξm，η1，…，ηi，…，ηm)，i∈Im.

(H4) bi:G-×R→R， 對任意函數ui(t，x)∈PC(G-;R+)有:

bi(tk，x，-ui(tk，x))=-bi(tk，x，ui(tk，x)).

且

∫ Ωbi(tk，x，ui(tk，x))dx≤αik∫ Ωui(tk，x)dx.

其中αik>0為常數，i∈Im，k∈I∞.

定義1 稱向量函數u(t，x)=(u1(t，x)，u2(t，x)，…，um(t，x))T為邊值問題(1)，(2)的解， 若對i∈Im， ui(t，x)滿足:

1) 對固定的x， ui(t，x)是以tk為第一類間斷點的分片連續函數; ui(tk，x)=ui(t-k，x)， k∈I

SymboleB@ ，且滿足式(1)的第二式;

2) 對t≠tk，x∈Ω，ui(t，x)t存在，且滿足式(1)的第一式; 對固定的t， t≠tk， 2ui(t，x)x2r存在，r∈Im;

3) 對t≠tk， x∈Ω， ui(t，x)N存在且滿足(2).

定義2 稱數值函數ν(t，x):G→R為非振動的， 若它最終為正或最終為負; 反之， 稱ν(t，x)為振動的. 稱向量函數u(t，x):G→Rm為非振動的， 若它的每一分量都是非振動的; 稱向量函數u(t，x):G→Rm為振動的， 若它至少有一分量作為數值函數是振動的. 稱向量函數u(t，x):G→Rm為強振動的， 若它的每一個分量作為數值函數都是振動的.

引理1\\[14\\] 設μ是正常數， p(t)∈C(R+，(0，

SymboleB@ ))， 且y(tk)=y(t-k)， k∈I

SymboleB@ . 若滿足條件:

(a)lim sup t→

SymboleB@ ∏t-μ

SymboleB@ ， 其中b-k=max {0，bk};

(b)lim inf t→

SymboleB@ ∫ t t-μp(s)ds>1elim sup t→

SymboleB@ ∏t-μt(1+bk).

則脈沖時滯微分不等式為:

y′(t)+p(t)y(t-μ)≤0，t≥0， t≠tk，y(t+k)-y(-k)≤bky(tk)，k∈I∞.

無最終正解.

2主要結果及其證明

為敘述方便， 引入如下記號:

Ui(t)=∫ Ωui(t，x)dx， t≥0， i∈Im.

定理1 若存在某一i0∈Im， 使得:

lim sup t→∞∏t-σ

lim inft→∞∫ t t-σqi0(s)ds>1elim sup t→∞∏t-σ

則邊值問題(1)， (2)的所有非零解在G內振動.

證(用反證法)假設邊值問題(1)， (2)有一個非振動解u(t，x)=(u1(t，x)，u2(t，x)，…，um(t，x))T，則

ui0(t，x)在G內非振動.不失一般性，設ui0(t，x)最終為正，于是存在T>0，使得(t，x)∈[T，∞)×Ω，有ui0(t，x)>0，ui0(t-λ，x)>0，ui0(t-σ，x)>0，ui0(t-ρ，x)>0.

考慮下面的方程:

ui0(t，x)t=∑mj=1ai0j(t，uj(t，x))Δuj(t，x)+

∑mj=1bi0j(t，uj(t-λ，x))Δuj(t-λ，x) -

qi0(t，x)ui0(t-σ，x)-ci0(t，x，(uj，(t，x))mj=1，

(uj(t-ρ，x))mj=1)，t≠tk，

ui0(t+k，x)-ui0(t-k，x)=bi0(tk，x，ui0(tk，x))，

k∈I

SymboleB@ ， (t，x)∈R+×Ω≡G.(6)

(Ⅰ)當t≠tk，k∈I

SymboleB@ 時， 對式(6)的第一式兩邊關于x在Ω上積分， 有

ddt(∫ Ωui0(t，x)dx)=

∑mj=1∫ Ωai0j(t，uj(t，x))Δuj(x，t)dx+

∑mj=1∫ Ωbi0j(t，uj(t-λ，x))Δuk(t-λ，x)dx-

∫ Ωqi0(t，x)ui0(t-σ，x)dx-

∫ Ωci0(t，x，(uj(t，x))mj=1，(uj(t-ρ，x))mj=1)dx，t≥T.(7)

由Green公式， 邊值條件(2)及條件(H2)有:

∫Ωai0i0(t，ui0(t，x))Δui0(t，x)dx=

∫Ωai0i0(t，ui0(t，x))ui0(t，x)NdS-

∫ Ωai0i0(t，ui0(t，x))ui0

SymbolQC@ ui0(t，x)2dx=

-∫ Ωai0i0(t，ui0(x，t))ui0

SymbolQC@ ui0(x，t)2dx≤0， t≥T，

∫Ωai0j(t，uj(t，x))Δuj(t，x)dx=

∫Ωai0j(t，uj(t，x))uj(t，x)NdS-

∫ Ωai0j(t，uj(t，x))uj

SymbolQC@ uj(t，x)2dx=0，

t≥T， j≠i0， j∈Im.

其中dS是Ω上的面積元素.即

∫Ωai0j(t，uj(t，x))Δuj(t，x)dx

<0， 當j=i0時，=0， 當j≠i0時， t≥T.(8)

同理

∫Ωbi0j(t，uj(t-λ，x))Δuj(t-λ，x)dx

<0， 當j=i0時，=0， 當j≠i0時， t≥T.(9)

由條件(H3)易知:

ci0(t，x，(uj(t，x))mj=1，(uj(t-ρ，x)))mj=1)≥0，t≥T.(10)

因此由式(7)~(10)及條件(H1)可得:

U′i0(t)+qi0(t)Ui0(t-σ)≤0，t≥T.(11)

(Ⅱ)當t=tk，k∈I

SymboleB@ 時， 由式(6)的第二式， 結合條件(H4)及定義1中的條件1)可得:

Ui0(t+k)-Ui0(t-k)=

∫ Ωui0(t+k，x)dx-∫ Ωui0(t-k，x)dx=

∫ Ωbi0(tk，x，ui0(tk，x))dx≤

αi0k∫ Ωui0(tk，x)dx=αi0kUi0(tk).(12)

從而可知(11)，(12)有最終正解Ui0(t)=∫ Ωui0(t，x)dx. 另一方面，由定理的條件(4)，(5)及引理1知(11)，(12)

無最終正解， 矛盾， 所以邊值問題(1)，(2)的所有非零解在區域G內振動. 定理1證畢.

利用上面的結論， 很容易得到下面的關于邊值問題(1)， (2)強振動的結論.

定理2 若對每一個i∈Im， 都有:

lim sup t→∞∏t-σ

其中k=max {0，αik}.

lim inf t→∞∫ t t-σqi(s)ds>1elim sup t→∞∏t-σ

則邊值問題(1)， (2)的所有非零解在G內強振動.

3結 論

本文討論了帶擴散系數的擬線性脈沖時滯拋物型偏微分方程組解的振動性和強振動性，得到了判別其振動和強振動的充分條件， 結果充分反映了脈沖和時滯在振動中的影響作用， 這是一個重要的結論. 所得結果為解決生物學、物理學、工程學、氣象學、醫學、化學和控制理論等學科領域中的一些實際問題提供了數學理論基礎.

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